Компликология. Создание развивающих, диагностирующих и деструктивных трудностей - Александр Поддьяков

В. Иванов сформулировал миссию обучения и развития посредством организации математических и других задач так: «Знаете, чему меня учили математики? Был такой великий математик Израиль Моисеевич Гельфанд, он умер в Америке не так давно. Вот он как-то объяснял, как он учит людей математике: надо решать задачи. Не надо сразу пытаться все понять – нужно сформулировать какую-то задачу, достаточно интересную, и попробовать ее решить. Если вы придумаете серию задач в какой-то области, то, решая их, постепенно будете учиться правильно думать. Думать – это находить выходы из каких-то ситуаций, это практическое занятие» [Интервью с В. Ивановым, 2011].

Еще в 1946 г. И. В. Арнольд, математик и педагог,[11] проанализировав содержание ряда учебников по арифметике почти за столетие (с 1868 по 1944 г.), сформулировал основные принципы составления и отбора задач. Эти принципы актуальны и сегодня. По И. В. Арнольду, при конструировании учебных задач необходимо ставить перед собой следующие вопросы.

1. Каковы учебные цели составления данной задачи, на формирование каких компонентов математического мышления она направлена?

2. Какую фабулу задачи выбрать? Интересна ли она для учащихся постановкой вопроса, способом решения, ответом?

3. Какие выбрать числовые данные?

4. Что учащийся должен помнить, знать, уметь, чтобы самостоятельно решить данную задачу?

5. О чем может свидетельствовать неудача ученика при ее решении?

6. Что может сделать учитель, чтобы помочь решить эту задачу?

7. В каких отношениях находится созданная задача с предшествующей и последующей работой учащегося? Где она должна быть размещена в сборнике, если речь идет о сборнике? [Арнольд, 1946].

А. Т. Барлоу позже выделила сходные этапы конструирования математической задачи: 1) определить цели, которые достигаются при решении учащимся задачи; 2) принять решение о содержании задачи; 3) сконструировать ее; 4) провести мысленную проверку ее использования в учебном процессе; 5) провести ее реальную проверку и проанализировать результаты [Barlow, 2010].

Свой оригинальный подход к конструированию учебных задач, стимулирующих творческое, изобретательское мышление, разрабатывается в рамках ТРИЗ (теории решения изобретательских задач, основоположником которой являлся яркий отечественный изобретатель и педагог Г. С. Альтшуллер). Последователи этого подхода Ю. С. Мурашковский и И. Андржеевская предлагают следующую схему синтеза творческих задач.

I. Предварительная часть

1. Выбор учебной темы, для которой предназначена задача.

2. Подбор интересной информации для задачи (например, в литературе по предметной области: технике, биологии, истории, музыке и т. д.). Эта информация должна содержать:

а) описание исходной ситуации;

б) суть возникшей проблемы – претензию к исходной ситуации, противоречие с тем, что должно быть;

в) ресурсы для разрешения этого противоречия.

II. Составление плана задачи

3. Описание исходной ситуации, претензии к ней и требования к конечной ситуации на языке собственно задачи (в отличие от языка первоисточника, например, художественного текста) с отбором и перечислением условий и постановкой вопроса задачи.

4. Описание решения, включающее:

а) описание конечного ответа;

б) описание того, какое противоречие устранено этим решением;

в) описание того, какой «инструмент» (прием) введен или изменен, чтобы решение стало возможным;

г) перечисление ресурсов, использованных при решении.

III. Составление текста задачи (перевод вышеперечисленных пунктов плана в текст)

5. Составление сюжета.

6. Персонификация задачи (в ней должны действовать живые персонажи, пытающиеся решить проблему).

IV. Проверка и коррекция задачи

7. Практическая проверка задачи – предложение тем или иным людям ее решить – и регистрация результатов.

8. Составление списка промахов (всего, что было решающими не понято или понято неправильно, всех совершенных ими ошибок).

9. Классификация промахов. В качестве основных сюда входят:

а) нечеткость описания ситуации и требования;

б) избыточность или недостаток условий;

в) недостаточная корректность вопроса;

г) ошибочный прогноз доступности задачи и наличия познавательных ресурсов для ее решения у тех, кому она предназначена.

10. Устранение причин промахов, переформулировка задачи.

11. Проверка новой версии задачи.

Авторы этой схемы показывают, как с ее помощью можно составить остроумные и увлекательные задачи в самых разных предметных областях: социальной психологии, музыке, биологии, физике, технике и т. д. [Андржеевская; Мурашковский].

Интересную классификацию задач на основе не только их функций в мышлении решающего, но и во взаимодействии учитель – ученик дает С. А. Беляев. Он выделяет задачи-«простушки», – «ловушки» и – «неберушки». При этом он подчеркивает, что его классификация не претендует на полноту, а призвана выделить некоторые важные аспекты конструирования задач.

«Простушки» – «простые, изящные, короткие, но очень мудрые задачи, способные и очаровать, и научить, и проверить понимание пройденного. Они способны правильно расставить акценты в ходе преподавания материала, указать на его тонкие места», подчеркнуть тот или иной метод, подход или же охватить материал целиком [Беляев, 2009, с. 100–101].

Задачи-«ловушки» могут быть разными. Это, например, задачи, имеющие два решения: одно – очевидное, но долгое, нерациональное, и второе – простое, но неочевидное, для обнаружения которого нужна сообразительность и тонкое понимание материала. Это также задачи, обнаруживающие неожиданное, в том числе неожиданно глубокое содержание лишь в свете полученного ответа и т. д.

«Неберушки» – задачи, крайне сложные для решения, которые целесообразно предлагать очень сильным учащимся для самостоятельной работы, чтобы они могли совершенствовать свое математическое мышление, оттачивать мастерство. Также «неберушки» используют, как пишет С. А. Беляев, «чтобы (что греха таить) завалить школьника на экзамене» [Там же, с. 103]. Со своей стороны заметим: здесь ясно видны связь и взаимопереходы между созданием трудностей с позитивными и негативными целями. Добавим, что в качестве задач «для заваливания на экзамене» используют и комбинации «ловушки-неберушки»: задачи, выглядящие простыми, но решение которых найти учащемуся крайне сложно.

С. А. Беляев подчеркивает, что одна и та же задача может выступать в разном качестве в зависимости от уровня подготовки решающего, его математической культуры: то, что для одного ученика – «ловушка», для другого – «неберушка», а для третьего – «простушка».

6.3. Метауровень: учебные задания по конструированию задач

Важное направление развития мышления учащихся и стимулирования углубленного понимания ими изучаемой предметной области – постановка перед ними особой задачи: задачи самому придумать задачу [Давлятов, 1989; Жусупова, 1999; Скаткин, 1963; Эрдниев, 1990; Barlow, Cates, 2006; Moses et al., 1993]. В области обучения математики М. П. Жусупова цитирует в этой связи высказывание М. Н. Скаткина: «Самостоятельная работа учащихся по составлению задач, выполняемая ими по заданиям различного характера и разной степени трудности, содействует закреплению умений решать задачи, формированию математических понятий, развитию мышления и укреплению связи обучения математике с жизнью» ([Скаткин, 1963]; цит. по: [Жусупова, 1999, c. 76]). Мозес, Бьйорк и Голденберг вообще считают, что составление задач должно быть неотъемлемой частью учебной деятельности всех учащихся [Moses et al., 1993]. Умения решать задачи, поставленные учителем, и составлять свои собственные задачи связаны друг с другом на уровне статистически значимой тенденции: учащиеся, которые хорошо решают задачи, чаще составляют более сложные и интересные задачи по сравнению с теми, кто решает задачи хуже [Silver, Cai, 1996].

Р. Абу-Элван выделяет три типа учебных заданий по конструированию задач.

1. Свободные задания по конструированию задач, в которых практически не вводятся ограничения на содержание. Например, учащихся просят придумать «какую-нибудь простую или сложную задачу», «смешную задачу», «задачу для друга», «задачу, которую можно было бы использовать на контрольной», «задачу, которую тебе хочется».

2. Полуструктурированные задания по конструированию задач. Учащимся предлагают придумать задачу, похожую на ранее предъявленную; задачу по показанной картинке; задачи со сходными ситуациями; задачи на определенную теорему или правило и т. д.

3. Структурированные задания по конструированию задач. Учащимся предлагается придумать другую задачу с теми же данными, что и в ранее предъявленной задаче; переделать ранее предъявленную задачу так, чтобы одно из известных (т. е. условий) стало неизвестным (т. е. перешло в разряд искомого), а неизвестное, наоборот, перешло в разряд условий и т. п. [Abu-Elwan, 2002].