Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании - Владимир Дьяконов

Рис. 9.25. Иллюстрация итераций при решении нелинейного уравнения методом Ньютона

А теперь рассмотрим вычисление длины дуги, заданной произвольным выражением, например 2-х^3 в интервале изменения х от 0 до 2. Для этого исполним команду (вызов подпакета опущен, поскольку был выполнен ранее):

> ArcLengthTutor(2-х^3, х=0..2);

Интерактивное окно для этого примера представлено на рис. 9.26. График дает представление исходной функции и функции, описывающей изменение значения длины дуги в заданном интервале изменения х. Кроме того выводится выражение для длины дуги, вычисленное значение длины дуги на заданном интервале и вид команды для вычисления длины дуги в командном режиме (внизу окна).

Рис. 9.26. Иллюстрация к вычислению длины дуги

9.6.6. Подпакет вычислений Precalculus

Пакет вычислений Precalculus служит для визуализации таких операций, как вычисление полиномов, нахождение пределов функций, решение систем неравенств, представление функций и др. Он содержит только интерактивные средства, построенные по аналогии с приведенными ранее средствами. Поэтому и здесь мы ограничимся парой примеров.

Например, для получения графика и корней полинома х^3 + 3*х^2 - 2 достаточно исполнить команды:

> with(Student[Precalculus]):

> PolynomialTutor(х^3+3*х^2-2);

В появившемся интерактивном окне можно наблюдать график полинома и список его действительных корней — рис. 9.27.

Рис. 9.27. Окно с графиком полинома и его вычисленными корнями

Следующий пример иллюстрирует вызов обучающего окна по стандартным функциям:

> StandardFunctionsTutor();

При таком задании в окне задается функция синуса, но ее можно изменить на другую функцию или выражение со стандартными функциями — например, sin(x)/x (рис. 9.28). Кроме графика исходной функции (он дан красным цветом) строится график преобразованной функции. Используется линейное преобразование с набором заданных параметров а, b, с и d.

Рис. 9.28. Окно с графиком основной и преобразованной функциями

9.6.7. Другие возможности и особенности пакета Student Package

Из других возможностей пакета Student можно отметить расширение возможностей графики с помощью десятков модифицированных или новых опций графики и графических функций. Познакомиться с набором опций можно по справке для данного пакета.

К сожалению, ввиду новизны пакета он содержит явные недоработки. Например, на рис. 9.25 непонятно, что выводит третья кривая на рисунке — объяснения по этому поводу нет в справке по примененной функции. При больших x места на графике для представления чисел, отложенных по осям, явно не хватает и цифры отображаются с большими искажениями. Впрочем, стоит отметить, что по пакету представлены исходные коды на Maple-языке, так что чересчур требовательный пользователь может довести пакет «до ума». Несомненно, что корпорация Maple-Soft планирует существенное расширение средств Maplets в программных утилитах, включенных в пакеты расширений систем Maple.

Глава 10

Типовые средства программирования

По существу все описанные выше средства (операторы, команды и функции) систем Maple 9.5/10 являются компонентами языка программирования системы Maple. Но есть ряд типовых средств программирования (функции пользователя, условные выражения, циклы, средства вывода, маплеты и др.), которые и рассматриваются в данной главе [23, 51, 52]. Применение таких средств существенно расширяет возможности систем Maple в решении ряда математических и научно-технических задач.

10.1. Задание функций

10.1.1. Задание функции пользователя

Хотя ядро Maple 9 5/10, библиотека и встроенные пакеты расширения содержат свыше 3500 команд и функций, всегда может оказаться, что именно нужной пользователю (и порою довольно простой) функции все же нет. Тогда возникает необходимость в создании собственной функции, именуемой функцией пользователя. Для этого используется следующая конструкция:

name(x,y,...)->expr

После этого вызов функции осуществляется в виде name(х,у,…), где (x,y,…) — список формальных параметров функции пользователя с именем name. Переменные, указанные в списке формальных параметров, являются локальными. При подстановке на их место фактических параметров они сохраняют их значения только в теле функции (expr). За пределами этой функции переменные с этими именами оказываются либо неопределенными, либо имеют ранее присвоенные им значения.

Следующие примеры иллюстрирует сказанное (файл p1):

> restart;

> х:=0;y:=0;

х := 0 у := 0

> m:=(x,y)->sqrt(х^2+y^2);

> m(3,4);

5

> m(3., 4);

5.000000000

> [x,y];

[0, 0]

Нетрудно заметить, что при вычислении функции m(х,у) переменные х и у имели значения 3 и 4, однако за пределами функции они сохраняют нулевые значения, заданные им перед введением определения функции пользователя. Использование хотя бы одного параметра функции в виде числа с плавающей точкой ведет к тому, что функция возвращает результат также в виде числа с плавающей точкой.

10.1.2. Конструктор функций unapply

Еще один способ задания функции пользователя базируется на применении функции-конструктора unapply:

name:=unapply(expr, var1, var2, ...)

Ниже даны примеры такого задания функции пользователя (файл p1):

> restart;

> fm:=unapply(sqrt(х^2+y^2),х,y);

> fm(4.,3.);

5.000000000

> fe:=unapply(х^2+y^2,х,y);

fе:=(х,у)→х²+у²

> fe(sin(х),cos(х));

sin(x)² + cos(x)²

> simplify(fe(sin(x),cos(x)));

1

Последний пример показывает возможность проведения символьных операций с функцией пользователя.

10.1.3. Визуализация функции пользователя

В ряде случаев весьма желательна визуализация результатов выполнения функций пользователя. Порой она может давать неожиданный результат. На рис. 10.1 представлены примеры задания двух функций пользователя от двух переменных и построение их графиков с помощью функции plot3d.

При задании функций пользователя рекомендуется просмотреть их графики в нужном диапазоне изменения аргументов. К сожалению, наглядными являются только графики функций одной и двух переменных.

Рис. 10.1. Примеры задания функций пользователя двух переменных с построением их графиков

10.1.4. Импликативные функции

Другой важный класс функций, которые нередко приходится задавать — импликативные функции, в которых связь между переменными задана неявно в виде какого-либо выражения. Самый характерный пример такой функции — это выражение для задания окружности радиусаr: х²+у²=r².

Итак, импликативные функции записываются как уравнения. Соответственно их можно решать с помощью функции solve. Следующие примеры иллюстрируют задание уравнения окружности в общем и в частном (численном) виде (файл p1):

> impf:=х^2+y^2=r^2;

impf := x² + у² = r²

> subs(х=а,impf);

а² + у² = r²

> solve(%);

> impf1:=х^2+у^2=25;

impf1 := х² + у² =25

> subs(х=4,impf1);

16 + y² =25

> solve(%);

3, -3

Для графической визуализации импликативных функций служит функция implicitplot пакета plots. На рис. 10.2 представлено задание двух импликативных функций и построение их графиков.

Рис. 10.2. Задание двух импликативных функций и построение их графиков

В данном случае задано построение двух эллипсов. Верхний — это окружность, сплюснутая по вертикали, а второй — наклонный эллипс.

10.2. Управляющие структуры

10.2.1. Условные выражения

Программы, все инструкции которых выполняются строго последовательно называются линейными программами. Большинство же программ относятся к разветвляющимся программам, у которых возможны переходы от одной ветви с командами к другой в зависимости от получаемых при вычислениях результатов и условий работы. Для создания таких программ используются управляющие структуры.

Простейшую конструкцию разветвляющихся программ в Maple-языке программирования задает оператор if или оператор условного выражения:

if <Условие сравнения> then <Элементы>

|elif <Условие сравнения> then <Элементы>|