Пятьсот двадцать головоломок - Генри Дьюдени

Сообщите теперь мне, сколько у вас получилось стопок и сколько карт вы отложили в сторону, и я тотчас же сообщу вам сумму значений нижних карт во всех стопках. Для этого я просто умножу на 13 число стопок, уменьшенное на 4, и прибавлю число отложенных в сторону карт. Например, если окажется 6 стопок и 5 лишних карт, то 13, умноженное на 2 (6 минус 4), плюс 5 равно 31, сумме нижних карт.

Почему так получается?

182. Драчливые дети. Один человек женился на вдове, и у каждого из них были дети от первого брака. Через 10 лет разыгралась битва, в которой приняли участие все дети (к тому времени их стало 12). Мать прибежала к отцу с криком:

— Иди скорее! Твои и мои дети бьют наших детей!

У каждого теперь было по 9 собственных детей.

Сколько детей родилось за эти 10 лет?

183. Дележ яблок. Пока Крэкхэмы заправляли свой автомобиль в одной живописной деревушке, 8 детей, направлявшихся в школу, остановились и стали наблюдать за ними. В корзине у детей было 32 яблока, которые они собирались продать. Тетушка Гертруда по доброте душевной купила все яблоки и сказала, что дети могут разделить их между собой.

Дора спросила у каждого, как его зовут, и вечером того же дня сказала (правда, кое-что усложнив): «Энн получила 1 яблоко, Мэри 2, Джейн 3 и Кэт 4. Нед Смит получил столько же яблок, сколько и его сестра, Том Браун получил яблок в 2 раза больше своей сестры, Бил Джонс — в 3 раза больше своей сестры и Джек Робинсон — в 4 раза больше своей сестры».

Ну-ка, кто из вас сумеет назвать фамилию каждой девочки?

184. Покупая резинку. Вот головоломка, которая по виду весьма напоминает некоторые старые головоломки, но требует совершенно иного подхода. Автор ее не известен.

Четыре матери (каждая со своей дочерью) пошли в магазин купить резинку. Каждая мать купила в 2 раза больше метров резинки, чем ее дочь, и каждая из них купила столько метров, сколько центов она платила за метр. Миссис Джонс истратила на 76 центов больше, чем миссис Уайт; Нора купила на 3 метра меньше резинки, чем миссис Браун; Глэдис купила на 2 метра больше резинки, чем Хильда, которая истратила на 48 центов меньше, чем миссис Смит.

Как зовут мать Мэри?

185. Квадраты и треугольные числа. Какое третье по величине число (наименьшее число считается первым) является одновременно и треугольным числом[12], и квадратом? Разумеется, первые два числа, обладающие указанным свойством, — это 1 и 36. Чему равно следующее число?

186. Точные квадраты. Найдите четыре числа, сумма каждой пары которых и сумма которых представляли бы собой точные квадраты.

187. Элементарная арифметика. Вот один вопрос, похожий на те, что были так популярны в Венеции (да и не только в ней) в середине XVI в. Своим появлением они во многом были обязаны Николе Фонтана, больше известному под именем Тарталья (заика).

Если бы четверть от двадцати равнялась четырем, то чему равнялась бы треть от десяти?

188. Перестановка цифр. Если мы хотим умножить 571 428 на 5 и разделить на 4, то для этого нам нужно лишь переставить 5 из начала в конец: число 714 285 дает верный ответ.

Не сумели бы вы найти число, которое можно было бы умножить на 4 и разделить затем на 5 столь же просто: переставив первую цифру в конец?

Разумеется, если бы разрешалось переставлять цифру из конца в начало, то 714 285 подошло бы и на этот раз. Однако цифру следует переставлять именно из начала в конец.

189. Странное сложение. Однажды во время завтрака полковник Крэкхэм попросил юных членов своей семьи написать 5 нечетных цифр, которые в сумме давали бы 14. Сделать это смог лишь один из них.

190. Шесть простых вопросов.

1) Вычтите четыре тысячи одиннадцать сотен с половиной из двенадцати тысяч двенадцати сотен двенадцати.

2) Добавьте 3 к 182 так, чтобы результат получился меньше 20.

3) Какие 2 числа в произведении дают 7?

4) Какие 3 цифры при умножении на 5 дают 6?

5) Если бы четырежды пять равнялось 33, то чему равнялась бы четверть от 20?

6) Найдите дробь, у которой числитель был бы меньше знаменателя и это свойство сохранялось бы при перевертывании дроби.

191. Три пастуха. Когда Крэкхэмы подъезжали к одному большому городу, им пришлось остановиться, потому что по дороге двигалось стадо овец, за ним — стадо быков, а следом пастухи гнали табун лошадей. Крэкхэмы поняли, что в городе сегодня базарный день. Джордж, воспользовавшись случаем, придумал следующую головоломку.

Три пастуха, гнавших свои стада, встретились на большой дороге. Джек и говорит. Джиму:

— Если я дам тебе 6 свиней за одну лошадь, то в твоем стаде будет вдвое больше голов, чем в моем.

А Дан заметил Джеку:

— Если я дам тебе 14 овец за одну лошадь, то у тебя в стаде будет втрое больше голов, чем у меня.

Джим в свою очередь сказал Дану:

— А если я дам тебе 4 коровы за лошадь, то твое стадо станет в 6 раз больше моего.

Сделки не состоялись, но не могли бы вы все же сказать, сколько голов скота было в трех стадах?

192. Пропорциональное представительство. Когда Крэкхэмы остановились в Манглтоне- на-Блисе, то застали жителей этого городка взбудораженными в связи с местными выборами. Выборы проходили по принципу пропорционального представительства. Каждому избирателю давался бюллетень с 10 именами кандидатов. Избиратель должен был поставить N 1 против кандидата, за которого отдавал свой первый голос, N 2 против того, за которого он отдавал второй голос, и т. д. до десятого включительно.

Избиратели должны были ставить «галочку» против N 1, против других номеров «галочки» можно было ставить или нет по желанию. Джордж предложил остальным членам семьи узнать, сколькими различными способами может избиратель расставить «галочки» в своем бюллетене.

193. Вопрос относительно кубов. Профессор Рэкбрейн однажды утром заметил, что кубы последовательных чисел, начиная с 1, могут в сумме давать полный квадрат. Так, сумма кубов 1, 2, 3 (то есть 1 + 8 + 27) равна 36, или 62. Профессор утверждал, что если брать последовательные числа, начиная не с 1, то наименьшими числами, сумма кубов которых равна квадрату некоторого числа, будут 23, 24 и 25 (233 + 243 + 253 = 2042). Профессор Рэкбрейн предложил найти два наименьших набора последовательных чисел, начинающихся не с 1 и состоящих более чем из трех чисел, сумма кубов которых также равна квадрату некоторого натурального числа.

194. Два куба. «Не могли бы вы найти, — спросил профессор Рэкбрейн, — два последовательных куба, разность между которыми была бы полным квадратом? Например, 33 = 27, а 23 = 8, но их разность (19) не является полным квадратом».

Каково наименьшее возможное решение?

195. Разность кубов. Число 1 234 567 можно представить в виде разности квадратов, стоит только выписать два числа, 617 284 и 617 283 (половина данного числа плюс ½ и минус ½ соответственно), и взять разность их квадратов[13]. Найти же два куба, разность которых равнялась бы 1 234 567, несколько труднее.

196. Составные квадраты. Можете ли вы найти два трехзначных квадрата (без нулей), которые, будучи выписанными подряд, образуют шестизначное число, в свою очередь представляющее собой квадрат? Например, из 324 и 900 (182 и 302) получается 324 900 (5702), но число 900 содержит два нуля, что запрещено условием.

Задача имеет лишь одно решение.

197. Квадраты в арифметической прогрессии. Как-то утром профессор Рэкбрейн предложил своим молодым друзьям найти три целых числа, образующих арифметическую прогрессию, при этом сумма любых двух из этих трех чисел должна представлять собой квадрат.

198. Дополнение до квадрата. «Какое число, — спросил полковник Крэкхэм, — обладает тем свойством, что если его прибавить к числам 100 и 164 в отдельности, то каждый раз получатся точные квадраты?»

199. Каре. «Один офицер построил своих солдат в каре, — сказала Дора Крэкхэм, — при этом 30 человек у него оказались лишними. Тогда он решил увеличить сторону квадрата на одного человека, но в этом случае ему 50 человек не хватило.

Сколько солдат было у офицера?»

200. Квадраты и кубы. Найдите два различных числа, сумма квадратов которых была бы кубом, а сумма кубов — квадратом.

201. Молоко и сливки. Профессор Рэкбрейн, отведав за завтраком сливок, задал следующий вопрос:

— Честный молочник обнаружил, что в молоке, которое дает его корова, содержится 5% сливок и 95% снятого молока.

Сколько снятого молока он должен добавить в каждый литр цельного молока, чтобы снизить содержание сливок до 4%?

202. Орехи для обезьян. Один человек принес к вольере с обезьянами мешок орехов. Оказалось, что если бы он поделил эти орехи поровну между 11 обезьянами в первой клетке, то остался бы лишний орех, если бы он поделил их между 13 обезьянами во второй клетке, то осталось бы 8 орехов и, наконец, если бы он поделил их между 17 обезьянами в последней клетке, то осталось бы 3 ореха.