История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - Ричард Манкевич

Арабские математики в основном интересовались астрономией, их достижения в области тригонометрии позволили им построить более точные астрономические таблицы. Исламский календарь был основан на лунных месяцах. Каждый месяц начинался с первого появления лунного месяца после новолуния. Ежедневно, в зависимости от положения Солнца, должны были читаться пять молитв: например, дневная молитва должна происходить в тот момент, когда длина тени, отбрасываемой предметом в полдень, увеличилась на величину, равную высоте самого предмета. Верующий должен произносить молитву, обратившись лицом в направлении Каабы в Мекке. Все три этих правила требовали астрономических знаний и понимания движений планет, а также географии Земли. Поначалу они в основном использовали методы наблюдения, а из греческих и индийских источников пришли таблицы. Арабы значительно улучшили и таблицы, и методы наблюдения, в мечетях в тринадцатом веке работали астрономы, профессионально использовавшие астролябии, секстанты и солнечные часы.

Стало очевидно, что любой шаг вперед в области астрономических вычислений требовал создания более точных тригонометрических таблиц. Давайте оценим это развитие по методам, используемым для вычисления синуса 1°. Были даны определения синуса, косинуса и тангенса, были выведены различные формулы, вроде синуса суммы и разницы двух углов. Общие методы начинали создаваться с тех синусов, которые были точно известны из геометрических вычислений, вроде синуса 60° = √3/2 или синус 30° = 1/2, а затем использовались формулы для уменьшения угла вдвое. Угол последовательно делился пополам, пока не доходил до значения в 1° или становился близок к этому значению. Один из крупнейших математиков и астрономов средневекового Востока Абу-л-Вафа (Абу-л-Вафа Мухаммад ибн Мухаммад ибн Яхья ибн Исмаил ибн Аббас ал-Бузджани) (940–998) начал с известного значения синуса 60° и уже вычисленного значения синуса 72°, и, применяя подходящие формулы, он смог вычислить синус 2°. Используя формулу двойного угла, он постепенно вычислил синус 1°30′ и синус 45'. Поскольку эти два угла достаточно близки, он предполагал, что промежуточные значения будут подчиняться относительно линейным соотношениям и арифметический метод, таким образом, привел бы к необходимому значению синуса 1°. При использовании подобных методов Абу-л-Вафа смог построить полную таблицу синусов, с углами около 1/4°, или 15' в шестидесятеричной системе. Он добился точности в 5 шестидесятеричных знаков или 8 десятичных знаков.

Следующий серьезный шаг был сделан только через триста лет, несмотря на то что теория была полностью разработана. К тому времени Багдад находился уже под властью монголов, которые разорили и разрушили его. Внук Тимура Улугбек (Султан Мухаммед ибн Шахрух ибн Тимур Улугбек Гураган) (1394–1449) — выдающийся астроном и астролог — в 1409 году был объявлен правителем Мавераннахра со столицей в Самарканде. Став правителем державы Тимуридов, Улугбек перенес центр науки в Самарканд. Математик и астроном Ал-Каши (1380–1429), первый директор новой Самаркандской обсерватории, значительно уточнил значения синусов в таблице. Используя формулу синуса тройного угла, он составил кубическое уравнение, чтобы найти синус 1° исходя из синуса 3°. Затем, используя повторяющуюся процедуру, он вычислил синус 1° до 9 шестидесятеричных знаков, что эквивалентно 16 десятичным знакам. Остальную часть таблицы можно было завершить с помощью уже установленных взаимоотношений, однако в любом случае это был феноменальный вычислительный подвиг. Аналогичный метод использовал Иоанн Кеплер двести лет спустя. Помимо увеличения точности вычислений, арабы усовершенствовали астролябию и использовали ее не только как инструмент для астрономических наблюдений, но и как аналоговый калькулятор, с помощью которого определяли время. Впрочем, звезда Багдада уже закатилась. За монгольским завоеванием последовало нашествие оттоманских турок, которые сделали столицей и интеллектуальным центром Стамбул.

…я был лишен возможности систематически заниматься этим делом и даже не мог сосредоточиться на размышлении о нем из-за мешавших мне превратностей судьбы. Мы были свидетелями гибели ученых, от которых осталась малочисленная, но многострадальная кучка людей. Суровости судьбы в эти времена препятствуют им всецело отдаться совершенствованию и углублению своей науки. Большая часть из тех, кто в настоящее время имеет вид ученых, одевают истину ложью, не выходя в науке за пределы подделки и притворяясь знающими. Тот запас знаний, которым они обладают, они используют лишь для низменных плотских целей. И если они встречают человека, отличающегося тем, что он ищет истину и любит правду, старается отвергнуть ложь и лицемерие и отказаться от хвастовства и обмана, они делают его предметом своего презрения и насмешек.

8. Семь свободных наук и искусств

В 529 году Юстиниан, римский император и христианин, закрыл языческие философские школы, включая Академию в Афинах. Так подошла к концу тысячелетняя история греческой математики. Многие ученые покинули страну и двинулись на Восток, в более интеллектуально развитую Персидскую империю. За двести лет до этого Константин Великий сделал христианство официальной религией римского мира и переместил административный центр из Рима в Византий, который он переименовал в Новый Рим, Константинополь. Карл Великий, император Священной Римской империи (742/747 или 748–814), впервые объединил в своих руках духовную и светскую власть. В то время Константинополь входил в состав зарождающейся исламской империи, а Багдад был научной столицей известного мира того времени. Как правитель западноевропейской империи, Карл Великий был обеспокоен интеллектуальной неполноценностью христианского мира и стимулировал проведение образовательных реформ, опиравшихся на соборные школы. Отвечал за эти реформы ученый и поэт Алкуин Йоркский (735–804), глава придворной школы Карла Великого в Ахене. Алкуин также разработал каролингское строчное письмо, легшее в основу современных латинских прописных букв. После смерти Карла Великого три его сына перессорились и снова разделили Европу на части. Образование не входило в список их важнейших интересов, но в соборных школах и монастырях все же бился скудный огонек научных знаний.

Список научных дисциплин состоял из семи гуманитарных наук. Учебный план их изучения был расписан еще в римские времена. Список был разделен на «тривиум» — грамматика, риторика и логика, и «квадривиум» — геометрия, арифметика, астрономия и музыка. Можно предположить, что математика была ключевой частью учебного плана, но в действительности уровень знаний был очень низким. Боэций (Аниций Манлий Торкват Северин Боэций) (ок. 480–524) — вероятно, лучший математик римского мира — определил то, что должно было стать стандартными текстами для каждой ветви квадривиума. Его трактат «Наставление в арифметике» был просто сокращенной копией «Введения в арифметику» — последней работы известного неопифагорейца Никомаха Герасского (ок. 60 — ок. 120). «Наставление в геометрии» базировалось на первых четырех книгах Евклида (причем доказательства были исключены). «Наставление в астрономии» представляло собой сильно сокращенную версию «Альмагеста» Птолемея, а «Наставление в музыке» — сборник греческих источников. Казалось, эта программа была разработана для того, чтобы соответствовать минимальным стандартам, а не создать трамплин для движения к новым открытиям. Математика использовалась, главным образом, для того, чтобы обслуживать календарь и вычислять дату Пасхи — обе задачи требовали астрономических знаний. Научная мысль Западной Европы начала возрождаться благодаря проникновению идей через границу между христианским и исламским мирами.

Вдохновленные пророком Мухаммадом и учением Корана, арабы выплеснулись за пределы своего полуострова, стремясь завоевать Персидскую и Восточную Римскую империи. Границы с Западной Европой шли от южной Испании и Сицилии до восточных регионов. Именно в Испании, особенно в городе Толедо, шел интенсивный интеллектуальный диалог между двумя культурами, которые в то же время находились практически в бесконечном конфликте друг с другом. Почти чудо, что удалось достичь такого климата научной терпимости в период, включавший два столетия крестовых походов. Прежде чем в восьмом веке нашей эры арабские войска захватили Толедо, город был столицей вестготов. В конце одиннадцатого века христианские армии отбили Толедо. Кордова стала столицей иберийского арабского государства, и его правители — Омейяды — планировали превзойти управляемый Аббасидами Багдад по блеску и учености. Гранада, столица султаната Насридов, последний оплот ислама на Иберийском полуострове, просуществовала как таковая до 1492 года, когда насридский правитель Мохаммед XII капитулировал перед испанцами и передал город королеве Изабелле Кастильской и королю Фердинанду II Арагонскому, после чего мусульмане и евреи были изгнаны из католической Испании. Однако за предшествовавшие века этот западный форпост арабской империи добился многого и, уж во всяком случае, сравнялся с Багдадом как пристанище искусств и наук. Христианские, мусульманские и еврейские ученые тесно сотрудничали здесь, стремясь свести воедино все наиболее важные научные работы на всех основных языках того времени. Тексты работ переводились с языка на язык, а основными языками науки того времени были арабский, латынь, греческий, еврейский и кастильский. Для Европы то был важнейший период: повторно открывалась утерянная греческая математика, впервые прочитывались оригинальные арабские и индийские математические труды. Космополитический характер Толедо XI–XII веков можно понять, перечислив имена некоторых ведущих ученых того времени: Роберт Честерский, Майкл Скот, Герман Каринтийский, Платон Тиволийский, Евгений Палермский, Рудольф из Брюгге, Иоанн Севильский, Герард Кремонский, Аделард Батский.