Том 11. Карты метро и нейронные сети. Теория графов - Клауди Альсина

Представим на мгновение все возможные многогранники — правильные или неправильные. Если мы нарисуем все эти многогранники, то заметим, что всегда существует как минимум несколько граней, которые являются выпуклыми многоугольниками с одинаковым числом сторон. Чтобы ограничить многоугольниками какую-то область пространства, необходимо чтобы как минимум несколько из них повторялись.

Графы и мозаики

Рассмотрим три разных мозаики, которые представлены на рисунке. Все они, несомненно, знакомы вам, так как часто встречаются в повседневной жизни.

Это четырехугольная, треугольная и шестиугольная мозаики соответственно. Каждая из них представляет собой геометрический граф (определение геометрического графа приводилось выше). Число граней в этих графах может увеличиваться бесконечно: любым из этих графов можно заполнить всю плоскость. Заметим, что при увеличении мозаики для вершин, находящихся внутри, число ребер остается неизменным, и каждая грань ограничивается одним и тем же числом ребер за исключением бесконечно удаленных граней. Если на каждом шаге увеличения мозаики мы будем подсчитывать число вершин V и число вершин Vc, расположенных на краю (во внешнем цикле графа), то увидим, что с ростом V отношение Vc/V стремится к нулю.

Это справедливо для всех трех рассмотренных типов мозаики. Далее мы продемонстрируем удивительный результат, основанный на следующем определении.

Правильная мозаика — это геометрический граф, который может покрыть плоскость; при этом число ребер а, сходящихся в каждой вершине, и число ребер Ь >= 3 каждой грани являются постоянными (за исключением внешних граней), причем Vc/V стремится к нулю.

Единственно возможными правильными мозаиками в соответствии с этим определением являются треугольная, четырехугольная и шестиугольная мозаики.

Пусть дана правильная мозаика М, которая имеет V вершин, А ребер и Vc граничных вершин. Тогда 2А < aV, так как aV — это общее число ребер, получаемое, если поставить в соответствие каждой вершине (включая граничные) а ребер.

Если же мы не будем учитывать ребра, которые выходят из граничных вершин, получим аV — aVc < 2А.

Объединив эти два неравенства, имеем aV — aVc < 2А < aV.

Разделим все части неравенства на

Перейдем к пределу. При V, стремящемся к бесконечности, Vc/V стремится к нулю:

Подсчитаем число граней С мозаики М. С — 1 грань будет иметь Ь ребер, бесконечно удаленная грань будет иметь Vc ребер. Следовательно,

(C — 1)b + Vc = 2А.

Разделив на bV, получим:

Перейдя к пределу при V, стремящемся к бесконечности, с учетом выражения (*) получим:

(**)

Так как мозаика М — это геометрический граф, для нее выполняется формула Эйлера, которую можно записать в следующем виде:

При переходе к пределу имеем:

Иными словами, постоянные а и Ь связывает равенство

2а + 2Ь = ab,

что можно записать в таком виде:

(а — 2)(Ь — 2) = 4.

Все возможные натуральные решения этого уравнения представлены в таблице:

Интересно, что это доказательство относится исключительно к теории графов и не зависит от каких-либо геометрических свойств (расстояний, углов, параллельности сторон) фигур, образующих мозаику. Например, следующие мозаики относятся к тем же трем типам, хотя очевидно состоят из других фигур. Единственная разница заключается в изоморфизме соответствующих им графов.

* * *

ФОРМУЛА НА МАРКАХ

На этой марке, выпущенной в ГДР в честь Леонарда Эйлера, изображен икосаэдр и формула A — C + V = 2 в немецком варианте. Интересный способ рассказать о формуле всему свету.

* * *

Помимо формулы Эйлера и ее удивительных следствий, существует множество других областей геометрии, где теория графов представляет особый интерес. Далее мы приведем несколько примеров.

Гамильтоновы циклы в многогранниках

Мы уже рассказали о том, что Гамильтон впервые представил цепи, которые сегодня носят его имя, в игре, где нужно было обойти по разу все вершины додекаэдра. (Напомним, гамильтоновы цепи — это пути в графе, которые проходят через все его вершины ровно по одному разу.) Именно поэтому позднее были предприняты попытки найти гамильтоновы цепи во всех возможных многогранниках либо показать, что они не существуют. На следующих рисунках представлены так называемый граф Гершеля и граф Петерсена — два примера графов, в которых не существует гамильтоновых цепей. Попробуйте убедиться в этом самостоятельно, проведя карандашом линию, проходящую через все вершины этих графов ровно один раз.

Перейдем в трехмерное пространство. Следуя по пути Гарольда Коксетера, попробуем отыскать гамильтоновы цепи в других многогранниках. Коксетер весьма хитроумным способом решил эту задачу для ромбододекаэдра.

Все грани ромбододекаэдра равны, но в его вершинах сходится разное число ребер, поэтому он не является правильным многогранником.

Этот любопытный многогранник, представленный на рисунке, в соответствии с названием, имеет 12 равных граней, которые являются параллелограммами, и обладает интересным свойством: в восьми его вершинах сходится по три ребра (такие вершины обозначены кругами белого цвета), в оставшихся шести вершинах сходится по четыре ребра (такие вершины обозначены кругами черного цвета). Заметьте, что вершины, выделенные белым цветом, являются вершинами воображаемого куба. Следовательно, ромбододекаэдр можно считать кубом, дополненным шестью пирамидами, в основаниях которых находятся квадраты. Его объем равен удвоенному объему вписанного куба. Ромбододекаэдрами, так же как и кубами, можно заполнить пространство — получится мозаика в трехмерном пространстве.

Существует ли гамильтонова цепь в ромбододекаэдре? Коксетер отвечает на этот вопрос решительным «нет», приводя гениальное доказательство: если бы в ромбододекаэдре существовала гамильтонова цепь, которая бы начиналась и заканчивалась в одной из его вершин, то она проходила бы через 14 вершин по одному разу, причем каждый раз цвет вершин чередовался (с черного на белый или с белого на черный). Такое чередование цветов невозможно, так как в черный цвет окрашено шесть вершин, а в белый — восемь.

* * *

ГАРОЛЬД КОКСЕТЕР (1907–2003)

Гарольд Скотт Макдональд Коксетер родился в Лондоне, изучал математику в Тринити-колледже Кембриджа, но вся его научная карьера прошла в Канаде, в Торонтском университете, где он проработал 60 лет. Его считают одним из величайших геометров XX века, он является автором 12 важных трудов и множества работ, выполненных в соавторстве с другими блестящими геометрами. Он внес неизмеримый вклад в изучение многогранников, в частности многогранников, расположенных в пространстве, имеющем более трех измерений. Коксетер дружил со знаменитым голландским художником М. Эшером, который отразил в своих картинах множество свойств, открытых Коксетером.

* * *

Графы на неплоских поверхностях

Хотя графы обычно изображаются на плоскости, задачи о раскраске графов и анализ их планарности стимулировали изучение графов, расположенных на других поверхностях: сферах, торах, цилиндрах и так далее. Графы также изображаются в трехмерном пространстве, как, например, при решении задач теории узлов.

Анализ графов на различных поверхностях помог определить множество топологических свойств, которые являются инвариантными относительно непрерывных деформаций и лежат в основе классификации кривых и поверхностей. Представим надутый шарик, на поверхности которого фломастером нарисован граф. Если мы будем сминать шарик (но так, чтобы он не лопнул), то заметим, что свойства графа будут оставаться неизменными (число вершин, ребер; число ребер, инцидентных каждой вершине, и другие свойства).