Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Взглядов, близких к воззрениям Канта, но выходящих далеко за их пределы, придерживался один из выдающихся физиков нашего времени — Артур Стэнли Эддингтон (1882-1944). По мнению Эддингтона, — человеческий разум решает, как должна себя вести природа:

…там, где наука ушла особенно далеко в своем развитии, разум лишь получил от природы то, что им было заложено в природу. На берегах неизвестного мы обнаружили странный отпечаток. Чтобы объяснить его происхождение, мы выдвигали одну за другой остроумнейшие теории. Наконец нам все же удалось восстановить происхождение отпечатка. Увы! Оказалось, что это наш собственный след.

В XX в. предложенное Кантом объяснение эффективности математики было подробно разработано Уайтхедом и поддержано Брауэром в работе 1923 г. Основная идея неокантианского объяснения состоит в том, что математика является не чем-то независимым от явлений, происходящих во внешнем мире, и применимым к ним, а элементом нашего способа восприятия явлений. Физический мир не дан нам объективно. Он является лишь нашей интерпретацией ощущений, конструкцией из них, и математика — основной инструмент, позволяющий упорядочивать ощущения. Из сказанного почти автоматически следует, что математика описывает внешний мир в той мере, в какой он известен человеку. То, что математическая организация ощущений оказывается одинаковой у многих людей, неокантианцы объясняют, ссылаясь на сходство в функционировании человеческого разума или на общность языка и культуры, вынуждающую различных людей принимать одну и ту же математическую схему. В пользу такого объяснения свидетельствует, например, господствующее положение, занимаемое евклидовой геометрией, хотя она не является последним словом в вопросах, связанных со структурой физического пространства. То же можно сказать и о гелиоцентрической системе мира. Своим происхождением она обязана отнюдь не расхождениями между птолемеевой теорией и наблюдениями. Кроме того, если бы теория Птолемея была сохранена и усовершенствована в соответствии с новыми наблюдениями, то, несмотря на несколько большую математическую сложность, она могла бы служить потребностям астрономов и мореплавателей с не меньшим успехом, чем теория Коперника.

Суть изложенных выше взглядов сводится к следующему. Мы пытаемся абстрагировать из сложного переплетения явлений какие-то простые системы, свойства которых допускают математическое описание. Поразительно точным математическим описанием природы мы обязаны силе этой абстракции. Более того, мы видим лишь то, что позволяет нам видеть наша математическая «оптика». Ту же мысль мы находим, в частности, в «Прагматизме» философа Уильяма Джеймса: «Все грандиозные достижения математики и естественных наук… проистекают из нашего неутомимого желания придать миру в наших умах более рациональную форму, чем та, которую придал ему грубый порядок нашего опыта».

Один из современных авторов выразил эту мысль более «поэтически»: «Реальность — самая очаровательная из куртизанок, ибо делает то, что вы ожидаете от нее в данный момент, но она отнюдь не скала, на которой может утвердиться ваш дух, ибо соткана из призрачных видений. Реальность не существует вне ваших мечтаний, и зачастую это не более чем блик, отбрасываемый вашими мыслями на лицо — природы».

Однако кантовское объяснение, согласно которому мы видим в природе лишь то, что разрешает нам видеть наш разум, не дает полного ответа на вопрос, почему математика эффективна. Такие достижения науки послекантовского периода, как создание теории электромагнитного поля, вряд ли можно отнести к порождениям чистого разума или способности разума упорядочивать ощущения. Ведь, скажем, радио и телевидение существуют вовсе не потому, что разум организовал какие-то ощущения в соответствии с некоторой «внутренней структурой», позволившей нам заняться разработкой радио и телевидения как следствий врожденных представлений разума о том, как природа должна себя вести.

Некоторые математики полагают, что математика автономна (гл. XIV), т.е. что ее аксиомы рождены чистым разумом или подсказаны опытом, а вся остальная математика построена на них уже независимо от опыта. Если встать на эту точку зрения, то как объяснить, почему математика применима к реальному миру, и особенно к физическим явлениям. На этот вопрос существует несколько ответов. Один из них состоит в том, что в математические аксиомы входят неопределяемые понятия, и, по-разному интерпретируя эти понятия, можно достичь согласия о описываемой физической ситуацией. Так, например, эллиптическая неевклидова геометрия применима и к обычным прямым на эллиптической плоскости, под которой можно — понимать и обычные «физические» плоскости (ведь «в пределе» при очень большой длине каждой прямой эллиптическая геометрия переходит в евклидову!), и к геометрии на сфере, где «прямыми» служат дуги больших окружностей сферы, высекаемых из нее плоскостями, проходящими через центр сферы.

Объяснение такого рода предложил Пуанкаре. Ему хотелось, чтобы математика была чисто дедуктивной наукой, которая лишь шаг за шагом выводит следствия из исходных аксиом. Используя правдоподобные аксиомы, возможно подсказанные его чувственными восприятиями, человек создает евклидову или неевклидову геометрии. Аксиомы и теоремы этих геометрий не являются ни эмпирическими, ни априорными истинами. Они истинны или ложны ничуть не больше, чем правильно или неправильно использование полярных координат по сравнению с прямоугольными. Пуанкаре назвал эти геометрии соглашениями для упорядочения и измерения тел или замаскированными определениями понятий. Мы используем ту геометрию, которая наиболее удобна. Тем не менее, подчеркивал Пуанкаре, мы всегда используем евклидову геометрию c прямыми, понимаемыми в обычном смысле, т.е. как натянутые нити или край линейки, потому что евклидова геометрия самая простая. Почему же теоремы геометрии должны быть применимы к физическому миру? Ответ, данный Пуанкаре, гласил: потому что мы изменяем физические законы, стремясь привести их в соответствие с математикой, «подогнать» под нее.

Чтобы проиллюстрировать выдвинутый Пуанкаре тезис, рассмотрим, как геодезисты определяют расстояния. Сначала они выбирают удобный базис — отрезок AB (рис. 15.1), длина которого измеряется мерной лентой. Чтобы определить расстояние AC, геодезист измеряет угол CAB, визируя в специальную трубу, установленную в точке A, направление на точку C, а затем наводя трубу на точку B. По лимбу на теодолите геодезист узнает, на какой угол была повернута труба, и тем самым измеряет угол CAB. Аналогичным образом геодезист измеряет угол ABC. Предполагается, что лучи света, идущие из C в A и из B в A, совпадают с отрезками прямых (натянутыми нитями), соединяющими точки C и B с точкой A.

Рис 15.1. Измерение расстояний методом триангуляции.

Но мы знаем, что аксиомы евклидовой геометрии согласуются с представлением о прямой как о натянутой нити, поэтому геодезист при вычислении расстояний AC и BC смело использует евклидову геометрию. Предположим теперь, что полученные геодезистом расстояния все же оказались неверными. Как это могло произойти? Луч света, идущий из точки C в точку A, мог распространяться по траектории, показанной на рис. 15.1 пунктиром; при этом, чтобы поймать световой «зайчик», геодезисту приходилось наводить теодолит в точке A по касательной к описываемой лучом света траектории. Следовательно, теодолит мог быть наведен на точку C', хотя геодезист видел точку C, и вместо угла CAB он измерил угол C'AB. В этом случае применение евклидовой геометрии могло бы дать неверные значения расстояний AC и BC.

Итак, возникает вопрос: по какому пути распространяются лучи света? Иногда они распространяются по «настоящим» (обычным) прямым, иногда изгибаются вследствие рефракции в атмосфере. Предположим, что геодезист определил расстояния AC и BC неверно. Не имея никаких оснований считать лучи света искривленными, он тем не менее счел их таковыми и в своих вычислениях обращался с отрезками AC и BC как с криволинейными. Введя надлежащие поправки в измерения углов в пунктах A и B, геодезист мог бы воспользоваться евклидовой геометрией и получить правильные значения расстояний AC и BC.

Приведем еще один пример, поясняющий тезис Пуанкаре о том, что математику можно подогнать под физическую реальность; этот пример касается вращения Земли. По мнению Пуанкаре, вращение Земли необходимо принять как физический факт, так как в астрономии это допущение приводит к более простой математической теории рассматриваемых явлений. Действительно, простота математической теории была единственным аргументом, который Коперник и Кеплер смогли привести в пользу гелиоцентрической системы по сравнению со старой геоцентрической системой Птолемея.