Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Рис. 2.2. Второй закон Кеплера: если  дуги PQ и P'Q' орбиты планета проходит за одно и то же время, то площади секторов PSQ и P'SQ' равны.

Открыв второй закон (равенства секториальных скоростей), Кеплер был необычайно рад. Хотя пользоваться вторым законом не так просто, как законом постоянства скоростей, совершенное открытие подкрепило глубочайшую убежденность Кеплера в том, что господь бог, создавая Вселенную, руководствовался математическими принципами. Бог действовал чуть более изощренно, чем предполагали предшественники Кеплера, но теперь со всей очевидностью было установлено, что скорости движения планет по орбитам подчиняются математическому закону. 

Но еще одна важная проблема по-прежнему оставалась нерешенной: по какому закону изменяются расстояния, отделяющие планеты от Солнца? Проблема осложнялась тем, что расстояние от планеты до Солнца не постоянно. И Кеплер принялся за поиск нового принципа, учитывающего зависимость расстояния от времени. По его глубокому убеждению бог сотворил мир не только на основе математических принципов, но и гармонично, причем слово «гармония» Кеплер понимал в самом прямом смысле. Так, он верил в существование музыки сфер, образующей гармонические созвучия, которые, хотя и невоспринимаемы на слух, но тем не менее их можно обнаружить при надлежащем «переводе» особенностей движения планет на ноты. Следуя этой путеводной идее и основываясь на поистине удивительной комбинации аргументов музыкального и математического характера, Кеплер устанавливает, что если T — период обращения планеты вокруг Солнца, a D — среднее расстояние от планеты до Солнца, то T2 = kD3, где k — постоянная, одинаковая для всех планет. Это утверждение и есть третий закон Кеплера для движения планет, торжественно провозглашенный им в сочинении «Гармония мира» (1619). 

Сформулировав третий закон, Кеплер разражается ликующим хвалебным гимном богу-творцу:

«Вы, Солнце, Луна и планеты, восславьте его на своем неизъяснимом языке! Вы, небесные гармонии и все, кто постигает разумом его чудесные творения, воздайте ему хвалу! И ты, душа моя, восхвали создателя! Им все сотворено, и в нем все существует. Все лучшее из того, что мы знаем, заключено в нем и в нашей жалкой науке». 

О том, с какой силой Коперник и Кеплер верили, что бог сотворил мир гармоничным и простым, можно судить по тем возражениям, с которыми им приходилось сталкиваться. Даже по теории Птолемея все остальные планеты, кроме Земли, находились в движении, и это объяснялось особо легкой и потому легко приводимой в движение субстанцией, из которой якобы сотворены планеты. Но что могло привести в движение тяжелую Землю? Ни Коперник, ни Кеплер не могли ответить на этот вопрос. Не принимая идею о суточном вращении Земли вокруг собственной оси, противники ее ссылались на такой, казалось бы, очевидный факт: тела не могли бы удержаться на поверхности вращающейся Земли и, сорвавшись с нее, улетели бы в космическое пространство, подобно тому как срываются предметы с вращающейся платформы. Против столь «неопровержимого» аргумента невозможно было возразить! Весьма неубедительным был ответ Коперника и на другой довод против суточного вращения Земли: вращающаяся Земля должна просто-напросто разлететься на части. На это Коперник возражал, что вращение Земли естественно и потому не может разрушить нашу планету. Должно быть, ощущая шаткость этого аргумента, Коперник, переходя в «контрнаступление», спрашивал, почему в таком случае небо не разлетается на части в результате очень быстрого суточного вращения, предусматриваемого геоцентрической теорией. Еще один довод против суточного вращения Земли состоял в следующем: если бы Земля вращалась с запада на восток, то любой предмет, подброшенный в воздух, отклонялся бы к западу, так как Земля под ним успевала бы поворачиваться. А если бы Земля к тому же обращалась вокруг Солнца, то более легкие предметы на Земле отставали бы от более тяжелых, поскольку скорости падающих предметов, как утверждали греки и продолжали считать ученые эпохи Возрождения, пропорциональны их весу. На это Коперник возражал, что воздух обладает земной природой и поэтому движется в полном соответствии с движением Земли. Суть всех этих возражений против суточного вращения Земли и ее обращения вокруг Солнца сводилась к тому, что движение Земли не вписывалось в рамки общепринятой во времена Коперника и Кеплера теории движения, предложенной еще Аристотелем.

Ряд научных возражений против гелиоцентрической теории выдвигала и сама астрономия. Наиболее серьезное возражение вызывало то, что в гелиоцентрической теории звезды считались неподвижными. Но за полгода Земля перемещалась в пространстве на расстояние около 300 млн. км. Следовательно, если наблюдатель заметит направление на какую-нибудь звезду, то спустя полгода он должен обнаружить, что это направление изменилось. Во времена же Коперника и Кеплера такого рода изменения в направлениях на звезды обнаружены не были. На это возражение Коперник отвечал, что звезды расположены слишком далеко от Земли и поэтому направления на звезды изменяются незначительно. Его ответ не удовлетворил критиков, заметивших, что если бы звезды были так далеки, как утверждает Коперник, то их нельзя было бы наблюдать. Тем не менее ответ Коперника был правильным. Направление на ближайшую звезду изменяется за полгода всего лишь на 0,31", и впервые это было обнаружено в 1838 г. немецким астрономом Фридрихом Вильгельмом Бесселем, имевшим в своем распоряжении хороший телескоп. 

Сторонники геоцентрической теории спрашивали также, почему мы не ощущаем движения Земли, если та обращается вокруг Солнца со скоростью около 30 км/с, а скорость вращения вокруг собственной оси достигает на экваторе величины около 0,8 км/с? К тому же наши глаза убеждают нас в том, что Солнце обращается вокруг Земли. Для современников Кеплера ссылка на то, что мы не ощущаем движения с огромными скоростями, в котором сами участвуем, если верить новой астрономии, была неоспоримым контрдоводом. Все научные возражения против движения Земли были достаточно весомыми — от них нельзя было отмахнуться, как от брюзжания упрямцев, не желающих признать очевидную истину. 

Коперник и Кеплер были людьми глубоко религиозными, и все же они оба дерзнули отказаться от одной из основных догм христианства: человек есть центр Вселенной и средоточие всех помыслов божьих. Гелиоцентрическая теория, поместив в центре Вселенной Солнце, подорвала столь успокоительную догму церкви. Человек стал одним из множества «странников», влекомых Землей в холодных небесных просторах. Утверждение церковников о том, будто человек рожден для того, чтобы прожить славную жизнь и обрести райское блаженство после смерти, стало казаться весьма сомнительным. Утратило правдоподобие и утверждение о том, будто человек является объектом особого внимания со стороны господа бога. Коперник подорвал тезис о том, будто бы Земля является центром Вселенной, указав, что размеры Вселенной огромны и поэтому бессмысленно говорить о каком бы то ни было центре Вселенной. Но в глазах его современников это рассуждение вовсе не выглядело убедительным. 

И все же у Коперника и Кеплера был аргумент, перевешивавший все возражения против гелиоцентрической системы мира: им удалось построить более простую в математическом отношении, более гармоничную и эстетически более привлекательную теорию. Но если новая теория превосходит в математическом отношении старую, то для всякого, кто считал, что бог сотворил мир, используя при этом лучшую из теорий, любые сомнения в правильности гелиоцентрической теории должны были отпасть. 

И в сочинении Коперника «О обращениях небесных сфер», и в многочисленных трудах Кеплера имеется немало высказываний, убедительно свидетельствующих, что Коперник и Кеплер были уверены в правильности построенной ими теории. Например, у Кеплера мы находим следующий отзыв о построенной им теории движения планет по эллиптическим орбитам: «Я клятвенно подтверждаю ее правильность и созерцаю ее красоту с неизъяснимым, переполняющим душу восторгом». Само название кеплеровского сочинения 1619 г. — «Гармония мира» и бесконечные дифирамбы богу, исполненные восхищения перед величием божественного математического плана, отражают убежденность Кеплера в правильности найденного им закона. 

Сначала новая теория получила поддержку лишь у математиков. И это не было неожиданным. Только математики были убеждены в том, что Вселенная построена на простых математических принципах, только у математиков хватило интеллектуальной смелости, чтобы преступить через широко распространенные философские, религиозные и научные контраргументы и по достоинству оценить математические преимущества новой, революционной астрономии. Нужно было обладать неколебимой уверенностью в значимости математических принципов, на которых зиждется Вселенная, чтобы отстаивать новую теорию перед лицом сильнейшей оппозиции.