Во что мы верим, но не можем доказать. Интеллектуалы XXI века о современной науке - Джон Брокман

Кит Девлин

КИТ ДЕВЛИН — математик; исполнительный директор Центра по изучению языка и информации Стэнфордского университета и консультирующий профессор на факультете математики. Его исследования посвящены разработке систем информации/суждений для анализа интеллекта. Автор нескольких книг, в том числе «Математический инстинкт: почему вы гениальный математик (наряду с омарами, птицами, кошками и собаками)».

Прежде чем ответить на вопрос проекта Edge, давайте определим, что мы называем доказательствами. (Математики любят с самого начала точно определять, о чем пойдет речь, и эта склонность к педантизму иногда сводит с ума наших коллег — физиков и инженеров.) Например, вслед за Декартом, я могу доказать самому себе, что существую, но вряд ли смогу доказать это кому-нибудь другому. Даже те, кто хорошо меня знает, могут предположить (хотя это маловероятно), что я просто плод их воображения. Если вы хотите от доказательства железобетонной твердости, то нет почти ничего, кроме нашего собственного существования (что бы это ни означало и в каком виде мы бы ни существовали), что мы можем доказать самим себе. И нет вообще ничего, что мы можем доказать другим.

Принято считать, что математическое доказательство — самая надежная форма доказательства из всех возможных. В те дни, когда Евклид писал «Начала», свой великий труд по геометрии, это было действительно так — по крайней мере, так казалось. Но многие доказательства геометрических теорем, которые привел Евклид, позже оказались неверными. В конце XIX века Дэвид Гилберт уточнил многие из них — хотя математики веками верили в них и объясняли их своим студентам. Так что даже в сфере простейших доказательств геометрии иногда трудно отличить правду от лжи.

Если рассмотреть некоторые доказательства, полученные в последние 50 лет, с помощью невероятно сложных умозаключений, иногда занимающих больше сотни страниц, уверенности становится еще меньше. Почти все математики (в том числе и я) верят, что Эндрю Уайлс доказал последнюю теорему Ферма в 1994 году, но так ли это? Я в это верю, потому что меня убедили эксперты.

В конце 2002 года российский математик Г. Перельман опубликовал в Интернете схему доказательства гипотезы Пуанкаре, знаменитой топологической проблемы, которую никто не может разгадать около сотни лет. Математики изучают доказательство Перельмана уже три года, но до сих пор не уверены в его правильности (они думают, что «вероятно, оно правильно»).

Или возьмем Томаса Хейлса. В 1998 году он предложил доказательства выдвинутой 360 лет назад гипотезы Иоганна Кеплера о том, что самый эффективный способ упаковать шары одинакового размера (например, пушечные ядра, с которых и началась эта гипотеза) — сложить их в форме пирамиды, как продавцы складывают апельсины на прилавке. Хейлс до сих пор не знает, примет ли математическое сообщество его доказательства. Комитет мировых экспертов изучал его доказательство (частично при помощи компьютера) в течение пяти лет. Весной 2003 года эксперты заявили, что не нашли никаких серьезных ошибок в его доказательстве, но все же не уверены в его правильности.

Но если само понятие доказательств настолько туманно даже в математике, ответить на ежегодный вопрос проекта Edge не так уж легко. Лучшее, что можно сделать, — это придумать что-нибудь, во что мы верим, но не можем доказать, просто ради собственного удовольствия. Другие могут соглашаться или не соглашаться с нами, в зависимости от того, насколько они доверяют нам в сфере науки, философии, какой-то другой области, на основании нашей репутации и наших предыдущих работ. Даже готовность математиков прошлого принять теорему Гёделя о неполноте (которая позволила бы мне в ответ на вопрос Edge сказать, что я верю, что в арифметике нет внутренних противоречий) уже невозможна. Теорема Гёделя показала: невозможно доказать, что теория, основанная на аксиомах, например, арифметика, свободна от противоречий, если мы пытаемся сделать это в рамках этой самой теории. Но это не значит, что этого нельзя доказать в рамках более обширной теории. На самом деле в стандартной теории, основанной на наборе аксиом, можно доказать, что арифметика лишена противоречий. Лично я верю этим доказательствам. Для меня как математика непротиворечивость арифметики полностью доказана, к моему полному удовольствию.

Поэтому, чтобы ответить на вопрос проекта Edge, нужно относиться к доказательствам с точки зрения здравого смысла. Тогда доказательства — это просто аргументы, способные убедить разумного, профессионального, скептичного, опытного эксперта в соответствующей области. В этом духе я могу перечислить достаточно узкие математические проблемы, которые считаю верными, но не могу этого доказать, начиная со знаменитой гипотезы Римана. Но я предпочитаю использовать свой математический взгляд, чтобы указать на неопределенность самого понятия «доказательство». Я верю (хотя и не могу этого доказать), что могу доказать свою точку зрения.

Фримен Дайсон

ФРИМЕН ДАЙСОН — почетный профессор физики Института последипломного образования Принстонского университета. Автор нескольких научно-популярных книг, в том числе «Воображаемые миры» и «Солнце, геном и Интернет».

Я — математик, и поэтому мой ответ на этот вопрос будет точным. Благодаря Курту Гёделю мы знаем, что существуют математические утверждения, которые невозможно доказать. Но мне этого мало. Мне нужно утверждение, достаточно истинное, недоказуемое и простое, чтобы его смогли понять не только математики, но и обычные люди. Вот оно.

Возьмем геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Это ряд чисел: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и т.д. Назовем их «числами первого ряда». Возьмем геометрическую прогрессию со знаменателем 5: 5, 25, 125, 625 и т.д. Назовем их «числами второго ряда». Можно взять любое число, например, 131072 (оно входит в первый ряд чисел), и записать его в обратном порядке: 270 131. Мое утверждение таково: число, обратное числу из первого ряда, никогда не принадлежит к числам из второго ряда.

Кажется, что числа первого ряда возникают в случайном порядке, безо всякой системы. Если бы число, обратное числу из первого ряда, принадлежало к числам из второго ряда, это было бы невероятное совпадение, и вероятность этого тем меньше, чем больше числа. Если предположить, что эти числа появляются случайно, то вероятность совпадения для любого числа из первого ряда, которое больше миллиарда, меньше одной миллиардной. Легко проверить, что этого не происходит для чисел из первого ряда, которые меньше миллиарда. Поэтому вероятность, что это когда-нибудь произойдет, меньше одной миллиардной. Вот почему я верю, что это утверждение истинно.

Но предположение о том, что числа из первого ряда появляются случайно, также подразумевает, что это утверждение недоказуемо. Любые доказательства этого утверждения должны быть основаны на каком-то неслучайном, закономерном свойстве этих чисел. Предположение о случайности означает, что это утверждение истинно, просто потому что шансы говорят в его пользу. Но это невозможно доказать, так как нет обоснованных математических причин, по которым это может быть истинным. (Замечание для экспертов: это доказательство неприменимо к геометрической прогрессии со знаменателем 3. В этом случае утверждение легко доказать, потому что число, обратное числу, делящемуся на 3, тоже делится на 3. Делимость на 3 — закономерное свойство чисел.)

Несложно найти другие примеры утверждений, которые, скорее всего, истинны, но недоказуемы. Главное — найти бесконечную последовательность событий, каждое из которых может произойти случайно, но с небольшой суммарной вероятностью того, что хотя бы одно из них произойдет. Тогда утверждение о том, что ни одно из событий никогда не произойдет, скорее всего, будет истинно, но недоказуемо.

Ребекка Гольдштейн

РЕБЕККА ГОЛЬДШТЕЙН — писатель и профессор философии колледжа Тринити в Хартфорде, Конн. Автор книги «Неполнота: доказательство и парадокс Курта Гёделя» и шести научнофантастических романов, в том числе «Вопрос об отношении души и тела» и «Свойства света: роман о любви, предательстве и квантовой физике».

Я верю, что научные теории помогают выйти — каким-то непостижимым образом — за рамки наблюдаемого физического мира и проникнуть в суть природы. Теоретические аспекты научных теорий — выраженные в терминах, не связанных с непосредственным наблюдением — на самом деле, как мне кажется, невозможно превратить в наблюдения. Но научные теории не являются алгоритмическими «черными ящиками», куда мы складываем наблюдения, а потом вытаскиваем свои прогнозы. Я верю, что теоретические аспекты теорий содержат в себе описания, и они истинны (или ложны) в том же прозаическом смысле, в котором истинны (или ложны) наблюдения, на которых они основаны. Они истинны в том случае (и лишь в том случае), если соответствуют реальности.