Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

Доказательство того, что имеется только пять Платоновых тел

Математики продолжили работу Евклида, и это позволило им решить множество проблем, относящихся к реальному миру. Например, в 1471 году немецкий математик и астроном Региомонтанус (Иоанн Мюллер) написал своему другу письмо, в котором задал такую задачу: «Из какой точки на земле перпендикулярно стоящий стержень кажется самым большим?» То была перефразировка «задачи о статуе». Представьте себе, что перед вами на пьедестале установлена статуя. Когда вы подходите к ней слишком близко, приходится задирать голову, и угол, под которым она видна, очень узкий. Когда же вы отошли далеко, приходится напрягать глаза, и статуя, опять же, видна под очень малым углом. Где расположено наилучшее место для обзора статуи?

Взглянем на статую сбоку, как показано на рисунке. Нам нужно найти точку на пунктирной линии, отвечающей уровню глаз, так, чтобы угол, под которым видна статуя, был бы наибольшим. Решение можно извлечь из третьей книги «Начал», посвященной окружностям. Угол максимален, когда окружность, проходящая через верх и низ статуи, касается пунктирной линии.

Задача о статуе

Однако самый, быть может, ошеломляющий результат в евклидовой геометрии — это тот, в котором выявляется потрясающее свойство треугольников. Для начала найдем, где находится центр треугольника. Это на удивление неочевидное понятие. Имеется четыре способа определить центр треугольника, и все они представляют собой различные точки (за исключением случая, когда треугольник равносторонний, — тогда эти точки совпадают друг с другом). Первый называется ортоцентром — это пересечение перпендикуляров, проведенных из каждой вершины к противолежащей ей стороне (сами эти линии называются высотами). Уже довольно занятен тот факт, что в любом треугольнике его высоты всегда пересекаются в одной и той же точке. Второй кандидат на центр треугольника — это центр описанной окружности, лежащий на пересечении перпендикуляров, проведенных из середины каждой стороны. Опять же, очень мило, что эти линии всегда пересекаются[17], какой бы треугольник вы ни выбрали. Третий кандидат — центроид, представляющий собой пересечение линий, идущих от вершин к серединам противолежащих сторон. Они тоже всегда пересекаются. И наконец, имеется окружность шести точек — это окружность, проходящая через середину каждой стороны, а также через пересечения сторон и высот[18]. У каждого треугольника есть окружность шести точек, и ее центр — четвертый кандидат на среднюю точку треугольника. В 1767 году Леонард Эйлер доказал, что у каждого треугольника его ортоцентр, центр описанной окружности, центроид и центр окружности шести точек всегда лежат на одной прямой. Полный улет — независимо от вида треугольника эти четыре точки сохраняют ослепительно единообразное взаимоотношение друг с другом! Присутствующая здесь гармония поистине чудесна. Пифагор, надо думать, просто ликовал бы.

Построение прямой Эйлера

Сейчас даже трудно оценить важность Евклидовых «Начал» для всей античной культуры. Не теряют они своего значения и по сей день. Появившись около 300 года до н. э., вплоть до XX века эта книга была второй после Библии по числу переизданий. И тем не менее, сколь бы виртуозным ни был Евклидов метод, он не решал все проблемы; ответ некоторых задач, порой совсем простых, не получишь с помощью циркуля и линейки. Это глубоко огорчало греков. В 430 году до н. э. Афины поразила эпидемия брюшного тифа. Афиняне отправились за советом к делосскому оракулу, который предложил им в два раза увеличить размер посвященного Аполлону алтаря, имевшего форму куба. Радуясь, что столь простое дело принесет им избавление, афиняне построили новый алтарь (тоже в форме куба), стороны которого были вдвое длиннее сторон исходного алтаря. Однако при удвоении стороны куба объем его увеличивается в два в кубе, то есть в восемь раз. Аполлон не возрадовался и только усугубил заразу. Задача, заданная богом, об удвоении куба, — по заданному кубу построить куб вдвое большего объема — называется делийской задачей и представляет собой одну из трех классических задач Античности, не разрешимых евклидовыми средствами. Две другие — это квадратура круга, то есть построение квадрата, имеющего ту же площадь, что и заданный круг, и трисекция угла, то есть построение угла, представляющего собой треть заданного. Почему евклидова геометрия не позволяет решить эти задачи[19], а другие методы позволяют? Этот вопрос на долгие годы стал главной проблемой математики.

Не одних только греков интриговали чудеса, скрытые в математических формах. Самый священный объект в исламе представляет собой платоново тело. Это Кааба, черный куб, стоящий в центре мечети Харам Бейт-Уллах в Мекке, который паломники обходят против часовой стрелки во время хаджа. (Истинные размеры Каабы таковы, что чуть недотягивают до идеального куба.) Кааба также служит ориентиром — той точкой, к которой должны быть обращены лицом правоверные мусульмане, совершающие дневную молитву, где бы они ни находились. Математика играет более значимую роль в исламе, чем в какой-либо другой из основных религий. За более чем тысячу лет до появления GPS-технологий необходимость обращаться лицом к Мекке требовала сложных астрономических вычислений — в этом, по-видимому, заключается одна из причин, по которым исламская наука не знала себе равных на протяжении почти тысячи лет.

В исламе запрещалось изображение людей и животных, а потому стены, потолки и полы священных зданий украшали затейливые геометрические мозаики. Предполагалось, что геометрия выражает истину, выходящую за пределы человеческого бытия, и это было вполне созвучно идеям Пифагора, утверждавшего, что Вселенная раскрывает себя через математические формы. Симметричные формы и бесконечные петли, которые исламские мастера использовали в своих узорах, были аллегорией бесконечного и выражением священного, математического миропорядка.

Исламская паркетная мозаика из дворца Альгамбра в Гранаде (Испания)

Если отправиться еще дальше на восток, то мы окажемся в другой цивилизации, которая давно восприняла красоту геометрических форм. В Японии все знают оригами. Это искусство складывания бумаги возникло из обычая крестьян воздавать благодарность богам во время уборки урожая, предлагая им на листке бумаги богатые приношения. Предназначенное богам располагалось не на плоском листе, а на сложенном по диагонали, дабы сделать дар более теплым, душевным. Оригами расцвело в Японии за последние несколько сотен лет в качестве досуга, как нечто вроде игры, в которую родители играют с детьми ради развлечения. Оригами как нельзя лучше отвечает любви японцев к художественной сдержанности, вниманию к деталям и экономии формы.

На первый взгляд складывание оригами из визитных карточек кажется сугубо японским изобретением, объединяющим два этих национальных пристрастия. На самом же деле такая практика японцам претит. Они воспринимают визитные карточки как продолжение личности, поэтому забавы с ними рассматриваются как серьезное оскорбление, пусть даже это оригами. Когда я попытался сложить визитную карточку в ресторане в Токио, меня едва не выставили на улицу за такое антиобщественное поведение. В остальном мире, однако, оригами с визитными карточками — некий современный поджанр в искусстве складывания бумаги. Ему более сотни лет, со времен (ныне позабытой) практики оригами с карточками, использовавшимися при нанесении визитов.

Примером может служить складывание карточки так, чтобы правый нижний угол пересекся с левым верхним углом, а затем сложение нахлестов. Повторите то же с другой карточкой, только на этот раз сложите левый нижний угол с правым верхним. Получатся две половинки тетраэдра.

Как сложить тетраэдр из карточек

Октаэдр можно сделать из четырех карточек, а икосаэдр — из десяти. Несложно также сделать четвертое платоново тело — куб. Сложим две карточки друг на друга в виде знака плюс и загнем выступающие части. Получившееся имеет форму квадрата. Шесть карточек, сложенных таким образом, собираются в куб, хотя загнутые части и остаются снаружи. Требуется еще шесть карточек, чтобы, надвинув их на грани, сделать куб гладким.

Как сложить куб из карточек

Жанин Мозли, программистка из Массачусетса, — настоящий дзен-мастер оригами из карточек. Несколько лет назад она обнаружила, что у нее в гараже скопились 100 000 карточек — они достались ей от коллег по работе: первый комплект она получила, когда компания сменила название, второй — когда компания поменяла адрес, а затем еще один, когда выяснилось, что во всех новых карточках имеется опечатка. При наличии таких ресурсов она готова была бросить вызов самому сложному объекту в искусстве оригами — губке Менгера.