Занимательная экономика. Теория экономических механизмов от А до Я - Александр Юрьевич Филатов

class="p1">Заметим, что из нее легко получить результаты для рассмотренных выше частных случаев. Например, в случае равномерного распределения ценностей получим следующие результаты.

Для двух участников: G(v) = v,

Для произвольного n: G(v) = v n–1,

Еще два общих вывода можно получить, если с помощью интегрирования по частям записать равновесную функцию ставки в еще одном виде:

Напрямую из выведенной формулы видно, что при любом распределении ценностей оптимальная ставка будет строго ниже оценки объекта. Это первый важный вывод, теперь доказанный строго.

Перейдем теперь в этой формуле от функции G(v) обратно к F(v):

Из нее следует второй важный вывод для аукциона первой цены, который выполняется вне зависимости от распределения ценностей: чем больше участников аукциона, тем ближе к оценке объекта должна быть ставка.

3.2. Теорема об эквивалентности форматов

3.2.1. Постановка теоремы Майерсона

В предыдущем разделе книги мы рассмотрели два варианта закрытых аукционов и вывели оптимальные стратегии для их участников. Но остался открытым вопрос о том, какой из этих форматов выгоднее использовать, если целью аукциониста является максимизация доходов, полученных от продажи лота. И не стоит ли придумать какой-то еще более изощренный механизм (например, аукцион третьей или четвертой цены), чтобы прибыль организаторов стала еще выше.

В 1981 году Роджер Майерсон доказал удивительный результат, названный теоремой об эквивалентности форматов. Он продемонстрировал, что средний выигрыш аукциониста, продающего объект на аукционе первой цены, в точности совпадет со средним выигрышем на аукционе Викри. Более того, как ни трудно в это поверить, средний выигрыш продавца в закрытых аукционах вообще не зависит от правил их проведения, если выполняются три очень простых свойства: объект отдается участнику, который подал максимальную заявку; участник с нулевой оценкой ничего не платит; равновесие симметрично.

Именно эта теорема в 2007 году принесла Майерсону Нобелевскую премию по экономике. И неслучайно. Это действительно мощнейший механизм анализа аукционов и конструирования их дизайна.

Разберем его более подробно.

Предположим, что аукцион организован некоторым образом – пока совершенно произвольно, но именно в виде статической, а не динамической игры. Это означает, что участники в конвертах или в электронной системе однократно подают заявки и существует единое для всех правило, определяющее выплаты, а также участника, который объявляется победителем аукциона, или нескольких участников, между которыми объект продажи разыгрывается в лотерею с заданными вероятностями.

Возьмем для определенности первого участника. Задать формат аукциона – означает задать отображение

m: R × B → R,

сопоставляющее каждому размеру заявки b1 ∈ R первого участника и каждому неупорядоченному набору заявок {b2,…, bn} ∈ B остальных участников платеж m1 = m (b1; {b2,…, bn}) первого участника в таких условиях. Это означает, что аукцион определяется суммой денег, которую должен будет заплатить участник в зависимости от собственной ставки и ставок всех его конкурентов.

Для формулировки и доказательства теоремы об эквивалентности форматов нам потребуется в дополнение к симметричности правила, которое определяет выплаты, ввести три дополнительных требования.

Как говорилось ранее, первым из них является эффективность. Объект, выставленный на продажу, всегда достается участнику с максимальной ставкой. Формально говоря, теорему можно трактовать шире, и вместо эффективности требовать одинаковой функции размещения объекта. Это может быть актуально в случае делимых благ. Например, если на аукционе разыгрывается пакет акций, то можно отдать 80 % акций победителю, а оставшиеся 20 % – указавшему вторую ставку. Но тогда и сравнивать этот аукцион придется исключительно с другими аукционами с такой же функцией размещения 80 на 20. Поэтому, чтобы не усложнять задачу, пока будем рассматривать предположение об эффективности в классическом виде.

Кстати, вопрос, связанный с эффективностью, не вполне очевиден – ведь максимальную ставку может сделать участник аукциона с немаксимальной оценкой. Однако такое может произойти лишь в несимметричном равновесии, когда разные участники пользуются разными стратегиями, а это мы запретим чуть ниже.

Также тут неявно кроется требование о том, что объект ни при каких заявках участников не остается в руках аукциониста при условии, что для последнего он не имеет никакой ценности. В частности, такое требование исключает использование резервной цены, начиная с которой идут торги: ведь при наличии порогового значения существуют реализации оценок участников, при которых объект не будет продан.

Второе требование, отсутствие входного билета, заключается в том, что человек с нулевой оценкой может заявить ноль и остаться при своих. Формально требование должно быть выполнено в среднем, то есть ожидаемый платеж игрока с нулевой ставкой равен нулю. Однако при дополнительном ограничении, что участникам ни при каких обстоятельствах не выплачивают никаких денег, усредненный ноль означает ноль при любых условиях. Точнее, как говорят математики, «почти всегда» – на множестве реализаций, имеющем полную меру. Независимо от распределения оценок и ставок всех остальных участников аукциона, участник, заявивший ноль, платит ноль.

Последнее условие, которое необходимо для справедливости теоремы Майерсона об эквивалентности форматов, заключается в том, что участники аукциона используют одинаковые стратегии ведения борьбы за объект. Иными словами, теорема о равенстве доходов аукциониста при разных форматах проведения аукциона верна при разыгрывании симметричного равновесия.

3.2.2. Доказательство теоремы Майерсона

Докажем теорему Майерсона об эквивалентности форматов. Для этого введем следующие обозначения. Пусть vi – это оценка i-го участника аукциона. Она является случайной величиной, которая распределена регулярным образом (то есть имеет математическое ожидание и дисперсию) на множестве неотрицательных чисел. Пусть также bi – это ставка i-го участника. Равновесную стратегию игроков обозначим за s (•). Обращаем внимание: мы сразу же рассматриваем именно равновесную стратегию, опуская весь процесс ее нахождения!

Функцию распределения оценок (то есть типов участников) обозначим за F (•), и в силу симметрии она будет одна и та же для всех – все участники аукциона принципиально неотличимы друг от друга. Априори, то есть до начала проведения аукциона, все n случайных величин v1,…, vn распределены независимым образом и неизвестны участникам, однако после показа лота каждый участник узнаёт свое собственное значение vi.

Теперь применим следующий трюк. Обозначим за M (v) функцию, определяющую ожидаемый в рассматриваемом равновесии s (•) платеж игрока, узнавшего свою оценку v. Таким образом, игрок (и мы вслед за ним) должен усреднить результат своего участия с данной оценкой по множеству всех наборов реализаций оценок прочих участников, то есть на пространстве размерности (n –  1).

Так как все прочие оценки независимы друг от друга, то вопрос сводится к взятию (n –