Живая математика. Математические рассказы и головоломки - Яков Перельман

На вопрос, кто же является родоначальником занимательного жанра, Я. И. Перельман отвечает без колебаний: Жюль Верн - и ссылается на «Путешествие к центру Земли» как на первое произведение этого жанра. Отдавая дань величайшего уважения Жюлю Верну - популяризатору науки и создателю жанра научно-фантастической литературы, мы все же позволим себе не согласиться с Я. И. Перельманом. И высказать свое мнение: истинный творец жанра «Занимательная наука» в его современном понимании - Яков Исидорович Перельман.

Попробуйте с этим не согласиться!

Ю. Данилов

ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Для чтения этой книги достаточна весьма скромная математическая подготовка: знание правил арифметики и элементарные сведения из геометрии. Лишь незначительная часть задач требует уменья составлять и решать простейшие уравнения. Тем не менее содержание книги весьма разнообразно: от пестрого подбора головоломок и замысловатых трюков математической гимнастики до полезных практических приемов счета и измерения. Составитель заботился о свежести включаемого материала и избегал повторения того, что входит в другие сборники того же автора («Фокусы и развлечения», «Занимательные задачи»). Читатель найдет здесь сотню головоломок, не включенных в другие книги, причем некоторые из задач, например крокетные, вообще никогда не публиковались.

В ряду составленных тем же автором математических книг серии «Занимательная наука» («Занимательная арифметика», «Занимательная алгебра», «Занимательная геометрия», «Занимательные задачи») настоящая - наиболее легкая и может служить введением в серию.

Я. И. Перельман

Глава первая. В ДОМЕ ОТДЫХА

ЗАВТРАК С ГОЛОВОЛОМКАМИ

- Сегодня утром я с белкой в прятки играл, - рассказывал во время завтрака один из собравшихся за столом дома отдыха. - Вы знаете в нашем лесу круглую полянку с одинокой березой посередине? За этим деревом и пряталась от меня белка. Выйдя из чащи на полянку, я сразу заметил беличью мордочку с живыми глазками, уставившуюся на меня из-за ствола. Осторожно, не приближаясь, стал я обходить по краю полянки, чтобы взглянуть на зверька. Раза четыре обошел я дерево, но плутовка отступала по стволу в обратную сторону, по-прежнему показывая только мордочку. Так и не удалось мне обойти кругом белки.

- Однако, - возразил кто-то, - сами же вы говорите, что четыре раза обошли вокруг дерева.

- Вокруг дерева, но не вокруг белки!

- Но белка-то на дереве?

- Что же из того?

- То, что вы кружились и около белки.

- Хорошо кружился, если ни разу не видел ее спинки!

- При чем тут спинка? Белка в центре, вы ходите по кругу, значит, ходите кругом белки.

- Ничуть не значит. Вообразите, что я хожу около вас по кругу, а вы поворачиваетесь ко мне все время лицом, пряча спину. Скажете вы разве, что я кружусь около вас?

- Конечно, скажу. Как же иначе?

- Кружусь, хотя не бываю позади вас, не вижу вашей спины?

- Далась вам спина! Вы замыкаете вокруг меня путь - вот в чем суть дела, а не в том, чтобы видеть спину!

- Позвольте, что значит кружиться около чего-нибудь? По-моему, это означает только одно: становиться последовательно в такие места, чтобы видеть предмет со всех сторон. Ведь правильно, профессор? - обратился спорящий к сидевшему за столом старику.

- Спор идет у вас, в сущности, о словах, - ответил ученый. - А в таких случаях надо начинать всегда с того, о значении слов.

Рис. 1. «Раза четыре обошел я дерево…» о чем вы только сейчас завели речь: надо договориться

Как понимать слова «двигаться вокруг предмета»? Смысл их может быть двоякий. Можно, во-первых, разуметь под ними перемещение по замкнутой линии, внутри которой находится предмет. Это одно понимание. Другое: двигаться по отношению к предмету так, чтобы видеть его со всех сторон. Держась первого понимания, вы должны признать, что четыре раза обошли вокруг белки. Придерживаясь же второго, обязаны заключить, что не обошли вокруг нее ни разу. Поводов для спора здесь, как видите, нет, если обе стороны говорят на одном языке, понимают слова одинаково.

- Прекрасно, можно допустить двоякое понимание. Но какое все же правильнее?

- Так ставить вопрос не приходится. Условливаться можно о чем угодно. Уместно только спросить, что более согласно с общепринятым пониманием. Я сказал бы, что лучше вяжется с духом языка первое понимание, и вот почему. Солнце, как известно, делает полный оборот вокруг своей оси в 26 суток…

- Солнце вертится?

- Конечно, как и Земля, вокруг оси. Вообразите, однако, что вращение Солнца совершается медленнее, а именно что оно делает один оборот не в 26 суток, а в 365 V12 суток, то есть в год. Тогда Солнце было бы обращено к Земле всегда одной и той же своей стороной; противоположной половины, «спины» Солнца, мы никогда не видели бы. Но разве стал бы кто-нибудь утверждать из-за этого, что Земля не кружится около Солнца?

- Да, теперь ясно, что я все-таки кружился около белки.

- Есть предложение, товарищи! Не расходиться, - сказал один из слушавших спор. - Так как в дождь гулять никто не пойдет, а перестанет дождик, видно, не скоро, то давайте проведем здесь время за головоломками. Начало сделано. Пусть каждый по очереди придумает или припомнит какую-нибудь головоломку. Вы же, профессор, явитесь нашим верховным судьей.

- Если головоломки будут с алгеброй или с геометрией, то я должна отказаться, - заявила молодая женщина.

- И я тоже, - присоединился кто-то.

- Нет, нет, участвовать должны все! А мы попросим присутствующих не привлекать ни алгебры, ни геометрии, разве только самые начатки. Возражений не имеется?

- Тогда я согласна и готова первая предложить головоломку.

- Прекрасно, просим! - донеслось с разных сторон. - Начинайте.

- Головоломка моя зародилась в обстановке коммунальной квартиры. Задача, так сказать, бытовая. Жилица - назову ее для удобства Тройкиной - положила в общую плиту 3 полена своих дров, жилица Пятеркина - 5 поленьев. Жилец Бестопливный, у которого, как вы догадываетесь, не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 80 копеек. Как должны они поделить между собой эту плату?

- Пополам, - поспешил заявить кто-то. - Бестопливный пользовался их огнем в равной мере.

- Ну нет, - возразил другой, - надо принять в соображение, как участвовали в этом огне дровяные вложения гражданок. Кто дал 3 полена, должен получить 30 копеек; кто дал 5 поленьев, получает 50 копеек. Вот это будет справедливый дележ.

Рис. 2. На кухне

- Товарищи, - взял слово тот, кто затеял игру и считался теперь председателем собрания. - Окончательные решения головоломок давайте пока не объявлять. Пусть каждый еще подумает над ними. Правильные ответы судья огласит нам за ужином. Теперь следующий. Очередь за вами, товарищ пионер!

- В нашей школе, - начал пионер, - имеется 5 кружков: политкружок, военный, фотографический, шахматный и хоровой. Политкружок занимается через день, военный - через 2 дня на 3-й; фотографический - каждый 4-й день, шахматный - каждый 5-й день и хоровой - каждый 6-й день. Первого января собрались в школе все 5 кружков, а затем занятия велись в назначенные по плану дни, без отступлений от расписания. Вопрос состоит в том, сколько в первом квартале было еще вечеров, когда собирались в школе все 5 кружков.

- А год был простой или високосный? - осведомились у пионера.

Рис. 3. «В нашей школе пять кружков», - начал пионер…

- Простой.

- Значит, первый квартал, - январь, февраль, март, - надо считать за 90 дней?

- Очевидно.

- Позвольте к вопросу вашей головоломки присоединить еще один, - сказал профессор. - А именно сколько в том же квартале года было таких вечеров, когда кружковых занятий в школе вовсе не происходило?

- Ага, понимаю! - раздался возглас. - Задача с подвохом. Ни одного дня не будет больше с 5 кружками и ни одного дня без всяких кружков. Это уже ясно!

- Почему? - спросил председатель.

- Объяснить не могу, но чувствую, что отгадчика хотят поймать врасплох.

- Ну, это не довод. Вечером выяснится, правильно ли ваше предчувствие. За вами очередь, товарищ!

- Двое считали в течение часа всех, кто проходил мимо них по тротуару. Один стоял у ворот дома, другой прохаживался взад и вперед по тротуару. Кто насчитал больше прохожих?