7. Физика сплошных сред - Ричард Фейнман

Фиг. 30.3. Решетка молекуляр­ного кристалла.

Поскольку молекулы не очень крепко держатся друг за друга, то кристалл легко можно расколоть. Такого рода кристаллы резко отличаются от кристаллов типа алмаза, который есть не что иное, как одна гигантская молекула, не поддающаяся разлому без того, чтобы не нарушить сильные ковалентные связи.

Другим примером молекулярного кристалла может служить парафин.

Предельным случаем молекулярного кристалла являются вещества типа твердого аргона. Там притяжение между ато­мами незначительно — каждый атом представляет собой вполне насыщенную одноатомную «молекулу». Но при очень низких температурах тепловое движение настолько слабо, что кро­шечные межатомные силы могут заставить атомы расположить­ся в правильном порядке, подобно картофелинам, тесно наби­тым в кастрюле.

Металлы образуют совсем особый класс веществ. Там связь имеет совершенно другой характер. В металле связь возникает не между соседними атомами, а является свойством всего кри­сталла. Валентные электроны принадлежат не одному-двум атомам, а всему кристаллу в целом. Каждый атом вкладывает свой электрон в общий запас электронов, и положительные атомные ионы как бы плавают в океане отрицательных электронов. Электронный океан, подобно клею, удерживает ионы вместе.

Поскольку в металлах нет особых связей в каком-то опре­деленном направлении, то там связь слабо зависит от направ­ления. Однако металлы — это еще кристаллические тела, по­тому что полная энергия принимает наименьшее значение, когда ионы образуют упорядоченную систему, хотя энергия наиболее выгодного расположения обычно ненамного ниже других возможных расположений. В первом приближении атомы многих металлов подобны маленьким шарикам, упако­ванным с максимальной плотностью.

§ 3. Рост кристаллов

Попробуйте представить себе образование кристаллов на Земле в естественных условиях. В поверхностном слое Земли все сорта атомов перемешаны между собой. Вулканическая дея­тельность, ветер и вода постоянно их смешивают, и они то и дело взбалтываются и перемешиваются. Но, несмотря на это, каким-то чудом атомы кремния постепенно начинают отыскивать друг друга, а потом и атомы кислорода, чтобы образовать вместе кремнезем. К одним атомам поодиночке пристраиваются дру­гие, образуя кристалл, и смесь разделяется. А где-нибудь по со­седству атомы хлора и натрия находят друг друга и строят кристалл соли.

Как же получается, что кристалл, начав строиться, позво­ляет присоединяться к себе только определенному сорту ато­мов? Так происходит потому, что вся система в целом стремится к наименьшему возможному значению энергии. Растущий кри­сталл примет новый атом, если благодаря ему энергия станет наименьшей. Но откуда кристалл знает, что атом кремния (или кислорода), будучи поставлен в данное место, приведет к наи­меньшему значению энергии? Узнаёт он это методом проб и ошибок. В жидкости все атомы находятся в непрестанном дви­жении. Каждый атом ударяется о соседние примерно 1013 раз в секунду. Если он ударяется о подходящее место в растущем кристалле, вероятность того, что он улетит обратно, будет несколько меньше там, где меньше энергия. Продолжая так пробовать миллионы лет, с частотой 1013 проб в секунду, атомы постепенно оседают на тех местах, где находят для себя поло­жение с наименьшей энергией. В конце концов из них выра­стают большие кристаллы.

§ 4. Кристаллические решетки

Расположение атомов в кристалле — кристаллическая ре­шетка — может принимать множество геометрических форм. Мы опишем сначала простейшие решетки, характерные для большинства металлов и инертных газов в твердом состоянии. Это кубические решетки, которые могут быть двух видов: объемноцентрированная кубическая (фиг. 30.4, а) и гранецентрированная кубическая (фиг. 30.4, б).

Фиг. 30.4. Элементарная ячейка кубического кристалла, а — объемноцентрированная; б — гранецентрированная.

Конечно, на рисунках показан только один «куб» решетки; вы должны мысленно пред­ставить, что все это повторяется в трех измерениях до беско­нечности. Для простоты на рисунке показаны только «центры» атомов. В настоящих кристаллах атомы скорее похожи на сопри­касающиеся друг с другом шарики. Темные и светлые шарики на приведенных рисунках могут, вообще говоря, означать либо разные, либо одинаковые сорта атомов. Так, железо имеет объемноцентрированную кубическую решетку при низких тем­пературах и гранецентрированную кубическую решетку при более высоких температурах. Физические свойства этих двух кристаллических форм совершенно различны.

Но как возникают такие формы? Представьте, что вы дол­жны как можно плотнее упаковать атомы — шарики. Можно было бы начать со слоя, где шарики уложены в «гексагональной плотной упаковке», как показано на фиг. 30.5, а.

Фиг. 30.5. Устройство гексагональной решетки с плотной упаковкой.

Затем можно построить второй слой наподобие первого, но сместив его в го­ризонтальном направлении, как показано на фиг. 30.5, б. А потом можно наложить и третий слой. Вот тут — внимание! Третий слой можно наложить двумя разными способами. Если вы начнете класть третий слой, помещая атом в точку А на фиг. 30.5, б, то каждый атом в третьем слое окажется прямо над атомом первого нижнего слоя. Если же начать класть третий слой, поме­щая атом в точку В, то атомы треть­его слоя будут расположены как раз над центрами треугольников, обра­зованных тремя атомами нижнего слоя. Любая другая начальная точка эквивалентна А или В, так что су­ществует только два способа разме­щения третьего слоя.

Если третий слой имеет атом в точке В, кристаллическая решетка будет гранецентрированной кубической, но видно это под некоторым углом. Забавно, что, начав с шестиугольни­ков, можно прийти к кубической структуре. Но обратите вни­мание, что куб, рассматриваемый под определенным углом, имеет очертания шестиугольника. Например, фиг. 30.6 может изображать либо плоский шестиугольник, либо и куб в пер­спективе!

Если к фиг. 30.5, б добавляется третий слой, начиная с ато­ма в точке А, то кубической структуры не возникает и у ре­шетки будет только гексагональная симметрия. Ясно, что обе опи­санные нами возможности дают одинаковую плотную упаковку.

Некоторые металлы (например, серебро и медь) выбирают первую альтернативу — решетка у них гранецентрированная кубическая. Другие же (например, бериллий и магний) пред­почитают вторую возможность и образуют гексагональные кристаллы. Очевидно, появление той или иной решетки не может зависеть только от способа упаков­ки маленьких шариков, но должно еще определяться и другими факторами. В частности, оказывается существенной небольшая угловая зависимость межатомных сил (или в случае металлов от энергии электронного океана).

Фиг. 30.6. Что это — шестиугольник или куб?

Все эти вещи вы несомненно узнаете из курса химии.

§ 5. Симметрии в двух измерениях

Теперь мне хотелось бы обсудить некоторые свойства кри­сталлов с точки зрения их внутренних симметрии. Основное свойство кристалла состоит в том, что если вы сдвинетесь от одного атома на один период решетки к соответствующему ато­му, то попадете в точно такое же окружение. Это фундамен­тальное утверждение. Но если бы вы сами были атомом, то могли бы заметить другое передвижение, которое привело бы вас в точно такое же окружение, т. е. в другую возможную «симмет­рию». На фиг. 30.7, а показан еще один возможный узор обоев (хотя вы, наверно, такого никогда не видали).

Фиг. 30.7. Узор обоев с высокой симметрией.

Предположим, что мы сравниваем окру­жения в точках А и В. Вы могли бы сперва подумать, что они одинаковы. Не совсем. Точки С и D экви­валентны А, но окружение В подобно А, только если все рядом обращать как будто в зеркале.

В этом узоре имеются еще и другие виды «эквивалентных» точек. Так, точки Е и F обладают «одинаковыми» окружениями, за тем исключением, что одно повернуто на 90° по отношению к другому. Узор особенный. Вращение на 90°, проделанное сколько угодно раз вокруг такой вершины, как A, снова дает тот же узор. Кристалл с такой структурой имел бы на поверхнос­ти прямые углы, но внутри он устроен сложнее, чем простой куб.

Теперь, когда мы описали ряд частных случаев, попытаемся вывести все возможные типы симметрии, какие может иметь кристалл. Прежде всего посмотрим, что получается в плоскости. Плоская решетка может быть определена с помощью двух так называемых основных векторов, которые идут от одной точки решетки к двум ближайшим эквивалентным точкам. Два вектора 1 и 2 суть основные векторы решетки на фиг. 30.1. Два век­тора а и b на фиг. 30.7, а — основные векторы для изображен­ного там узора. Мы могли бы, конечно, с тем же успехом заме­нить а на -а или b на -b. Раз а и b одинаковы по величине и перпендикулярны друг другу, то вращение на 90° переводит а в b и b в а и снова дает ту же решетку.