Пятьсот двадцать головоломок - Генри Дьюдени

Чему равно наименьшее число ходов?

365. Железнодорожная стрелка. Каким образом два поезда смогут разминуться с помощью изображенной здесь стрелки и продолжать движение дальше вперед паровозами? Небольшой боковой тупик достаточен лишь для того, чтобы принять либо паровоз, либо один вагон одновременно. Никаких трюков с канатами и перелетами не допускается. Каждое изменение направления, совершаемое одним паровозом, считается за один ход. Чему равно наименьшее число ходов?

Для более удобного решения нарисуйте на листе бумаги железнодорожные пути и положите на них гривенник и три двухкопеечные монеты (вверх гербами), изображающие левый поезд, и гривенник с двумя двухкопеечными монетами (вниз гербами), изображающими правый поезд.

366. Как упорядочить фишки? Расставьте фишки внутри квадрата так, как показано на рисунке. Головоломка состоит в том, чтобы расположить их по порядку (в первой строке фишки 1, 2, 3, 4, 5, во второй — 6, 7, 8, 9, 10 и т. д.), беря по фишке в каждую руку и меняя их местами. Например, вы можете взять фишки 7 и 1 и расположить их в порядке 1 и 7. Поменяв затем местами фишки 24 и 2, вы расположите в правильном порядке первые две фишки. Задача заключается в том, чтобы выстроить фишки по порядку за наименьшее число ходов.

367. Девять человек в окопе. Представьте себе, что на рисунке изображены 9 человек в одном окопе. Сержант под номером 1 хочет оказаться на другом конце окопа (в точке 1), но чтобы при этом все остальные солдаты остались на своих местах. Окоп слишком узок, и двоим в нем не разойтись, а перебираться по чужим спинам — занятие довольно опасное. Однако с помощью трех ниш (каждая на одного человека) добиться желаемого совсем нетрудно.

Как это можно сделать за наименьшее число ходов? Человек за один ход может передвигаться на любое доступное расстояние.

368. Черное и белое. Однажды за чашкой чая профессор Рэкбрейн показал своим друзьям следующую старую головоломку.

Расположите 4 белые и 4 черные фишки в ряд через одну, как показано на рисунке. Головоломка состоит в том, чтобы переставить две соприкасающиеся фишки в один из концов, затем переставить две другие соприкасающиеся фишки на освободившееся место и т. д. до тех пор, пока через 4 хода все фишки не образуют прямую без пробелов, в которой сначала идут 4 черные, а за ними 4 белые фишки. Помните, что перемещать можно только соприкасающиеся фишки.

— Теперь, — сказал Рэкбрейн, — поскольку вы научились играть в эту игру, попробуйте другой вариант. Условия остаются теми же, но, передвигая две соприкасающиеся фишки, вы должны менять их местами. Так, если вы переносите фишки 5, 6 в конец, то должны расположить их в порядке 6, 5. Сколько потребуется ходов теперь?

369. Анжелика. Проведите 3 прямые вертикально и 3 горизонтально таким образом, чтобы они образовали квадрат (см. рисунок), и поместите в точки пересечения восемь фишек с буквами.

Головоломка состоит в том, чтобы, передвигая фишки вдоль прямых на свободные места, составить из них слово АНЖЕЛИКА:

Попытайтесь сделать это за наименьшее число ходов. Записывать ходы очень просто. Для этого надо только выписывать по очереди те буквы, которые вы передвигаете, например АЕЛН и т. д.

370. Фландрское колесо. Разместите на колесе 8 фишек с буквами, как показано на рисунке. Затем передвигайте их по одной вдоль линий от кружка к кружку, пока у вас не получится слово ФЛАНДРИЯ, расположенное, как и теперь, по ободу колеса, но только буква Ф должна оказаться в верхнем кружке на месте буквы Н. Разумеется, две фишки не могут одновременно находиться в одном кружке.

Найдите решение с наименьшим числом ходов.

371. Погоня. Начертите на листе бумаги поле, которое изображено на нашем рисунке, и воспользуйтесь фишками, представляющими двух охранников (люди в высоких шапках) и двух узников. Вначале разместите фишки так, как показано на рисунке. Первый игрок передвигает каждого охранника через дверь из одной камеры в любую соседнюю. Затем второй игрок передвигает каждого узника через дверь в любую соседнюю камеру и т. д. до тех пор, пока каждый охранник не схватит своего узника. Если какой-либо охранник хватает узника, то он вместе со своей жертвой выбывает из игры, а другая пара продолжает игру.

Например, охранник может пойти в камеру F (для простоты мы рассмотрим лишь одну пару охранник — узник), затем узник перейдет в камеру D, охранник — в камеру Е, узник — в камеру А, охранник — в камеру В, узник — в камеру D и т. д. Может показаться, что погоня охранника за узником безнадежно затянется, но, проявив немного смекалки, вы сумеете настичь беглеца.

372. Кадриль кузнечиков. Поменяйте местами белые шашки с черными за возможно меньшее число ходов. Нельзя ходить по диагонали или «есть» шашки противника. Белые шашки могут ходить только вправо или вверх, а черные — только влево или вниз, но они могут перепрыгивать через шашки другого цвета, как при обычной игре в шашки. Решить задачу очень легко, если вам удастся нащупать метод решения.

373. Четыре монеты. Возьмите 4 одинаковые монеты и расположите их на столе без помощи другой монеты или других вспомогательных средств таким образом, чтобы пятую монету можно было точно подогнать к четырем данным, не сдвигая последних (на рисунке заштрихованный кружок изображает пятую монету).

Положившись лишь на собственный глазомер, вы, вероятнее всего, потерпите неудачу. В то же время условие можно выполнить с абсолютной точностью. Но как?

374. Шесть монет. Положите 6 одинаковых монет на стол, а затем разместите их, как показано на рисунке белыми кружками, так, чтобы, опустив седьмую монету (черный кружок) в центр, вы привели бы ее тем самым в соприкосновение со всеми шестью монетами. Задание требуется выполнить совершенно точно, а не «на глазок». Приподнимать какую-либо монету со стола (иначе вообще не получилось бы никакой головоломки) или совершать какие-либо измерения не разрешается. В вашем распоряжении только шесть монет.

Комбинаторные и топологические задачи

375. Неправильный магический квадрат. На помещенном здесь рисунке изображен правильный магический квадрат, составленный из чисел от 1 до 16 включительно. Сумма чисел, стоящих в любой строке, в любом столбце и на любой из двух больших диагоналей, равна 34. Предположим теперь, что вам запрещено использовать числа 2 и 15, но вместо этого вы можете повторить любые два числа, уже использованные ранее.

Как следует расположить числа, чтобы в новом квадрате их суммы во всех строках, столбцах и на диагоналях по-прежнему равнялись 34? Успех зависит от того, какими числами вы замените 2 и 15.

376. Недоразумение с магическим квадратом. Перед вами магический квадрат пятого порядка. Я обнаружил, что подавляющее большинство людей, не знакомых глубоко с теорией магических квадратов, убеждены, будто в квадратах пятого порядка в центре непременно должно стоять число 13. Один читатель, на протяжении многих лет забавлявшийся этим квадратом, был просто поражен, когда узнал от меня, что в центре такого квадрата может стоять любое число от 1 до 25.

Докажите, что это действительно так. Попытайтесь, например, составить магический квадрат пятого порядка, в центре которого стояла бы 1.

377. Разностные квадраты. Можете ли вы расположить 9 цифр в виде квадрата таким образом, чтобы в любой строке, в любом столбце и на каждой из больших диагоналей разности между суммой двух цифр и третьей цифрой совпадали между собой? На нашем рисунке приведен квадрат, в котором все строки и столбцы удовлетворяют требуемому условию — разность в них равна 3 (например, 4 + 2 - 3, 1 + 9 - 7, 6 + 5 - 8 и т. д.), а вот диагонали «подкачали», поскольку разности 8 - (4 + 1) и 6 - (1 + 2) получены запрещенным способом: не из одной цифры должна вычитаться сумма двух остальных, а из суммы двух — одна.

Сколько всего существует решений?

378. Так ли просто? Перед вами простой магический квадрат, у которого суммы чисел, стоящих в любой строке, в любом столбце и на главных диагоналях, равны 72. Головоломка состоит в том, чтобы превратить его в мультипликативный магический квадрат, у которого произведения чисел, стоящих в любой строке, в любом столбце или на любой из больших диагоналей, совпадали бы между собой. Не разрешается ни менять числа местами, ни прибавлять к ним что-либо, ни вообще пользоваться какими-либо арифметическими знаками! Можно лишь передвигать цифры внутри одной клетки. Так, вместо 27 разрешается брать 72.