Живая математика. Математические рассказы и головоломки - Яков Перельман

76. Чтобы по снимку определить высоту башни в натуре, нужно прежде всего измерить возможно точнее высоту башни и длину ее основания на фотографическом изображении. Предположим, высота на снимке 95 мм, а длина основания - 19 мм.

Тогда вы измеряете длину основания башни в натуре; допустим, она оказалась равной 14 м.

Сделав это, вы рассуждаете так: фотография башни и ее подлинные очертания геометрически подобны друг другу.

Рис. 120

Следовательно, во сколько раз изображение высоты больше изображения основания, во столько же раз высота башни в натуре больше длины ее основания. Первое отношение равно

95: 19, т. е. 5;

отсюда заключаете, что высота башни больше длины ее основания в 5 раз и равна в натуре 14 х 5 = 70 м.

Итак, высота городской башни 70 м. Надо заметить, однако, что для фотографического определения высоты башни пригоден не всякий снимок, а только такой, в котором пропорции не искажены, как это бывает у неопытных фотографов.

77. Часто на оба поставленных в задаче вопроса отвечают утвердительно. В действительности же подобны только треугольники; наружный же и внутренний четырехугольники в фигуре рамки, вообще говоря, не подобны. Для подобия треугольников достаточно равенства углов; а так как стороны внутреннего треугольника параллельны сторонам наружного, то фигуры эти подобны. Но для подобия прочих многоугольников не достаточно одного равенства углов (или, что то же самое, одной лишь параллельности сторон): необходимо еще, чтобы стороны многоугольников были пропорциональны. Для наружного и внутреннего четырехугольников в фигуре рамки это имеет место только в случае квадратов (и вообще - ромбов). Во всех же прочих случаях стороны наружного четырехугольника не пропорциональны сторонам внутреннего, и, следовательно, фигуры не подобны. Отсутствие подобия становится очевидным для прямоугольных рамок с широкими планками, как на рис. 121 В левой рамке наружные стороны относятся друг к другу как 2:1, а внутренние - как 4:1. В правой - наружные как 4:3, внутренние как 2:1.

Рис. 121

78. Для многих будет неожиданностью, что при решении этой задачи понадобятся сведения из астрономии; о расстоянии от Земли до Солнца и о величине солнечного диаметра.

Длина полной тени, отбрасываемой в пространстве проволокой, определяется геометрическим построением, показанным на рис. 122. Легко видеть, что тень во столько раз больше поперечника проволоки, во сколько раз расстояние от Земли до Солнца (150 000 000 км) больше поперечника Солнца (1 400 000 км). Последнее отношение равно, круглым счетом, 107. Значит, длина полной тени, отбрасываемой в пространстве проволокой, равна

4 х 107 = 428 мм = 42,8 см.

Незначительной длиной полной тени объясняется то, что она бывает не видна - на земле или на стенах домов; те слабые полоски, которые различаются при этом, - не тени, а полутени.

Рис. 122

Другой прием решения таких задач был указан при рассмотрении головоломки 8-й.

79. Ответ, что игрушечный кирпичик весит 1 кг, т. е. всего в четверть меньше, грубо ошибочен. Кирпичик ведь не только вчетверо короче настоящего, но и вчетверо уже да еще вчетверо ниже; поэтому объем и вес его меньше в 4 х 4 х 4 = 64 раза.

Правильный ответ, следовательно, таков: игрушечный кирпичик весит 4000: 64 = 62,5 г.

80. Вы теперь уже подготовлены к правильному решению этой задачи. Так как фигуры человеческого тела приблизительно подобны, то при вдвое большем росте человек имеет объем не вдвое, а в 8 раз больший. Значит, наш великан весит больше карлика раз в 8.

Один из высочайших великанов, о которых сохранились сведения, был житель Эльзаса ростом в 275 см - на целый метр выше человека среднего роста. Самый маленький карлик имел в высоту меньше 40 см, т. е. был ниже исполина-эльзасца круглым счетом в 7 раз. Поэтому если бы на одну чашу весов поставить великана-эльзасца, то на другую надо бы для равновесия поместить 7 x 7 x 7 = 343 карлика, - целую толпу.

81. Объем большего арбуза превышает объем меньшего в

почти вдвое. Выгоднее, значит, купить крупный арбуз; он дороже только в полтора раза, а съедобного вещества в нем больше раза в два.

Почему же, однако, продавцы просят за такие арбузы обычно не вдвое, а только в полтора раза больше? Объясняется это просто тем, что продавцы в большинстве случаев не сильны в геометрии. Впрочем, не сильны в ней и покупатели, зачастую отказывающиеся из-за этого от выгодных покупок. Можно смело утверждать, что крупные арбузы выгоднее покупать, чем мелкие, потому что они расцениваются всегда ниже их истинной стоимости; но большинство покупателей этого не подозревают. По той же причине всегда выгоднее покупать крупные яйца, нежели мелкие, если только их не расценивают по весу.

82. Окружности относятся между собой как диаметры. Если окружность одной дыни 60 см, другой 50 см, то отношение их диаметров 60 х 50 = 6/5, а отношение их объемов

Большая дыня должна быть, если оценивать ее сообразно объему (или весу), в 1,73 раза дороже меньшей; другими словами, дороже на 73 %. Просят же за нее всего на 50 % больше. Ясно, что есть прямой расчет ее купить.

83. Из условия задачи следует, что диаметр вишни в 3 раза больше диаметра косточки. Значит, объем вишни больше объема косточки в 3 х 3 х 3, т. е. в 27 раз; на долю косточки приходится У часть объема вишни, а на долю сочной части - остальные 26/27- И, следовательно, сочная часть вишни больше косточки по объему в 26 раз.

84. Если модель легче натуры в 8 000 000 раз и обе сделаны из одного металла, то объем модели должен быть в 8 000 000 раз меньше объема натуры. Мы уже знаем, что объемы подобных тел относятся как кубы их высот. Следовательно, модель должна быть ниже натуры в 200 раз, потому что

200 х 200 х 200 = 8 000 000.

Высота подлинной башни 300 м. Отсюда высота модели должна быть равна

Модель будет почти в рост человека.

85. Обе кастрюли - тела геометрически подобные. Если большая кастрюля в 8 раз вместительнее, то все ее линейные размеры в два раза больше: она вдвое выше и вдвое шире по обоим направлениям.

Но раз она вдвое выше и шире, то поверхность ее больше в 2 х 2, т. е. в 4 раза, потому что поверхности подобных тел относятся как квадраты линейных размеров. При одинаковой толщине стенок вес кастрюли зависит от величины ее поверхности. Отсюда имеем ответ на вопрос задачи: большая кастрюля вчетверо тяжелее меньшей.

86. Эта задача, на первый взгляд вовсе не математическая, решается, в сущности, тем же геометрическим рассуждением, какое применено было в предыдущей задаче. Прежде чем приступить к ее решению, рассмотрим сходную с ней, но несколько более простую задачу.

I

Два котла (или два самовара), большой и малый, одинакового материала и формы, наполнены кипятком. Какой остынет скорее?

Вещи остывают главным образом с поверхности: следовательно, остынет скорее тот котел, в котором на каждую единицу объема приходится большая поверхность. Если один котел в п раз выше и шире другого, то поверхность его больше в п 1 раз, а объем - в п3; на единицу поверхности в большем котле приходится в п раз больший объем. Следовательно, меньший котел должен остыть раньше. По той же причине и ребенок, стоящий на морозе, должен зябнуть больше, чем одинаково одетый взрослый: количество тепла, возникающего в каждом кубическом сантиметре тела, у обоих приблизительно одинаково, но остывающая поверхность тела, приходящаяся на каждый кубический сантиметр, у ребенка больше, чем у взрослого.

Также и пальцы рук или нос зябнут сильнее и отмораживаются чаще, чем другие части тела, поверхность которых не столь велика по сравнению с их объемом.

II

Сюда же, наконец, относится и следующая задача: почему лучина загорается скорее, чем толстое полено, от которого она отколота? Так как нагревание происходит с поверхности и распространяется на весь объем тела, то следует сравнить поверхность и объем лучины (например, квадратного сечения) с поверхностью и объемом полена той же длины и того же квадратного сечения, чтобы определить, какой величины поверхность приходится на 1 куб. см древесины в обоих случаях.

Если толщина полена в 10 раз больше толщины лучины, то боковая поверхность полена больше поверхности лучины тоже в 10 раз, объем же его больше объема лучины в 100 раз. Следовательно, на каждую единицу поверхности в лучине приходится вдесятеро меньший объем, чем в полене: одинаковое количество тепла нагревает в лучине вдесятеро меньше вещества, отсюда и более раннее воспламенение лучины, чем полена, от одного и того же источника тепла. (Ввиду дурной теплопроводности дерева, указанные соотношения следует рассматривать лишь как грубо приблизительные; они характеризуют лишь общий ход процесса, а не количественную сторону.)