Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Беллос Алекс

Среди всех новаторских способов обращения с числами в Древней Индии самым, пожалуй, занятным был лексикон, применявшийся для описания чисел от нуля до девяти. Вместо того чтобы закрепить за каждой цифрой уникальное имя, они применяли колоритный набор синонимов. Нуль, как мы уже знаем, назывался шинья, но еще и «эфиром», «точкой», «дырой» или «змеем вечности». Единица — «землей», «луной», «путеводной звездой» или «свернувшимся молоком». Двойка выступала под названием «рука», тройка была «огнем», а четверка — «вульвой». То или иное имя выбиралось в зависимости от контекста и следовало принятым в санскрите строгим правилам версификации и просодии. Например, следующий стих представляет собой отрывок из описания манипуляций с числами в одном древнем астрологическом тексте:

Апсиды Луны в Юга.

Огонь. Пустота. Всадник. Васу[20]. Змей. Океан,

и в ее ущербном узле.

Васу. Огонь. Изначальная Пара. Всадник. Огонь. Близнецы.

Перевод таков:

[Число обращений] апсидов Луны в [космическом цикле есть]

Три. Нуль. Два. Восемь. Восемь. Четыре [то есть 488 203],

и в ее ущербном узле.

Восемь. Три. Два. Два. Три. Два [то есть 232 238].

На первый взгляд использование витиеватых альтернативных названий для каждого числа может показаться бесполезным, но на самом деле оно совершенно осмысленно. В те периоды в истории, когда рукописи были недолговечны и легко портились, астрономам и астрологам требовался способ резервного хранения данных для точной передачи чисел. Последовательности цифр легче запомнить, если они описаны в стихах с использованием разнообразных имен, нежели когда при их записи используется набор безликих, похожих друг на друга обозначений.

Другая причина, по которой числа передавались изустно, состояла в том, что имена числительные, возникавшие в различных районах Индии для чисел от одного до девяти (к нулю мы вернемся чуть позже), были разными. Два человека из разных районов и использующие разные числительные, могли говорить о числах и понимать друг друга, произнося слова, обозначавшие числа. К 500 году в Индии, однако, установилось определенное единство в использовании числительных и были узаконены три основных элемента, которые составляют современную десятичную числовую систему: десять цифр, зависимость значения от позиции, а также — к всеобщей радости — нуль.

Из-за простоты использования индийский метод быстро распространился по Ближнему Востоку и прочно утвердился в исламском мире, вот почему эта система приобрела известность под неправильным названием арабской. Далее метод проник в Европу благодаря предприимчивому итальянцу Леонардо Фибоначчи (Фибоначчи на итальянском языке означает «сын Боначчи»). Фибоначчи впервые познакомился с индийскими числительными еще в детстве, в городе Буджия (теперь это алжирский город), где его отец работал на Пизанской таможне. Осознав, что эта система намного превосходит римскую, Фибоначчи написал книгу о десятичной позиционной системе и опубликовал ее в 1202 году под названием «Liber Abaci». Книга начинается с хорошей новости:

Имеется девять индийских цифр

9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

Используя эти девять цифр вместе со знаком 0, который арабы называют «зефир», можно записать любое число, как и будет продемонстрировано.

Знакомством с индийской системой Запад во многом обязан именно «Liber Abaci» — гораздо больше, чем какой бы то ни было другой книге. В своем труде Фибоначчи описал, как можно умножать и делить, используя значительно более быстрые и элегантные методы, чем те, что были до того известны европейцам. В наши дни основы арифметики с использованием арабских числительных могут показаться безотрадно скучными, но в начале XIII века они воспринимались как настоящее чудо.

Впрочем, не все сразу согласились сменить привычки. Во-первых, профессиональные вычислители на абаке ощущали угрозу, исходящую от более простого метода, а во-вторых, время для публикации книги оказалось не очень удачным: «Liber Abaci» вышла в период Крестовых походов, и церковь испытывала понятную подозрительность ко всему, что имело арабскую, исламскую, подоплеку. Некоторые даже усмотрели в новой арифметике дело рук дьявола — причем как раз по причине ее гениальной изобретательности. Страх перед арабскими числительными проявился и в этимологии некоторых современных слов. Из зефира возник «зеро», то есть нуль, но кроме того и португальское «chifre», означающее рога [дьявола], а также английское слово «cipher» — шифр, код. Некоторые ученые видят причину этого в том, что с числами, включающими «зефир», работали втайне, вопреки воле церкви.

В 1299 году во Флоренции арабские числительные были запрещены, потому что, как утверждалось, плавно написанные арабские символы легче подделать, чем ясные и выразительные римские V и I. Из 0 можно сделать 6 или 9, а 1 ничего не стоит преобразовать в 7. Как следствие, римские числительные окончательно ушли со сцены лишь примерно в конце XV века. Отметим, что для утверждения отрицательных чисел потребовалось гораздо больше времени — это произошло лишь в XV столетии, — поскольку многие были уверены, что они используются при вычислениях незаконных денежных ссуд или при ростовщических сделках, считавшихся святотатственными.

С принятием арабских чисел арифметика смогла соединиться с геометрией и превратиться из инструмента лавочников в настоящий составной элемент западноевропейской математики. И тем самым открыла путь, ведущий к научной революции.

Еще один, менее далекий по времени, вклад Индии в мир чисел — это арифметические приемы, собрание которых известно как ведическая математика. Их открыл в начале XX века молодой свами[21] — Бхарати Кришна Тиртха[22]. Он утверждал, что обнаружил их в Ведах. (Как бы вы реагировали, если бы некий священник заявил, что нашел в Библии метод решения квадратных уравнений?) Ведическая математика основана на следующем списке из 16 коротких изречений, или сутр, которые, согласно Тиртхе, не прописаны где бы то ни было в Ведах в явном виде, но извлекаются оттуда «с помощью интуитивного озарения»:

1. На единицу больше, чем предыдущий

2. Все из 9 и последнее из 10

3. Вертикально и крест-накрест

4. Переставляй и применяй

5. Если сумма та же самая, то нуль

6. Если один в отношении, то другой есть нуль

7. Умножением и вычитанием

8. Дополнением и не-дополнением

9. Дифференциальное исчисление

10. По недостающему количеству

11. Частное и общее

12. Остатки по последней цифре

13. Последнее и дважды предпоследнее

14. На единицу меньше, чем предыдущий

15. Произведение суммы

16. Все множители

Всерьез ли это писалось? Да, и абсолютно всерьез. Тиртха был одним из наиболее уважаемых мудрецов своего поколения. В детстве он был вундеркиндом и к двадцати годам изучил санскрит, философию, английский язык, математику, историю и естественные науки, кроме того, стал талантливым оратором. Уже в самом начале своей взрослой жизни он понял, что ему предназначено судьбой занять видное положение в религиозных кругах Индии. Действительно, в 1925 году Тиртха был признан воплощением Шанкарачарьи и получил в свое ведение основанный древним святым, имеющий национальное значение монастырь в Пури, Орисса, на берегу Бенгальского залива. Этот пост — один из самых высокопоставленных в традиционном индуистском обществе. Как раз в Пури — центр фестиваля колесниц Рат Ятра — я и приехал, надеясь встретить там Шанкарачарью, официального главу ведической математики.