Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - Альберт Виолант-и-Хольц

Все стало окончательно ясно: тот, кто докажет гипотезу Таниямы — Симуры, докажет последнюю теорему Ферма. Легко сказать, но трудно, очень и очень трудно сделать. В конце концов, с момента симпозиума, на котором Танияма представил первоначальный вариант гипотезы, прошло почти 40 лет, и до сих пор никто ни на шаг не смог приблизиться к ее доказательству. Подавляющее большинство специалистов по теории чисел считали, что эта гипотеза будет доказана лишь спустя много десятилетий. Вспомним слова Мазура: «Удивительная гипотеза… но в тот момент ее проигнорировали, так как она слишком опередила свое время». Значительные трудности представлял тот факт, что и модульных форм, и эллиптических кривых (связь между этими математическими объектами устанавливала гипотеза) бесконечно много. Тот, кто рискнул бы взяться за громадный труд по доказательству гипотезы Таниямы — Симуры, должен был бы решить не только основную задачу, но и множество более мелких, но столь же трудных. Малейшая ошибка могла свести на нет результаты многолетнего труда. Если сравнить теорему Ферма с математическим Эверестом, то можно сказать, что Танияма, Симура, Мазур, Фрай, Серр и Рибет нашли новый путь к вершине, ранее незаметный, но на этом пути беспрестанно бушевал сильнейший ветер.

Глава 6

Доказательство

хn + уn = zn не имеет решений.

Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но у меня нет времени записать его — скоро приедет поезд.

Граффити на одной из станций нью-йоркского метро, 1988 год

Был летний вечер 1986 года. Эндрю Уайлс пил чай со льдом в гостях у друга. В разговоре собеседник обронил, что Рибет доказал эпсилон-гипотезу. Это вызвало в обычно сдержанном Уайлсе настоящую бурю эмоций. «В тот момент я понял, что моя жизнь изменилась. Если это было действительно так, то для доказательства теоремы Ферма нужно было всего лишь доказать гипотезу Таниямы — Симуры. В этот же самый миг я понял, над чем мне нужно работать», — вспоминал он позже.

Уайлс оставил все остальные проекты и всецело посвятил себя решению этой задачи, практически полностью отгородившись от всего мира на семь лет. Как признавался он сам много лет спустя, у него было важное преимущество: никто не имел ни малейшего представления, как подступиться к задаче. Однако у этого преимущества была и обратная сторона: «Очень скоро я понял, что не могу распространяться о своей работе в разговорах с коллегами, даже мимоходом упоминать о ней — это привлекло бы повышенный интерес. Кроме этого, невозможно сосредоточиться на одной теме в течение многих лет, находясь под таким давлением». Но Уайлс подозревал, что на пути к славе ему будет мешать не только недостаток времени, но и повышенный интерес специалистов со всего мира.

Об Эндрю Уайлсе известен забавный случай: он узнал о великой теореме Ферма в 10 лет из научно-популярной книги по математике. Образ затерянного доказательства напомнил мальчику о темных пещерах и таинственных кладах, зарытых в далеких южных странах. Уайлс решил доказать теорему, используя знания из школьного курса арифметики. Эта история как никакая другая доказывает, насколько притягательной делает теорему Ферма простота ее формулировки, понятной даже ребенку. Юному Уайлсу, разумеется, пришлось оставить попытки найти доказательство, но теореме Ферма было суждено сопровождать его всю жизнь.

* * *

ОПАСНОСТЬ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ

Как уже говорилось в предыдущей главе, к 90-м годам XX века теорема была доказана для всех показателей степени вплоть до 4 000 000. Если теорема Ферма верна для таких больших степеней, почему математики так стремились доказать ее для всех возможных показателей? Ведь практически невозможно, чтобы внезапно, словно с неба, появился непостижимо большой показатель степени, для которого теорема Ферма будет ложной. Не слишком ли щепетильным было математическое сообщество? Оставив в стороне вопросы психологии, скажем, что в случае с гипотезой, согласно которой бесконечное множество чисел обладает определенным свойством, никакая выборка «экспериментальных» данных, сколь велика бы она ни была, не может являться доказательством. Математика строится на доказательствах, то есть на непогрешимых истинах, и благодаря этому является столь мощным инструментом науки. И кроме того, история математики знает примеры, когда, вопреки изначальным предположениям, гипотезы оказывались ложными.

Например, Эйлер предположил, что следующее уравнение не имеет решений:

x4 + у4 + z4 = w4.

Компьютеры буквально дымились от непрерывных вычислений, но в течение многих десятилетий опровергнуть гипотезу Эйлера не удавалось. Был велик соблазн предположить, что гипотеза Эйлера верна для всех случаев, но в 1988 году Ноам Элкис потряс все научное сообщество, найдя контрпример:

2 682 4404 + 15 365 6394  + 187 9604  = 20 615 6734.

Более того, Элкис не остановился на этом: он не просто нашел решение, но и доказал, что их бесконечно много. Конечно, он пользовался компьютером, но сам по себе компьютер не способен найти решение.

* * *

Эндрю Джон Уайлс родился в 1953 году в Кембридже, но изучал математику в Оксфордском университете, где его отец, Морис Фрэнк Уайлс, преподавал богословие. Однако докторскую диссертацию Уайлс защитил уже в Кембридже под руководством австралийца Джона Коутса. Докторская диссертация Уайлса была посвящена арифметике эллиптических кривых с комплексным умножением методами так называемой теории Ивасавы. В начале 1980-х Уайлс получил должность профессора в Принстонском университете в США и стал одним из редакторов престижного журнала «Анналы математики». Казалось, что Уайлс забыл о давнем увлечении теоремой Ферма. Но позднее он признался: «Я не забыл о ней. Я помнил о ней всегда, но понимал, что единственные возможные методы доказательства насчитывали свыше ста лет, и было непохоже, чтобы с их помощью можно было проникнуть в суть задачи. Коутс, мой учитель, познакомил меня с теорией Ивасавы, над которой работал он сам». То, что эта теория в итоге стала ключом к доказательству последней теоремы Ферма, — одно из многочисленных удивительных совпадений, которыми изобилует эта история. Как бы то ни было, в 1986 году Рибет доказал эпсилон-гипотезу, и Уайлс немедленно вернулся к давно интересовавшей его теореме.

В течение следующих семи лет Уайлс как одержимый работал над доказательством. Первые два года он посвятил исключительно обзору задачи и рассмотрению всех возможных подходов, стремясь найти метод, который мог бы сработать. По этому поводу англичанин Джон Идензор Литлвуд как-то сказал, что математик должен чувствовать задачу, «словно язык у себя во рту». Основным местом развития событий стал чердак в доме Уайлса в окрестностях Принстона. Уайлс отключил телефон и, не слишком хорошо знакомый с компьютерами, покрывал тысячи и тысячи страниц всевозможными формулами, рисунками, схемами и графиками. Работа продвигалась очень медленно: иногда он пробовал применить уже известный метод, чтобы перейти от одного шага доказательства к другому, в других случаях он слегка изменял известные методы, наконец, в некоторых случаях просто требовалось изобретать нечто совершенно новое. Поначалу Уайлс держал тему своей работы в строжайшем секрете.

Сперва он оценил возможность «подсчитать» все эллиптические функции (напомним, что их бесконечно много), с одной стороны, и модулярные эллиптические функции (которых также бесконечно много) — с другой, и показать, что вычисления в обоих случаях эквивалентны. Этот способ оказался неэффективным, но по ходу работы Уайлс получил важный результат, который помог упростить задачу: вместо доказательства гипотезы Таниямы — Симуры для всех эллиптических кривых нужно было доказать эту гипотезу только для их подмножества, так называемых полустабильных кривых.

На этом этапе Уайлс в поисках вдохновения обратился к теории Галуа, названной в честь ее создателя — безвременно ушедшего из жизни французского математика Эвариста Галуа (1811–1832). Галуа, подлинно трагическая фигура в истории математики, высказал гениальную догадку о перестановках возможных решений (корней) многочлена, которая позднее была развита Огюстеном Луи Коши и Артуром Кэли. Например, многочлен второй степени

х2 — 4х + 1 = 0

имеет корни х1 = 2 + √3 и х2 = 2 — √3.

Оба корня удовлетворяют следующим уравнениям:

x1 + x2 = 4