Программирование игр и головоломок - Жак Арсак

Заменим w на w * u, u на u * u и k на целую часть от k/2.

Все это должно проделываться по модулю n. Операции над k не содержат трудностей. Если числа достаточно малы, то вы действуете обычными умножениями или делениями.

Если же числа не являются достаточно малыми, то все сводится к предыдущему случаю. Но у вас здесь есть элемент ответа. Я уже говорил вам, как можно вычислить y = xp с помощью бинарного разложения p, выполняя умножения только по модулю n. Переделайте то же рассуждение для y = p * x, заменяя возведение в степень умножением, а умножение — сложением. Предположите, что результат имеет вид

y = k * u + w.

Если k четно, то k * u (k/2) * (u + u), и т. д.

Сложения нужно делать по модулю n, что не требует, впрочем, операции деления…

Я на своем компьютере получил отличные результаты для теста Ферма. А метод Полларда-Брента еще остается очень медленным. Работайте надежно. Можно ли пользоваться программой, в правильности которой вы не уверены?

Головоломка 17.

Подсказка: эта программа сообщает, делится ли n на b.

Головоломка 18.

Снова подсказка: эта программа выводит НЕТ, если n не является точным квадратом; в противном случае она выводит квадратный корень из n. Но это из области бесполезных подсказок. Как вы сможете показать, что эта программа действительно делает то, что я анонсировал? Испытав ее? Вы можете испытать все целые?

По индукции? Почему бы и нет? Напишите мне, если получится…

Головоломка 19.

Не пренебрегайте крохами информации, которые можно извлечь из текста программы. Вполне правдоподобна гипотеза, что eps — параметр, характеризующий точность, маленький и потому вещественный. Следовательно, p и q, и — вследствие этого — a и b имеют хорошие шансы оказаться вещественными. Примите это как гипотезу, касающуюся типа данных и результата.

Вы не можете исследовать плоскость a, b, чтобы увидеть, что же именно вычисляет эта программа. Но можно сделать несколько простых замечаний. Пусть f(a, b) — значение, вычисляемое программой.

Вы без особых усилий сумеете показать, что

f(a, b) = f(b, a),

f(ac, bc) = cf(a, b)

и вследствие этого

f(a, b) = bf(a/b, 1).

Ho g(x) = f(x, 1) — функция только одного аргумента. Можно ограничиться областью x ≥ 1. Я написал программу, вычисляющую g (простой и очевидный вариант предыдущей программы), а затем вычислил g для

x = 1, 2, 3, …, 10,

x = 1.1, 1.2, 1.3, …, 1.9.

Природа функции g становится очевидной, если исходить из этой таблицы. Уразумев, что именно нужно доказать, мы справимся с этим без труда.

3. Игры без стратегии

Игра 6.

Единственная задача: считать белые шашки. На самом деле, черные можно получить, сравнивая шашку на шашкой в тайной комбинации и в комбинации, предложенной игроком.

Для подсчета белых шашек у вас есть много возможностей.

1. Во время подсчета черных шашек удалите из тайной комбинации и из комбинации, предложенной игроком, находящиеся в соответствии элементы (имеющие одинаковые значения и одинаковые места). Затем для каждого из элементов, оставшихся в предложенной комбинации, посмотрите, участвует ли он в тайной комбинации, и если да, то учтите его белой шашкой и удалите его из тайной комбинации.

Этот метод требует, чтобы вы создали копию тайной комбинации, Это стоит не слишком дорого…

2. Для каждого из возможных значений шашек (6, если есть 6 цветов) подсчитайте число шашек этого цвета в тайной комбинации и в предложенной комбинации. Меньшее из этих двух чисел равно сумме белых и черных шашек, отвечающих этому цвету (почему?).

Так как вы нуждаетесь в подсчете по цветам шашек тайной комбинации и так как эти величины не меняются в течение партии, то вам может оказаться полезным сделать этот подсчет до запрашивания первой комбинации игрока, а затем сохранять его в виде таблицы…

Игра 7.

Для программирования нет совершенно никаких трудностей. Действительно, от вас требуется принять только одно решение; как вы представите игру в вашей программе?

У вас много возможностей.

1. Никакого внутреннего представления игры. Скорость движения машин и интервалы между машинами суть постоянные величины, которые вы можете поместить в таблицу или каждый раз пересчитывать.

Вы можете задать себе с помощью маленькой таблицы положение крайней левой машины на каждой строке. Все остальное можно отсюда вывести. Но вам придется проделать немало вычислений к моменту вывода на экран.

2. Можно сохранять каждую строку в памяти в виде цепочки символов (за исключением, быть может, первых символов, крайних слева). Тогда вывод на экран очень прост. Передвижение машин влево можно получить, удаляя заданное число символов в начале цепочки и добавляя столько же символов справа, соблюдая условия правильного расположения стрелок на правильных местах.

Вам не нужно экономить ни время вычисления, ни объем памяти. Выберите решение, которое, как вам кажется, проще всего реализовать…

Игра 8.

Перемещение шадока почти не составляет проблемы: вы читаете данную в ответ цепочку символов. Если она содержит П, то абсцисса шадока увеличивается на 1, и т. д.

Перемещение многочисленных гиби немного более сложно. Для каждого из гиби нужно найти ближайший к нему цветок. Если у вас есть таблица, задающая положения цветов, то вы ее полностью перебираете и отыскиваете ближайший. Если у вас такой таблицы нет, то нужно вертеться кругами вокруг каждого из гиби, чтобы найти ближайший цветок. Первое решение кажется лучшим.

Но если у вас есть таблица цветов, то нужно, по ходу движения гиби, исключать один за другим уже сорванные цветки (как вы собираетесь это сделать?). Здесь есть и некоторое преимущество: цветок может быть сорван только одним из гиби. Как только это произошло, цветок больше не привлекает других гиби. Когда время сбора плодов истекает, вы знаете, сколько цветков исчезло, и вы случайным образом добавляете столько же цветков в игру.

Вам нужно еще решить, сохраняете ли вы в памяти образ игры (например, в форме цепочки символов или таблицы цепочек, по цепочке на каждую строчку, или двумерной таблицы, дающей содержание каждого поля) или же вы сохраняете только координаты активных элементов (шадока, гиби и цветов). Не принимайте решение наугад. Тщательно обдумайте преимущества и неудобства каждого решения как с точки зрения результатов, так и с точки зрения простоты программирования (что должно быть определяющим критерием).

Игра 9.

Мало что можно добавить. Единственная трудность — движение убийц. Они должны стремиться приблизиться к игроку, но это не всегда возможно. Вы легко можете определить направление наилучшего перемещения: это направление, которое уменьшает скачок координат убийцы и игрока. Если такое перемещение возможно, то убийца перемещается. Если оно невозможно, то следует испытать близкие перемещения,

Вот способ действовать: задайте таблицу, определяющую возможные перемещения, помеченные индексами от 1 до 8, Желательное перемещение соответствует некоторому элементу таблицы, скажем, элементу с номером k. Испытаем тогда перемещение k, затем, если оно невозможно, перемещения k − 1 и k + 1, затем k − 2 и k + 2… Когда индекс становится нулем, мы его заменяем на 8, Когда он становится больше восьми, мы заменяем его на 1, что сводится к организации таблицы по круговому списку. Внимание, это допустимо только в случае, если вы правильно упорядочили перемещения в таблице…

Как и в предыдущих играх, тщательно продумайте способ представления игры, задайте всю необходимую информацию для упрощения программирования. Не позволяйте себе увлечься оптимизацией времени вычислений или объема требуемой памяти. Эта игра должна легко поместиться на любом микрокомпьютере. Работайте аккуратно: если то, что вы запрограммировали, не удовлетворяет правилам игры, то ваша игра нечестная.

Игра 10.

Добавить нечего. Это проще, чем в случае убийц. Вы определяете направление перемещения, которое наилучшим образом приближает робота к игроку (перемещение, которое уменьшает скачки обеих координат). Вы перемещаете робота в этом направлении. Если он попадает в расщелину, то он исключается из игры. Если он попадает на поле другого робота, то он также исключается. Используйте генератор случайных чисел, чтобы решить, помещаете ли вы в углы новых роботов. Например, если случайное число меньше 0,7, то вы ставите нового робота; в противном случае вы не делаете ничего. Это означает, что есть 7 шансов из 10 увидеть появление нового робота…