Геометрия скорби. Размышления о математике, об утрате близких и о жизни - Майкл Фрейм

Конечно, этот грубый набросок не отражает всего богатства и разнообразия жизни, но он позволяет увидеть мотивы, повторяющиеся в различных временны́х масштабах. Почему мы обращаем на это внимание помимо того, что мы просто от природы склонны искать повсюду мотивы? Потому что день становится лабораторией года и целой жизни. Чтобы повлиять на траектории в более долгих временны́х масштабах, попробуйте, в качестве эксперимента, что-то изменить в масштабе одного дня. Как вам такая аналогия? Эксперименты в краткосрочном масштабе прекрасны тем, что можно попробовать много разных изменений и увидеть их краткосрочные последствия. Фрактальность предлагает условия для проверки гипотез в малом масштабе с последующим переносом в более крупный масштаб.

Я постараюсь доказать, что скорбь бывает разных масштабов, как по длительности во времени, так и по силе страдания. Если мы поймем, как справиться со скорбью в малых масштабах, может быть, это поможет справиться и со скорбью больших масштабов?

На самом деле, мы уже говорили об опытной лаборатории по работе со скорбью: в третьей главе такой лабораторией стала геометрия (вы можете заменить геометрию на область, наиболее интересную вам). Это был новый для вас раздел. В третьей главе я использовал фрактальную геометрию, потому что немногие детально знакомы с этим предметом. Это наиболее зрелищная часть геометрии, которая может преподнести сюрпризы практически каждому. (На самом деле, просто каждому. Когда кто-то показывал Бенуа Мандельброту новые вычисления, эксперимент или наблюдение, связанные с фракталами, на его лице был написан восторг. Этот обычно сдержанный человек, гений на пике своей карьеры, превращался в маленького ребенка, увидевшего в ночном небе метеор – яркую световую черточку там, где мгновение назад была тьма.) Мы продолжим разговор о фрактальной геометрии и сделаем вывод, который у многих вызывает удивление: размерность не всегда выражается целым числом.

Возьмем, к примеру, отрезок прямой, треугольник Серпинского и заштрихованный квадрат (см. ниже). Если в два раза увеличить высоту и ширину каждой фигуры, мы получим, соответственно, две, три и четыре копии изначальной фигуры. Отрезок – одномерная фигура, а квадрат – двумерная, и когда мы увеличиваем высоту и ширину этих фигур, получаем, соответственно, 2 = 21 копии линейного отрезка и 4 = 22 копии заштрихованного квадрата. Для этих, как и для всех самоподобных фигур, размерность является экспонентой. Поэтому размерность d треугольника Серпинского определяется как 3 = 2d. Итак, 2 = 21, а 4 = 22, значит, размерность треугольника больше единицы, но меньше двойки. По мере увеличения треугольник растет быстрее, чем одномерный отрезок, но медленнее, чем двумерный заштрихованный квадрат[125].

Треугольник Серпинского находится где-то между одномерностью и двумерностью. Пытаясь понять это явление, некоторые из моих студентов вначале думали, что между одномерностью и двумерностью может быть узкая полоска на плоскости. Полоска не занимает всю плоскость, поэтому, рассуждали ученики, она меньше, чем двумерная. Но она толще линии, а значит, более чем одномерная. Второе утверждение близко к истине благодаря так называемой монотонности размерности: размерность одной части не может быть выше размерности целого. А вот первое утверждение более проблематично, поскольку любая фигура, имеющая площадь, является двумерной. Узкая полоска на плоскости двумерна. Но треугольник Серпинского обладает бесконечным количеством отверстий, и площадь этих отверстий добавляется к площади большого треугольника, поэтому площадь треугольника Серпинского равна нулю[126].

Фрактальная размерность применяется во многих областях, в первую очередь при многократном измерении неровностей природных объектов. Расширение понятия размерности на области психологии или чувственного восприятия – задача непростая, однако вот вам финальный довод, или, скорее, догадка, или даже пожелание. Самоподобие скорби подразумевает, что на малых жизненных утратах мы можем испытать способы адаптации к большим утратам. Можно ли определить размерность проекции и, основываясь на этом, измерить, пусть и приблизительно, насколько прочно связаны между собой большие и малые утраты? Пока что я этого не знаю. Но, возможно, когда-нибудь узнаю.

Предварительно ответим на такой вопрос: «Если бы вы жили в мире, где размерность пространства выражается нецелым числом, как бы выглядело всё вокруг?»[127] А что, если размерность времени не выражается целым числом?

Вопросов больше, чем ответов, да и то это не совсем вопросы, скорее – фантазии.

Когда вы впервые сталкиваетесь с идеей фрактальной размерности и осознаёте, к чему она может привести, ваш взгляд на мир переворачивается. Едва мои студенты улавливали ее суть, я видел, как по аудитории проходили волны изумления (так реагировало большинство) или головокружения (так реагировали немногие).

Вот почему преподавание было для меня таким удивительным занятием и почему я оставил его, только оказавшись в больнице. Даже сейчас, по прошествии пяти лет после ухода из преподавания, я по-прежнему мечтаю о нем. Проснувшись утром, я думаю о том, что совершил ужасную, страшную ошибку, когда ушел на пенсию.

Сложность визуальных образов, шероховатость древесной коры, пушистость облаков, густота ветвей или листьев папоротника – всё это теперь представляется вам в виде числа. Осознав это впервые, вы говорите себе: «В жизни бы не подумал, что существует вот такое понимание сложности мира». А теперь вы узнали новый способ измерить эту сложность. Но со временем чувство удивления тускнеет, первый шок открытия уже не повторится, а от того благоговейного трепета, когда вы впервые посмотрели на мир новыми глазами, остается лишь горечь необратимой утраты.

Можно ли восстановить отзвук того первого ощущения? Вероятно. Можно спроецировать наше удивление от открытия нецелочисленных размерностей на множество разных ситуаций. Распространить простую формулу, в которой все части фрактала одинаковы по размеру, на самоподобные фигуры с различными масштабирующими множителями, на фракталы, для которых разрешены лишь некоторые сочетания преобразований (мы видели такой пример в первой главе, на с. 46, 47), на фракталы, где масштабирующий множитель выбирается случайным образом, на фракталы, где масштабирование является нелинейным, и так далее. Простую формулу фрактальной размерности (приведенную в Приложении) можно распространять на всё большее количество областей, и эти версии будут нести на себе отпечаток изначальной формулы. Каждое из таких расширений становится маленьким сюрпризом и дает толчок, напоминающий тот первый шок, который вы испытали, узнав о нецелочисленных размерностях.

По мере того как у нас накапливаются эти похожие формулы, мы видим, что все они – тени одной большой картины. Проецируя в различные пространства скорбь утраты нашего первого сильного впечатления от встречи с нецелочисленными размерностями, мы сможем немного облегчить эту боль, испытывая нечто отдаленно похожее на то, первое удивление. Посмотрите, что произошло в нашем примере: совокупность проекций показала, что существует некий более глубокий общий мотив. Можно