Алиса в Стране Смекалки - Рэймонд Смаллиан

— Потому что ты ответила неправильно. Ведь ты сказала, что выдержала экзамен, тогда как в действительности провалилась. А поскольку на последний вопрос ты ответила неправильно, то не выдержала и весь экзамен!

С тем же основанием Черная Королева могла считать, что Алиса успешно выдержала экзамен, и сказать:

— Ты предсказала, что выдержишь экзамен, а так как ты действительно выдержала его, твое предсказание правильно. Значит, и на последний вопрос ты ответила правильно, поэтому я считаю, что ты успешно выдержала экзамен. (Разумеется, и в том и в другом случае в рассуждениях Королевы есть порочный круг, но каждое рассуждение ничуть не хуже другого!)

Вместе с тем, если Алиса ответила «нет», Черная Королева не может считать экзамен ни сданным, ни несданным. Если Королева сочтет, что Алиса успешно выдержала экзамен, то предсказание (ответ) Алисы окажется неверным, а за неправильный ответ (четвертый по счету!) экзамен по всем правилам следует считать несданным! Если же Королева сочтет, что Алиса провалилась на экзамене, то предсказание Алисы окажется правильным, а последний правильный ответ по всем правилам решает исход экзамена в пользу Алисы! Следовательно, Королева не может считать, ни что экзамен выдержан, ни что экзамен не сдан, не впадая при этом в противоречие!

Как я уже говорил, Алису в большей степени интересовало, чтобы не провалиться на экзамене, чем чтобы успешно сдать его, поэтому на последний вопрос она ответила «нет», чем полностью лишила Королеву возможности оценивать результаты экзамена.

Глава 7

64. Первый раунд (Красное и черное).

Если внезапно заговоривший братец сказал правду, то его звали бы Траляля и в кармане у него была бы черная карта. Но тот, у кого в кармане карта черной масти, не может говорить правду. Следовательно, он лжет. Значит, в кармане у него действительно карта черной масти, а поскольку его высказывание ложно, то перед Алисой не Траляля с картой черной масти в кармане, а Труляля с картой черной масти в кармане.

65. Второй раунд (Красное и черное).

Говоривший, по существу, утверждает, что он не Траляля с картой красной масти в кармане. Высказанное им утверждение должно быть истинным, ибо если бы он был Траляля с картой красной масти в кармане, то (так как у него карта красной масти) он не мог бы лгать и утверждать, будто он не Траляля с картой красной масти в кармане. Следовательно, верно, что он не Траляля с картой красной масти. Так как его утверждение истинно, то в действительности у него в кармане должна быть карта красной масти. А поскольку его утверждение (о том, что он не Траляля с картой красной масти) истинно, то он должен быть Труляля с картой красной масти.

66. Третий раунд (Красное и черное).

«Либо — либо» означает «по крайней мере одно из двух» (а может быть, и то и другое). Следовательно, если бы у вышедшего из домика братца была карта черной масти, то было бы верно, что либо он Траляля, либо у него карта черной масти. Но это означало бы, что обладатель карты черной масти высказал истинное утверждение. Так как это невозможно, то у говорившего не может быть карты черной масти. Следовательно, у него должна быть карта красной масти, а его утверждение должно быть истинным. В свою очередь это означает, что либо его зовут Траляля, либо у него карта черной масти. Поскольку вторая альтернатива по доказанному выше не выполняется, наш герой Траляля с красной картой в кармане.

67. Четвертый раунд (Красное и черное).

На этот раз невозможно определить, какой масти (красной или черной) карта того, кто вышел из домика, но и в том и в другом случае это должен быть Траляля. Предположим, что у него карта красной масти. Тогда он говорит правду. Следовательно, перед Алисой либо Траляля с картой черной масти, либо Труляля с картой красной масти. Первый вариант отпадает (так как у нашего героя карта красной масти). Остается второй вариант, поэтому перед Алисой не кто иной, как Труляля.

С другой стороны, предположим, что у него карта черной масти. Тогда высказанное им утверждение ложно. Значит, он не может быть ни Траляля с картой черной масти, ни Труляля с картой красной масти. Следовательно, он либо Траляля с картой красной масти, либо Труляля с картой черной масти. Первая альтернатива отпадает (так как по доказанному у него в кармане карта черной масти). Остается вторая альтернатива: перед Алисой Труляля, как и в разобранном выше случае.

68. Пятый раунд (Красное и черное).

Предположим, что у говорившего красная карта. Тогда высказанное им утверждение истинно. Значит, перед Алисой должен быть Труляля. Предположим теперь, что у говорившего черная карта. Тогда высказанное им утверждение ложно. Значит, у Траляля не черная карта. Вместе с тем у того, кто вышел из домика, в кармане черная карта. Следовательно, он не может быть Траляля и его в этом случае зовут Труляля.

Итак, и в том и в другом случае из домика на этот раз вышел Труляля.

69. Шестой раунд (Красное и черное).

Если бы у первого братца была карта красной масти, то мы пришли бы к следующему противоречию. Предположим, что у первого братца карта красной масти. Тогда высказанное им утверждение истинно. Следовательно, второго братца зовут Труляля, а его самого Траляля. Таким образом, первый братец Траляля с картой красной масти. Если это так, то утверждение высказанное вторым братцем, истинно. Но тогда как мог лгать первый братец, который говорит правду, утверждая, будто его братец Труляля с картой черной масти? Следовательно, у первого братца не может быть карты красной масти: у него должна быть карта черной масти.

Так как у первого братца карта не красной масти, то высказанное вторым братцем утверждение не может быть истинным. Значит, и у второго братца карта черной масти. Если бы второго братца звали Труляля, то он был бы Труляля с картой черной масти. Тогда первый братец сказал бы правду. Но первый братец солгал (так как у него карта черной масти). Следовательно, второго братца зовут не Труляля. Значит, Труляля зовут первого братца.

70. Первый раунд (Оранжевое и пурпурное).

Говоривший не мог быть Траляля с картой оранжевой масти, ибо в противном случае он сказал бы правду, заявив: «У меня карта оранжевой масти».

Говоривший не мог быть и Траляля с картой пурпурной масти, ибо в противном случае он солгал бы, утверждая: «У меня карта оранжевой масти».

Следовательно, говорившего звали не Траляля. Значит, это был Труляля (либо с картой пурпурной масти и говорящий правду, либо с картой оранжевой масти и лгущий).

71. Второй раунд (Оранжевое и пурпурное).

Полезный принцип, которым мы воспользуемся в этой и некоторых других задачах, состоит в следующем: если у братцев две карты одной масти, то один из братцев лжет, а другой говорит правду. (Если бы у них были карты оранжевой масти, то Траляля говорил бы правду, а Труляля лгал бы. Если бы у них были карты пурпурной масти, то Труляля говорил бы правду, а Траляля лгал.) С другой стороны, если карты различных мастей, то братцы либо оба лгут, либо оба говорят правду.

Зная это, обратимся к нашей задаче. Так как оба братца утверждают, что их зовут Траляля, то один из них лжет, а другой говорит правду. Следовательно, обе карты должны быть одной масти. Предположим, что обе карты пурпурной масти. Тогда второе утверждение первого братца ложно. Значит, ложно и его первое утверждение. Следовательно, его зовут Труляля, и мы приходим к заключению, что Труляля с пурпурной картой лжет, а это невозможно. Значит, обе карты оранжевой масти. Тогда второе утверждение первого братца истинно. Следовательно, истинно и его первое утверждение, поэтому первого братца зовут Траляля.

Итак, первый братец — это Траляля, второй — Труляля и у обоих карты оранжевой масти.

72. Третий раунд (Оранжевое и пурпурное).

Взглянув на первые два утверждения, нетрудно заметить, что они либо оба истинны, либо оба ложны. Следовательно (если воспользоваться принципом, приведенным в начале решения предыдущей задачи), карты у братцев различных мастей. В свою очередь это означает, что первый братец солгал, когда утверждал, будто у них карты одной масти. Следовательно, первый братец солгал и когда утверждал, будто его зовут Труляля. Значит, его зовут Траляля.

73. Четвертый раунд (Оранжевое и пурпурное).

Так как братцы высказали противоречащие утверждения, то один из них лжет, а другой говорит правду. Следовательно (все тот же принцип!), у них должны быть карты одной масти. Если обе карты пурпурной масти, то первый братец говорит правду. Следовательно, это Труляля (потому что у него карта пурпурной масти и он говорит правду). Если обе карты оранжевой масти, то первый братец лжет. Следовательно, это опять Труляля (потому что у него карта оранжевой масти и он лжет).

Итак, и в том и в другом случае первого братца зовут Труляля.