Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании - Владимир Дьяконов
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Рис. 3.1. Графики зависимостей, получаемых с помощью функций сравнения
3.2.6. Примеры вычисления тригонометрических функций
В ядре Maple (и других СКМ) определены следующие тригонометрические функции: sin — синус; cos — косинус; tan — тангенс; sec — секанс; csc — косеканс; cot — котангенс. Все эти функции являются периодическими (с периодом 2π, кроме тангенса и котангенса, у которых период равен π) и определены для действительного и комплексного аргументов. Примеры вычислений (файл calcfun):
> [sin(1), sin(1.)];
[sin(1), .8414709848]> sin(x)^2+cos(x)^2;
sin(x)² +cos(x)²> simplify(%);
1> simplify(tan(x)*cos(x));
sin(x)> sec(2+3*1);
sec(2 + 3I)> sec(2.+3*I);
-.04167496441 + .09061113720 I> cot(I);
-I coth(1)> csc(I);
-I csch(1)Многие свойства тригонометрических функций можно оценить, рассматривая их графики. Для построения таких графиков средствами Maple можно использовать функцию plot. Примеры построения графиков тригонометрических функций даны в файле tfris.
3.2.7. Гармонический синтез пилообразных колебаний
Фундаментальная роль функций синуса и косинуса проявляется в решении задач спектрального анализа и синтеза. В Maple они реализуются с помощью функций прямого и обратного преобразований Фурье [39, 43]. Однако, смысл гармонического синтеза проще всего понять, просто суммируя синусоидальные функции с кратной частотой — гармоники. При этом характер результирующего колебания зависит от того, какие гармоники берутся (все, только четные или только нечетные), а также от того, по какому закону меняется амплитуда колебаний и их фаза в зависимости от номера гармоники. Покажем это на паре примеров.
На рис. 3.2 показан пример гармонического синтеза двух периодов пилообразного колебания (сигнала) при суммировании 3, 10 и 60 гармоник. Отчетливо видно, что по мере увеличения числа гармоник форма колебаний действительно приближается к треугольной. В условиях резкого ограничения числа гармоник в местах предполагаемого разрыва колебаний наблюдаются характерные колебания — эффект Гиббса.
Рис. 3.2. Гармонический синтез треугольных колебаний по 3, 10 и 60 гармоникам
Колебания описанной формы получаются за счет синтеза всех гармоник, причем амплитуда гармоник равна 1/k, где k — номер гармоники.
3.2.8. Гармонический синтез меандра
А теперь рассмотрим синтез симметричных прямоугольных колебаний, получивших название — меандр. Для синтеза меандра надо использовать только нечетные гармоники, т. е. с номерами n=1, 3, 5, … Проще всего получить нечетные числа, используя вместо параметра n значение 2n–1. Тогда для получения 3, 9 и 59 нечетных гармоник надо будет использовать значения n до 2, 5 и 30. Рис. 3.3 иллюстрирует синтез меандра.
Рис. 3.3. Гармонический синтез меандра при n = 2, 5 и 30
Читатель, интересующийся вопросами гармонического синтеза сигналов может опробовать в нем свои силы и синтезировать колебания и сигналы других форм. Поскольку при синтезе сигнал получается в виде частотных составляющих (гармоник), то для преобразования такого сигнала можно использовать частотные фильтры.
3.2.9. Обратные тригонометрические функции и их применение
К обратным тригонометрическим функциям относятся: arcsin — арксинус; arccos — арккосинус; arctan — арктангенс; arcsec — арксеканс; arccsc — арккосеканс; arccot — арккотангенс. Примеры вычислений (файл calcfun):
> arcsin(.2);
.2013579208> arcsin(2.);
1.570796327 - 1.316957897 I> evalc(arcsin(5));
½π - I ln(5+2√6)> arccos(1/2);
⅓π> arctan(1);
¼π> arccot(0);
½πК этому классу функций принадлежит еще одна полезная функция:
arctan(y,x) = argument(х+I*у)
Она возвращает угол радиус-вектора в интервале от -Pi до Pi при координатах конца радиус-вектора х и у (см. пример ниже):
> arctan(2., 3);
.5880026035Графики ряда обратных тригонометрических функций строит документ, имеющийся в файле tfris. Следует отметить, что эти функции не являются периодическими.
3.2.10. Применение гиперболических функций
Гиперболические функции представлены следующим набором: sinh — гиперболический синус; cosh — гиперболический косинус; tanh — гиперболический тангенс; sech — гиперболический секанс; csch — гиперболический косеканс; coth — гиперболический котангенс. Примеры применения гиперболических функций представлены ниже (файл calcfun):
> [sinh(1.), cosh(1.), tanh(1.)];
[1.175201194, 1.543080635, .7615941560]> [sech(1.), csch(1.), coth(1.)];
[6480542737, .8509181282, 1.313035286]На рис. 3.4 сверху представлены графики гиперболического синуса, косинуса и тангенса. По ним можно судить о поведении этих функций.
Рис. 3.4. Графики основных гиперболических и обратных гиперболических функций
В отличие от тригонометрических функций, гиперболические функции не являются периодическими. Функция гиперболического тангенса имеет симметричную кривую с характерными ограничениями. Поэтому она широко используется для моделирования передаточных характеристик нелинейных систем с ограничением выходного параметра при больших значениях входного параметра.
С помощью функции преобразования convert(f, ехр) можно перевести гиперболические функции в экспоненциальную форму:
> convert(sinh(х),ехр);
> convert(tan(х),ехр);
3.2.11. Обратные гиперболические функции и их применение
К обратным гиперболическим функциям относятся: arcsinh — гиперболический арксинус; arccosh — гиперболический арккосинус; arctanh — гиперболический арктангенс; arcsech — гиперболический арксеканс: arccsch — гиперболический арккосеканс: arccoth — гиперболический арккотангенс. Примеры применения:
> [arcsinh(1.),arccosh(1.), arctanh(1.)];
[.8813735870, 0., Float(∞) + Float(undefined)I]Графики обратных гиперболических синуса, косинуса и тангенса представлены на рис. 3.4 снизу. С помощью функции преобразования convert(f, ln) можно перевести гиперболические функции в логарифмическую форму:
> сonvert(arcsin(х), ln);
> convert(arctan(х), ln);
3.2.12. Вычисление степенных и логарифмических функций
К степенным и логарифмическим относятся следующие функции системы Maple: ехр — экспоненциальная функция; ilog10 — целочисленный логарифм по основанию 10 (возвращает целую часть от логарифма по основанию 10); ilog — целочисленный логарифм (библиотечная функция, возвращающая целую часть от натурального логарифма); ln — натуральный логарифм; log — логарифм по заданному основанию (библиотечная функция); log10 — логарифм по основанию 10; sqrt — квадратный корень.
Примеры вычисления этих функций (файл calcfim):
> х:=2;
х:=2> [ехр(х),ln(х),log(х),log10(х)];
> х:=2.0;
х:= 2.0> [ехр(х),ln(х),log(х),log10(х)];
[7.389056099,.6931471806,.6931471806,.3010299957]> ilog[2](100);
6> readlib(log10);
proc(x) ... end proc> log10(10000.);
4.000000000> evalc(sqrt(2+3*I));
> sqrt(99+1);
13Графики ряда описанных выше функций показаны на рис. 3.5. Они также получены с применением средств Maple 9.5.
Рис. 3.5. Графики ряда степенных и логарифмических функций
На рис. 3.5 показаны также графики синусоиды с экспоненциально падающей и нарастающей амплитудой. Строго говоря, называть представленные функции синусоидами математически не корректно.
Многие функции этой группы обычно определены для положительных значений аргумента. Однако введение комплексных чисел позволяет вычислять такие функции и для отрицательных значений аргумента. Несколько интересных примеров этого представлено ниже (файл calcfun):
> restart:sqrt(-4);
2I> simplify( sqrt(х^2));
csgn(x)x> ln( -1 );
πI> simplify(log(exp(x)));
ln(ex)> assume(x,positive);simplify(log(exp(x)));
x~Обратите внимание на то, что в предпоследнем примере Maple отказалась вычислить «очевидное» значение выражения, но сделала это после придания х статуса предполагаемой переменной с только положительными значения.
