Закат Западного мира. Очерки морфологии мировой истории - Освальд Шпенглер

технике обоих соответствующих искусств, в скульптуре и музыке. Если всецело отвлечься от смысла, который имеет слово «пропорция» применительно к членению отдельной статуи, то именно типично античные художественные формы статуи, рельефа и фрески допускают увеличение и уменьшение масштаба – слова, не имеющие абсолютно никакого смысла применительно к музыке. Можно вспомнить и об искусстве резания гемм, предметом которого было в основном уменьшение мотивов, имевших в оригинале натуральную величину. Напротив того, решающее значение внутри теории функций имеет понятие трансформации групп, и музыкант подтвердит, что аналогичные образования образуют значительную часть новейшего учения о композиции. Напомню лишь об одной из самых утонченных инструментальных форм XVIII в. – tema con variazioni [тема с вариациями (ит.)].

Всякая пропорция предполагает постоянство, всякая трансформация – изменчивость элементов: здесь достаточно сравнить теоремы равенства в редакции Евклида, доказательство которых основывается фактически на данном соотношении 1 : 1, с их современным выводом с помощью круговых функций.

14

Конструкция, которая в широком смысле включает в себя все методы элементарной арифметики, является альфой и омегой античной математики – построение одной-единственной и зримо данной фигуры. Циркуль – вот резец этого по сути еще одного изобразительного искусства. Труд исследователей в области теории функций, чья цель вовсе не результат в виде некой величины, но обсуждение общих формальных возможностей, можно назвать разработкой своего рода учения о композиции, имеющего близкое родство с композицией музыкальной. Целый ряд понятий теории музыки оказался безусловно применимым также и к аналитическим операциям физики: тональность, фразировка, хроматика и другие, и еще вопрос, не выиграли ли бы от такого применения еще и многие другие отношения.

Всякая конструкция утверждает видимость, всякая же операция ее отрицает, поскольку первая разрабатывает то, что дано оптически, вторая же все это упраздняет. Так появляется еще одна противоположность того и другого вида математических процедур: античная математика малого рассматривает конкретный единичный случай, рассчитывает определенное задание, исполняет одноразовую конструкцию. Математика бесконечного имеет дело с целыми классами формальных возможностей, с группами функций, операций, уравнений, кривых, и это еще не имея в виду какой бы то ни было результат, но исключительно продвижение к нему. Прошло вот уже два столетия (в чем едва ли отдают себе отчет современные математики) с тех пор, как возникла идея общей морфологии математических операций, которую можно было бы назвать подлинным смыслом всей математики Нового времени. В этом о себе заявляет всеобъемлющая тенденция западной духовности в целом, и впоследствии она будет все больше проясняться, – тенденция, являющаяся достоянием исключительно одного только фаустовского духа и его культуры, поскольку подобных устремлений ни в одной другой культуре нет. Преобладающее большинство вопросов, занимающих нашу математику как наиболее близкие ей проблемы (чему у греков соответствует квадратура круга), как, например, нахождение критериев сходимости бесконечных рядов (Коши) или обращение эллиптических и вообще алгебраических интегралов в многократно-периодические функции (Абель, Гаусс), вероятно, представилось бы «древним», которые отыскивали в качестве результатов простые определенные величины, остроумной, но несколько замысловатой игрой, и в этом они оказались бы всецело поддержанными также и широкими кругами в наше время. Нет на свете ничего менее популярного, чем современная математика, и также и здесь проглядывает что-то от символики бесконечной дали, дистанции. Все великие творения Запада от Данте и до Парсифаля оказывались непопулярными, все же античные от Гомера и до Пергамского алтаря были популярными в высшей степени.

15

И наконец, все содержание западного числового мышления фокусируется в классической для фаустовской математики проблеме предела, скрывающей в себе ключ к тому труднодоступному понятию бесконечного (фаустовского бесконечного), которое весьма удалено от бесконечности арабского и индийского мироощущения. Речь идет о теории предела, вне зависимости от того, будет ли соответствующее число рассматриваться по отдельности как бесконечный ряд, кривая или функция. Предел этот является полной противоположностью античного, до сих не называвшегося данным именем, который обсуждался в связи с квадратурой круга, этой классической задачей на предел. Еще в XVIII в. вульгарно-евклидовские предубеждения затемняли смысл дифференциального принципа. С какой бы осмотрительностью ни применялось поначалу вполне доступное понятие бесконечно малого, все равно на нем тяготело нечто от античной постоянной, тень величины, пускай даже Евклид не усмотрел бы ее здесь и не признал за таковую. Нуль является константой, целым числом линейного континуума между +1 и –1; исследованиям Эйлера в области анализа повредило то, что он (как и многие вслед за ним) считает дифференциалы за нули. Лишь Коши окончательно прояснил понятие предела, что позволило покончить с этим остатком античного числового ощущения и превратило исчисление бесконечно малых в непротиворечивую систему. Лишь шаг, сделанный от «бесконечно малой величины» к «нижнему пределу любой возможной конечной величины» приводит к концепции переменного числа, которое принимает значения, меньшие всякой отличной от нуля конечной величины, и, следовательно, уже не обладает никаким, даже самым незначительным, свойством величины. В этом окончательном виде предел вообще не является тем, к чему нечто приближается. Он сам представляет собой приближение, т. е. процесс, операцию. Предел – не состояние, но поведение. Именно здесь, в решающей проблеме западной математики, внезапно обнаруживается, что в нашей душевности заложена историчность[61].

16

Освобождение геометрии от созерцания, а алгебры – от понятия величины, объединение их обоих в мощное здание теории функций, находящееся по другую сторону всех элементарных границ конструкций и вычислений, – вот великий путь западного числового мышления. Так античное постоянное число разрешилось в число переменное. Ставшая аналитической геометрия упразднила все конкретные формы. Она заменяет математические тела, на косном образе которых отыскивались геометрические значения, абстрактно-пространственными отношениями, которые вообще в конечном счете более не применимы к фактам чувственно данного созерцания. Вначале она заменяет оптические образы Евклида геометрическими местами точек по отношению к системе координат, начальная точка которой может быть произвольно выбрана, и сводит предметное существование геометрических объектов к тому требованию, что в ходе операции, которая направлена теперь уже не на измерения, но на уравнения, выбранная система не должна изменяться. Однако тотчас же координаты начинают пониматься исключительно как чистые значения, которые не столько определяют положение точек как абстрактных пространственных элементов, сколько репрезентируют их и заменяют. Число, предел ставшего, теперь символически представляется не образом фигуры, но образом уравнения. «Геометрия» меняет свой смысл на противоположный: система координат исчезает как образ, а точка теперь – это всецело абстрактная группа чисел. То, как благодаря новшествам Микеланджело и Виньолы архитектура Возрождения переходит в барокко, является точным отображением этого внутреннего преобразования анализа. Проясненные для чувств линии фасадов дворцов и церквей сразу делаются вдруг недействительными. Взамен четких координат флорентийско-римской расстановки колонн и членения этажей являются «инфинитезимальные»