Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

Математики питают определенную склонность к волшебным фокусам. Подобные фокусы бывают забавными, а нередко скрывают за собой интересную теорию. Вот классический фокус, одновременно представляющий собой отличный способ оценить силу и достоинства алгебры. Начнем с того, что выберем любое трехзначное число, в котором первая и последняя цифры отличаются по крайней мере на два — например, 753. Теперь запишем эти же цифры в противоположном порядке: получим 357. Вычтем меньшее число из большего: 753 - 357 = 396. И наконец, сложим полученное число с тем, что получается из него перестановкой цифр в обратном порядке: 396 + 693. Сумма, которая при этом получается, равна 1089.

Попробуем еще: раз с другим числом, например 421:

421 - 124 = 297,

297 + 792 = 1089.

Мы получили тот же самый ответ. На самом деле не имеет значения, с какого трехзначного числа мы начинаем — в конце концов всегда получится 1089. Как по волшебству, из ниоткуда возникает число 1089, подобно скале в зыбучих песках случайно выбранных чисел. Хотя устойчивое появление одного и того же результата для любого исходного числа при применении к нему всего лишь нескольких простых операций и может показаться несколько озадачивающим, тому имеется объяснение, и мы очень скоро до него доберемся. Тайна возникающего вновь и вновь числа 1089 раскрывается практически немедленно после того, как задача переписывается, но не с помощью цифр, а с помощью букв.

Хотя использование чисел просто для развлечения всегда сопутствовало математическим изысканиям, начало развития собственно математики было обусловлено необходимостью решения задач практического характера. Папирус Ринда, относящийся примерно к 1600 году до н. э. (хранится в Британском музее, а назван в честь владельца — английского египтолога А. Г. Ринда), представляет собой наиболее полный из дошедших до нас математических документов Древнего Египта. В нем содержатся 84 задачи из таких областей, как землемерие, бухгалтерский учет и разделение определенного числа хлебов на заданное число людей.

Египтяне формулировали свои задачи весьма изысканно. К примеру, задача № 30 из папируса Ринда звучит так: «Когда писец спрашивает вас, чему равна куча, если известно, что 2/3 + 1/10 от нее составит десять, пусть он услышил правильный ответ». Здесь «куча» — египетский термин для неизвестной величины, которую в наши дни обозначают буквой x, представляющей собой фундаментальный и неотъемлемый символ современной алгебры. Сейчас бы мы задали Задачу № 30 так: чему равно значение x, если 2/3 + 1/10 при умножении на x дает 10? Или еще короче:

Найти x, если (2/3 + 1/10)x = 10.

Поскольку у египтян не было привычных нам математических обозначений, таких как скобки, знак равенства или иксы, они искали ответ на заданный выше вопрос методом проб и ошибок, делая оценки для «кучи». Такой метод называется правилом ложного положения, он весьма похож на игру в гольф. Когда вы уже вышли на поле, становится легче понять, как же отправить мяч в лунку. Аналогичным образом, коль скоро у вас есть какой-то ответ, пусть и неправильный, вы можете сообразить, как приблизиться к правильному. Современный метод решения, наоборот, состоит в том, чтобы сложить дроби, стоящие при переменной x, при этом уравнение

можно записать в виде

или же

что далее сводится к

откуда, наконец,

Обозначения, использующие буквы, делают жизнь куда проще.

Египетский иероглиф для сложения представлял собой пару ног, шагающих справа налево: («складывающие» ноги шагают в ту сторону, в которую читается текст). Вычитание представлялось парой ног, шагающих слева направо: . По мере того как обозначения для чисел эволюционировали от палочки с насечками до современных обозначений числительных, менялись и символы арифметических операций.

У египтян, однако, не было символа для неизвестной величины; не было его и у Пифагора с Евклидом. Для них математика была по природе геометрической, связанной с тем, что можно построить. А неизвестная величина требовала следующего уровня абстракции. Диофант, живший в Александрии в III веке, первым из греческих математиков стал использовать символ для неизвестной величины. Для этой цели он выбрал греческую букву сигма — ς. Для обозначения квадрата неизвестного числа он писал Δγ, а для куба — Kγ. Хотя его обозначения и были крупным достижением для того времени, поскольку позволяли сформулировать задачу более четко, они все же оставались довольно путаными, потому что — в отличие от системы, использующей x, х2 и х3, — не было очевидной визуальной связи между величиной ς и ее степенями Δγ и Kγ. Впрочем, несмотря на недостатки своих обозначений, Диофант вошел в историю математики как отец алгебры.

«Алгебра» — общий термин для математики уравнений, когда числа и операции записываются в виде символов. Само слово «алгебра» имеет занятную историю. В средневековой Испании над дверьми парикмахерских красовались вывески «Algebrista у Sangrador», то есть «Костоправ и Кровопускатель» — два вида деятельности, которые составляли неотъемлемую часть услуг цирюльника. По этой же причине шест, указывавший на характер заведения, выкрашен в красные и белые полосы — красный символизирует кровь, а белый — повязки.

Корень в слове «algebrista» взят из арабского «al-jabr»[32], что, помимо указания на примитивные хирургические приемы, означало также восстановление или воссоединение. Абу Джафар Мухаммад ибн Муса Аль-Хорезми, багдадский математик, живший в IX веке, написал вводный математический курс, озаглавленный «Книга восстановления и редукции» (буквально «сокращение и сравнение» — «Хисаб аль-джабр у аль-мукабаля»). В своем труде он объяснил два метода решения арифметических задач. Аль-Хорезми писал весьма цветисто, витиевато, по-восточному, но мы для лучшего понимания будем использовать современные обозначения и терминологию.

Рассмотрим уравнение А = В - С.

Аль-Хорезми описывает «al-jabr», или восстановление, как процесс, посредством которого данное уравнение принимает вид А + С = В. Другими словами, отрицательный член можно превратить в положительный, если перенести его на другую сторону от знака равенства.

Рассмотрим теперь уравнение А = В + С. Редукция — процесс, который превращает это уравнение в А - С = В.

Благодаря современным обозначениям мы ясно видим, что и восстановление, и редукция — примеры общего правила, согласно которому все, что вы делаете с одной частью уравнения, надо делать и с другой его частью. В первом уравнении мы прибавили С к обеим частям. Во втором уравнении мы вычли С из обеих частей. Поскольку по определению выражения по обе стороны от знака равенства равны друг другу, они должны оставаться равными и когда какое-то слагаемое одновременно прибавляется или вычитается с обеих сторон. Если мы умножим одну из частей уравнения на некоторое число, то и другую часть должны будем умножить на то же самое число, и все это применимо также к делению и другим операциям.

Аль-Хорезми был не первым, кто использовал восстановление и редукцию — эти операции можно найти еще у Диофанта. Когда книгу Аль-Хорезми перевели на латынь, фигурирующий в заглавии «aljabr» превратился в «алгебру». Книга Аль-Хорезми по алгебре, наряду с еще одной его книгой, посвященной индийской десятичной системе счисления, распространилась в Европе столь широко, что само имя его обессмертилось в качестве научного термина: аль-Хорезми стал Алхоарисми, Алгорисми и в конце концов алгоритмом.

С XV по XVII век математические предложения двигались по дороге от словесных выражений к символьным. Мало-помалу слова заменялись буквами. Диофант, может, и заложил основы буквенных обозначений, введя символ для неизвестной величины, но первым, кто широко популяризировал этот метод, был француз Франсуа Виет, живший в XVI столетии. Виет предложил использовать заглавные гласные буквы А, E, I, О, U и Y для неизвестных величин, а согласные В, С, D и т. д. — для известных.

Через несколько десятилетий после смерти Виета Рене Декарт опубликовал свое «Рассуждение о методе». В этом труде он применил математическую логику к человеческому мышлению. Для начала он подверг сомнению все свои убеждения, а после того, как все было отброшено, у него осталась лишь уверенность в том, что он существует. Тот аргумент, что нельзя подвергать сомнению собственное существование, коль скоро мыслительный процесс требует существования того, кто мыслит, нашел краткое выражение в знаменитой фразе из «Рассуждения» — «Я мыслю — следовательно, я существую». Это, наверное, наиболее известная в мире цитата, а сама книга считается краеугольным камнем западной философии. Декарт, однако, замысливал свой труд как введение к трем приложениям, составленным из других его научных работ. Одно из них — «La Geometrie» — в равной мере стало вехой в истории математики.