Приключение великих уравнений - Владимир Карцев

Режим дня Максвелла непостижим: он спал с пяти до половины десятого вечера. Затем - занятия до двух ночи. С двух до половины третьего гимнастика: беготня по лестницам и коридорам преподавательского общежития (можно представить себе силу возмущения общественности - впрочем, тогда стены были толще). Затем - сон до семи утра. С семи утра - новый рабочий день.

Но не форма волновала Максвелла. Он искал и непрерывно находил в трудах Фарадея прежде всего новые прогрессивные физические воззрения.

К фарадеевской концепции "поля" Максвелл присоединяется безоговорочно. Нравятся ему и силовые линии Фарадея. Максвелл видит, что Фарадей постепенно отходит от силовых линий как геометрических символов к вполне реальным силовым линиям, обладающим, например, упругостью, стремящимся пойти по кратчайшему пути, отталкивающимся друг от друга.

"...Не следует смотреть на эти линии как на чисто математические абстракции. Это - направления, в которых среда испытывает натяжение, подобное натяжению веревки или, лучше сказать, подобное натяжению собственных наших мускулов", - писал Максвелл.

Максвеллу нравится, что Фарадей признает рациональное зерно, имеющееся в работах чуждых ему по духу и манере исследователей, например Ампера. Так, он принимает целиком идею кругового магнитного поля, окружающего провод с электрическим током.

Максвеллу идея тоже кажется правильной. Более того, тезис "каждый электрический ток окружен магнитным полем" легко ложится в рамки относительно несложных математических символов и операций. "Легкость" и "несложность", конечно, весьма относительные. Максвелл отдал своей теории электромагнитного поля полжизни. Математические формулы, о которых идет речь, изучаются современными студентами в курсах высшей математики и теоретической электротехники лишь на старших курсах высших учебных заведений. Однако гений Максвелла был "легким" - все, знавшие его, не уставали повторять, что он делал свои открытия, как бы играя. Такому впечатлению способствовала и манера Максвелла заходить в лабораторию как бы между прочим, по пути, проходя мимо, иной раз с собакой. Эта манера, повторенная в сотнях экземпляров другими английскими физиками, подражавшими Максвеллу, если вы помните, юмористически описана в сборнике "Физики шутят".

Итак, и Ампер и Фарадей считали, что каждый электрический ток окружен магнитным полем. Максвелл решает записать этот тезис в форме уравнения.

Здесь - вектор напряженности магнитного поля.

- вектор плотности электрического тока, каким бы путем этот ток ни возник.

- некоторая постоянная.

Смысл этого выражения может быть понят относительно легко даже неспециалистом.

Обозначение rot - сокращение от слова rotor - вихрь. (Максвелл использовал слово curl - завиток); операция rot, грубо говоря, показывает в данном случае, что вектор напряженности магнитного поля вращается вокруг вектора тока плотностью .

Другой, сразу же завоевавшей признание Максвелла идеей, стало представление Фарадея о природе электромагнитной индукции - то есть возникновении электричества в контуре, число магнитных силовых линий в котором изменяется то ли вследствие относительного движения контура и магнита, то ля вследствие изменения магнитного поля.

Эта зависимость также вполне укладывалась во внешне формальные математические операции. После многолетних трудов Максвелл записал следующую строку:

Здесь - вектор электрического поля;

- вектор магнитной индукции поля;

- некоторая постоянная величина, о которой нам предстоит еще говорить.

Максвелл, рассказывают, обладал способностью читать лекцию для трех человек с тем же воодушевлением и подъемом, что и перед огромной аудиторией.

Максвелл писал (и изредка публиковал под псевдонимом ) стихи. Вот одно из его стихотворений:

Наш мир, может, несколько страшен,

И жизнь наша - без толку труд.

Все ж буду работать, отважен.

Пускай меня глупым зовут.

Большое место в его поэтическом творчестве занимают сатирические стихи: "Доказательство нецелесообразности чтения лекций в ноябре", "Проблемы динамики" (юмористическое решение дифференциального уравнения), "Лекция по физике для молодых женщин" (место действия - уютная комнатка, тема лекции зеркальный гальванометр Томсона, аудитория - один человек), "Кошачья колыбельная", "Парадоксальная ода", посвященная автору книги "Парадоксальная философия".

Формула настолько физически прозрачна, что ей тоже можно, при известном огрублении, придать ясный смысл.

Операция означает, грубо говоря, вращение вектора , охват им некоторого источника, которым в данном случае является изменение магнитного поля . В контуре, охватывающем источник изменяющегося магнитного поля, наведется электродвижущая сила, а в пространстве возникнет новое электрическое поле. Что означает минус перед правой частью уравнения? Он тоже вполне физически обоснован - на основании закона, открытого русским физиком Э. X. Ленцем, направление тока, возникающего в замкнутом контуре в результате электромагнитной индукции, таково, что ток препятствует изменению магнитного потока.

Но необходимо учесть еще одно важное свойство векторов электрической и магнитной индукций и , являющихся, грубо говоря, математическим обозначением электрических и магнитных силовых линий: в то время как электрические силовые линии начинаются и кончаются на зарядах, являющихся источниками поля, магнитные силовые линии располагаются кольцеобразно: а у кольца, как известно, "нет ни начала, ни конца", следовательно, силовые линии магнитного поля не могут где-то начинаться, где-то кончаться - они замкнуты сами по себе. В математике для обозначения ситуации с источниками поля можно применить операцию "дивергенция" (Максвелл использовал слово "конвергенция").

Дивергенция - мера источника. Например, свеча, являющаяся источником света, обладает положительной дивергенцией, ночной мрак за окном, где свет рассеивается, поглощается, обладает дивергенцией отрицательной. Что касается оконного стекла, где число "лучей", пришедших из комнаты, равно числу лучей, ушедших в темноту, то там дивергенция равна нулю. В стекле свет не создается, не поглощается (если оно, разумеется, достаточно прозрачное).

Поэтому Максвелл добавляет к двум имеющимся уравнениям еще два:

где - плотность электрических зарядов;

.

Физический смысл уравнений прозрачен:

Силовые линии электрического поля кончаются на зарядах, плотность которых .

Силовые линии магнитного поля не кончаются нигде - они замкнуты сами на себя.

Вот какая система уравнений появилась в результате работ Максвелла:

;

;

;

.

Входящие в эти уравнения векторы электрической и магнитной индукции ( и ) и векторы напряженностей электрического и магнитного полей ( и ) связаны простыми соотношениями: и ,

где - магнитная проницаемость среды,

- диэлектрическая постоянная среды.

Четыре строчки этих простых уравнений и составляют "уравнения Максвелла", а система взглядов, которая легла в основу уравнений, получила название "максвелловой теории электромагнитного поля".

Уравнения были просты, но чем больше Максвелл и его последователи над ними работали, тем больший внутренний смысл находили в четырех строчках. Генрих Герц, знаменитый немецкий физик, роль которого в истории - доказать полную справедливость представлений Максвелла, писал о неисчерпаемости теории Максвелла:

"Нельзя изучать эту удивительную теорию, не испытывая по временам такого чувства, будто математические формулы живут собственной жизнью, обладают собственным разумом - кажется, что эти формулы умнее нас, умнее даже самого автора, как будто они дают нам больше, чем в свое время было в них заложено".

Теория Максвелла - триумф идей Фарадея. Максвелл, по выражению Роберта Милликэна, "облек плебейски обнаженные представления Фарадея в аристократические одежды математики". А советский физик Т. П. Кравец по этому поводу заметил:

"Если мы теперь освоились с системой воззрений Фа-радея, если его электромагнитное поле стало одним из наших основных знаний, если его система превратилась в стройную теорию и получила адекватное математическое выражение, то это заслуга Максвелла и только Максвелла".

Замечание Генриха Герца о "самостоятельной жизни" уравнений Максвелла, о том, что они "умнее самого автора", стало подтверждаться сразу же после того, как Максвелл начал изучать свою систему, опробовать ее при решении различных задач.

Прежде всего нужно было выяснить, что за постоянная с "втерлась" в уравнения. Происхождение других постоянных, входящих а систему уравнений, "четверка", "минус единица", число "пи", было ясно, но с? Что это такое?

Применив уравнения к одному конкретному случаю, Максвелл нашел, что неизвестное число с оказалось равно отношению электромагнитной и электростатической единиц заряда - примерно 300 000 километрам в секунду!