История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - Ричард Манкевич

Адольф Кетле (1796–1874), бельгийский математик и астроном, выявил связь между статистикой, стоявшей на службе у астрономии, и социальной статистикой. В основе его идеи о «среднем человеке» лежала формула нормального распределения. Так же, как отдельные несовершенные данные о наблюдениях за звездой группировались вокруг ее истинного положения, так и свойства реальных людей распределялись вокруг «среднего значения». Таким образом, отклонение от этой «теоретической нормы» считалось своего рода ошибкой измерения. Он считал государственно важным делом собрать и проанализировать демографические данные так, чтобы «социальный физик» мог раскрыть социальные законы, аналогичные физическим законам. Он объяснял свои теории тем, что показатели рождений, смертей, преступлений и браков, похоже, оставались неизменными из года в год, хотя в разных странах эти цифры могли различаться между собой, таким образом оправдывая предположение, что каждое социальное тело имеет устойчивую, но несколько отличную от других «социальную физику».

Такие социальные данные начали собирать в семнадцатом веке и продолжают делать это до сих пор. В 1662 году Джон Граунт издал свои «Природные и политические наблюдения», основанные на статистическом анализе лондонских «Отчетов о смертности населения», которые печатались еженедельно и использовались как барометр, чтобы предупреждать людей о возможном начале эпидемии и дать им возможность покинуть город. В 1693 году астроном Эдмонд Галлей издал «таблица продолжительности жизни», основанные на отчетах о смертности жителей города Бреслау, данные которого были более точными, чем те, к которым имел доступ Граунт. Галлей также смог показать, что правительство того времени слишком дешево продает ежегодную пожизненную ренту. Математическая статистика конца девятнадцатого века может считаться новой ветвью математики, которая соединила статистические методы астрономов и приемы сбора данных страховщиков.

Вряд ли мне известно что-либо, способное столь сильно поразить воображение, как удивительная форма космического порядка, выраженная «Законом частоты появления ошибок». Если бы греки знали его, они наверняка связали бы его с каким-нибудь божеством. Этот закон действует в полнейшем хаосе, сохраняя абсолютное спокойствие и до поры оставаясь в тени. Чем буйнее толпа, чем очевиднее проявляется анархия, тем более заметно его влияние. Это — высший закон безумия. Всякий раз, когда большая выборка хаотически разбросанных элементов выстроена в порядке их величины, оказывается, что в них скрыта самая прекрасная форма регулярности, о которой никто и подозревать не мог.

Фрэнсис Гальтон (1822–1911), кузен Чарльза Дарвина, разработал биометрические принципы. Он использовал статистические методы для анализа социальных данных и наследственных свойств. Главной целью так называемого движения евгеники было улучшить человеческий вид при помощи селективного размножения, а статистика использовалась для обеспечения количественного представления пути развития человечества и способа определения направления его усовершенствования. Гальтон применил нормальное распределение не как «кривую ошибок», но как меру изменения, поняв на основании теории эволюции Дарвина с помощью естественного отбора, что биологическая изменчивость нуждалась в анализе сама по себе, а не как эволюционная ошибка относительно некоторой идеализированной «нормы».

Именно Гальтон ввел понятия регресса и корреляции. Статистическое понятие регресса возникло из исследования душистого горошка. Гальтон разделил партию семян на семь групп согласно размеру семени. Семена получающегося потомства показали ту же самую изменчивость, или разницу в размере, соответственно группам. Средний размер семени всей партии оставался постоянным, но значения размера отдельных групп далеко ушли от своей родительской группы в сторону этого среднего значения — математического ожидания группы. Таким образом, значения «регрессировали» в направлении среднего значения по совокупности. В 1885 году Гальтон обнаружил явление регресса и разобрался в нем, а в 1889 году он ввел связанную с этим понятием идею корреляции. Измеряя две взаимосвязанные переменные и отображая эти значения в виде графика, Гальтон обнаружил единую безразмерную величину, которая служила коэффициентом взаимосвязанности между этими двумя переменными. Этот коэффициент корреляции варьировался между +1 — идеальная положительная корреляция — до -1 — идеальная отрицательная корреляция. Когда этот коэффициент приближался к нулю, это означало, что между переменными нет никакой корреляции. Сам по себе коэффициент корреляции не мог доказать никакой причинной связи между переменными, но мог оправдать дальнейшие эксперименты, которые позволили бы обнаружить эту связь.

Гальтон занимался изучением наследования непрерывного изменения, в то время как Мендель изучал дискретное изменение, хотя ни один из них не знал ничего о работе другого. Грегор Мендель обучался математике и физике. В статье 1865 года он написал о возможном существовании генов, и в 1900 году на эту статью обратили внимание сторонники биометрии. Она привела к серьезной полемике, верные дарвинисты и сторонники биометрического движения по большей части отвергали понятие генетического материала. Пирсон считал эту идею излишне метафизической и не мог понять, как дискретный объект может демонстрировать непрерывные свойства. Вопрос не был решен до тех пор, пока в 1918 году Фишер не показал, что при достаточно большом числе генов в модели Менделя возникнут корреляции, изученные сторонниками биометрии. Это было похоже на дискретное биномиальное распределение, стремящееся к нормальному распределению при увеличивающемся числе испытаний.

Философские аргументы находятся за пределами наших возможностей, но важно подчеркнуть, что статистика развивалась не как независимая ветвь математики. Развитие статистики и инструментов аналитики было поставлено на службу социальным проблемам. В конце жизни Гальтон финансировал профессуру по евгенике (теперь «Генетика человека») в Лондонском университете. Первым профессором был Карл Пирсон (1857–1936), за которым следовал Роналд Эйлмер Фишер (1890–1962).

В 1901 году Пирсон и Гальтон основали журнал «Биометрика», который стал ведущим изданием в области статистики. На его страницах мы находим не только теорию регресса и корреляции Гальтона, но и критерий хи-квадрат Пирсона, разработанный им в 1900 году. Этот критерий позволил правильно оценить, насколько точно подходит теоретическое распределение к данным, к которым оно должно быть применено. В 1908 году B. C. Госсет, ученый-биолог, работавший на пивоваренных заводах Гиннесса в Дублине, ввел t-распределение для маленьких выборок. Он написал статью под псевдонимом «Студент», и t-тест иногда упоминается как «студенческий тест». Большая часть работ Пирсона потерялась в тени более поздних трудов Фишера, который разработал дисперсионный анализ — технику, первоначальным предназначением которой было проверять значение данных экспериментов. Поначалу он применялся для обработки данных случайных групп экспериментов, вроде тех, которые используются в сельском хозяйстве для проверки удобрений. Этот метод математически отделяет любой реальный «эффект» от любой случайной «ошибки». Если какой-то эксперимент показывает реальный эффект, то математический метод выявит интенсивность этого эффекта относительно ошибки.

В 1920-х годах статистика стала считаться математиками вполне законным предметом исследования, поскольку она приводила к большей точности и позволяла уточнять применяемые методы. Фишер изложил идеи относительно плана экспериментов и дисперсионного анализа в своей книге «Проект экспериментов» (1936). Она оказала большое влияние на ученых Англии и США. Они радикально изменили практику проведения экспериментов в тех науках, где приходится иметь дело с изменчивым материалом, который невозможно абсолютно точно повторить в лабораторных условиях.

21. Военные игры

Люди всегда любили играть в игры, и в каждую эпоху существовало свое повальное увлечение. Большинство игр — сочетание умения и удачи, и лишь после многократных розыгрышей, нивелирующих влияние случая, выяснялось, кто на самом деле самый хороший игрок. Однако существуют некоторые игры, которые практически ничего не оставляют на откуп судьбе — никакого бросания игральных костей, никакой опоры на удачу. Это стратегические игры, и их исследование — предмет теории игр. Есть также игры, выигрыш в которых в буквальном смысле становится вопросом жизни или смерти. Поскольку грубые тактические ошибки менее дорого обходятся на смоделированном поле битвы, военные стратеги всегда обращались к военным играм, чтобы отточить свои навыки, так что нет ничего удивительного, что шахматы или японская игра го — это идеальные военные игры. Также не стоит удивляться тому, что первым практическим применением теории игр был анализ нового вида войны — скорее всего, последней.