Глаз разума - Даглас Хофштадтер

Продолжает ли этот принцип действовать по мере того, как вы переходите от целого к составляющим его частям, затем — к составляющим этих частей и так далее, уровень за уровнем? Да, подсказывает здравый смысл — и все же многие люди продолжают считать, что свойства воды не могут быть выведены из свойств кислорода и водорода, и что человеческое существо больше, чем сумма его частей. Люди представляют себе атомы в виде простых биллиардных шаров, допуская наличие у них химической валентности, но не вдаваясь в более мелкие детали. Оказывается, что ничто не может быть дальше от истинного положения дел. Когда вы достигаете этого микроскопического уровня, математика “материи” становится сложнее, чем когда бы то ни было. Об этом говорит отрывок из работы Ричарда Маттака, посвященной взаимодействующим частицам:

Разумным отправным пунктом обсуждения проблемы многих тел может быть вопрос о том, сколько тел необходимо иметь, чтобы возникла эта проблема. Профессор Дж. Е. Браун указал, что те, кто интересуются точным ответом на этот вопрос, могут обратиться за ним к истории. В ньютоновой механике восемнадцатого века проблема трех тел считалась неразрешимой. С рождением общей относительности в 1910 году и квантовой электродинамики в 1930 году неразрешимыми стали считаться проблемы двух и одного тела. В современной теории квантового поля неразрешима проблема нулевого тела (вакуум). Таким образом, если нам нужно точное решение, то ни одного тела — это уже слишком много.

Квантовая механика атома, например, кислорода, с его восемью электронами, находится далеко за пределами наших возможностей найти полное аналитическое решение. Свойства атомов кислорода и водорода, не говоря уже о молекуле воды, неописуемо сложны и являются причиной многих неуловимых свойств воды. Некоторые из этих свойств поддаются изучению с помощью компьютерной симуляции множества взаимодействующих молекул; при этом используются упрощенные модели атомов. Естественно, что чем лучше модель атома, тем точнее симуляция. В действительности, компьютерные модели стали одним из основных способов открытия новых свойств веществ, состоящих из множества идентичных компонентов, основываясь только на знании о свойствах одного индивидуального компонента. Компьютерная симуляция помогла нам по-новому взглянуть на то, как галактики образуют свои спирали, при помощи модели одной-единственной звезды, рассмотренной как подвижная гравитационная точка. Компьютерные симуляции, основанные на моделировании единственной молекулы как простой структуры в состоянии электромагнитного взаимодействия, показали, как твердые вещества, газы и жидкости вибрируют, текут и меняют состояние.

Несомненно то, что люди обычно недооценивают сложности и запутанности, которые могут возникнуть при взаимодействии огромного количества единиц, подчиняющихся формальным правилам — взаимодействии чрезвычайно быстром по сравнению с нашей временной шкалой.

В заключение своей книги Доукинз представляет свой собственный мем о мемах — программных репликаторах, обитающих в умах. Он предваряет свою экспозицию анализом различных поддерживающих жизнь сред. При этом он забывает упомянуть еще об одной среде — поверхности нейронной звезды, на которой ядерные частицы могут собираться вместе и снова расходиться в тысячи раз быстрее, чем атомы. Теоретически, “химия” ядерных частиц допускает существование крохотных самовоспроизводящихся структур, чьи быстротечные жизни будут мелькать со скоростью молнии, такие же сложные, как их земные соответствия. Существует ли такая жизнь на самом деле и возможно ли о ней узнать, неясно, но удивительна сама идея цивилизации подобных супер-лилипутов, которая возникает и погибает в течение нескольких земных дней. Все отрывки из книг Станислава Лема, и, в особенности, глава 18, “Седьмое путешествие”, обладают этим качеством и порождают неожиданные идеи.

Мы упоминаем об этой странной идее, чтобы напомнить читателю о необходимости непредвзято подходить к возможностям различных сред, могущих поддерживать сложную жизне— и мыследеятельность. В следующем диалоге эта идея рассматривается не в таком фантастическом контексте — сознание там возникает из взаимодействия разных уровней муравьиной колонии.

Д.Р.Х.

М. К. Эшер. “Лист Мёбиуса II” (гравюра на дереве, 1963).

11

ДАГЛАС Р. ХОФШТАДТЕР

Прелюдия… и Муравьиная фуга

Ахилл и Черепаха пришли в гости к Крабу, чтобы познакомиться с его другом Муравьедом. После того, как новые знакомые представлены друг другу, вся четверка садится за чай.

ЧЕРЕПАХА: Мы вам кое-что принесли, мистер Краб.

КРАБ: Очень любезно с вашей стороны, но зачем же было утруждаться?

ЧЕРЕПАХА: О, это так, мелочь — в знак нашего уважения. Ахилл, отдайте, пожалуйста, подарок м-ру К.

АХИЛЛ: С удовольствием. С наилучшими пожеланиями, м-р К. Надеюсь, что вам понравится.

(Ахилл протягивает Крабу элегантно завернутый пакет, квадратный и плоский. Краб начинает его разворачивать.)

МУРАВЬЕД: Интересно, что это такое.

КРАБ: Сейчас узнаем… (Кончает разворачивать и вытаскивает подарок.) Две пластинки! Прекрасно! Но погодите-ка… здесь нет этикетки. Неужели это снова ваши “особые” записи, г-жа Ч?

ЧЕРЕПАХА: Если вы имеете в виду разбивальную музыку, на этот раз нет. Но эти записи действительно уникальны, так как они сделаны по персональному заказу. На самом деле, их еще никто никогда не слышал — кроме, конечно, Баха, когда тот их играл.

КРАБ: Когда Бах их играл? Что вы имеете в виду?

АХИЛЛ: Вы будете вне себя от счастья, м-р Краб, когда г-жа Ч объяснит вам, что это за пластинки.

ЧЕРЕПАХА: Почему бы вам самому этого не рассказать, Ахилл? Не стесняйтесь, говорите!

АХИЛЛ: Можно? Вот здорово! Но я лучше загляну сначала в свои записи. (Вытаскивает бумажку и откашливается.) Кхе-кхе. Желаете послушать рассказ о замечательных новых результатах в математике — результатах, которым ваши пластинки обязаны своим существованием?

КРАБ: Мои пластинки восходят к каким-то математическим выкладкам? Как интересно! Что ж, теперь, когда вы задели мое любопытство, я просто обязан об этом узнать.

АХИЛЛ: Отлично. (Делает паузу, чтобы отхлебнуть чай, затем продолжает.) Кто-нибудь из вас слышал о печально известной “Последней Теореме” Ферма?

МУРАВЬЕД: Не уверен… Звучит знакомо, но не могу припомнить.

АХИЛЛ: Идея очень проста. Пьер де Ферма, адвокат по профессии и математик по призванию, однажды, читая классический текст Диофанта “Арифметика”, наткнулся на следующее уравнение:

a2 + b2 = c2

Он тут же понял, что это уравнение имеет бесконечно много решений для a, b, и c, и написал на полях свою знаменитую поправку:

Уравнение

an + bn = cn

имеет решение в положительных целых числах a, b, c и n только при n = 2 (и в таком случае имеется бесконечное множество a, b и c, удовлетворяющих этому уравнению); но для n > 2 решений не существует. Я нашел замечательное доказательство этого, которое, к несчастью, не помещается на полях.

С того дня и в течение почти трехсот лет математики безуспешно пытаются сделать одно из двух: либо доказать утверждение Ферма и таким образом очистить его репутацию, в последнее время слегка подпорченную скептиками, не верящими, что он действительно нашел доказательство — либо опровергнуть его утверждение, найдя контрпример: множество четырех целых чисел a, b, c и n, где n > 2, которое удовлетворяло бы этому уравнению. До недавнего времени все попытки в любом из этих двух направлений проваливались. Точнее, теорема доказана лишь для определенных значений n — в частности, для всех n до 125 000.

АХИЛЛ: Не лучше ли тогда называть это Гипотезой вместо Теоремы, поскольку настоящее доказательство еще не найдено?

АХИЛЛ: Строго говоря, вы правы, но по традиции это зовется именно так.

КРАБ: Удалось ли кому-нибудь в конце концов разрешить этот знаменитый вопрос?

АХИЛЛ: Представьте себе, да: это сделала г-жа Черепаха, как всегда, в момент гениального озарения. Она не только нашла ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Последней Теоремы Ферма (оправдав, таким образом, ее название и очистив репутацию Ферма), но и КОНТРПРИМЕР, показав, что интуиция скептиков их не подвела!

КРАБ: Вот это да! Поистине революционное открытие.

МУРАВЬЕД: Прошу вас, не тяните: что это за магические числа, удовлетворяющие уравнению Ферма? Мне особенно любопытно узнать значение n.