Живой учебник геометрии - Перельман Яков Исидорович

Все те линии, которые составляют с вертикальной линией прямой угол, называются г о р и з о н т а л ь н ым и. Горизонтальны, например, все линии, проведенные по поверхности воды (черт. 18). Отвесное направление проверяют отвесом (черт. 18); горизонтальное – плотничьим ватерпасом.

На бумаге прямой угол чертят помощью линейки и чертежного треугольника (черт. 19). Проверить, правильно ли изготовлен чертежный треугольник, можно так. Проведя по линейке прямую линию и начертив с помощью треугольника другую прямую к ней, перпендикулярную, прикладывают чертежный треугольник прямым углом к смежному углу: если эти углы равны, то треугольник изготовлен правильно.

Углы, меньшие, чем прямой, называются о с т р ы м и; большие, чем прямой, – т у п ы м и.

Повторительные вопросы к §§ 6 и 7

Какой угол называется развернутым? – Какие углы называются смежными (начертите несколько таких углов)? – Какой угол называется прямым? – Как называется угол, который равен смежному с ним? – Могут ли прямые углы иметь различную величину? – Объясните значение слов: перпендикулярный, вертикальный, отвесный, горизонтальный. – Как чертить перпендикулярные прямые помощью чертежного треугольника? – Какие углы называются острыми? Тупыми? Начертите несколько острых и несколько тупых углов.

Применения

1. Уменье чертить взаимно-перпендикулярные прямые позволяет строить так наз. «графики», т. е. ломаные (или кривые) линии, наглядно показывающие ход изменения явлений. Пусть требуется построить график температуры за неделю по следующим данным:

Изобразим эти температуры рядом перпендикуляров к одной прямой, приведенных на равных расстояниях друг от друга: длина перпендикулярных отрезков будет изображать температуру дня. Верхушки перпендикуляров соединим прямыми линиями: полученная ломаная линия и есть «график температур».

2. На черт. 20 изображены графики годового хода температуры воздуха в разных местах земного шара: на о-ве Цейлон, в Ницце, в Самаре, во Владивостоке и в Верхоянске. Рассматривая эти графики, мы можем ответить себе на ряд могущих возникнуть вопросов, например:

a) Какова температура в среднем за много лет во всех на званных местах 1 мая?

О т в е т. На Цейлоне +27° в Ницце +18°, в Самаре +15°, во Владивостоке +10°, в Верхоянске 0°.

b) Какие дни в году (в среднем) самые жаркие и самые холодные в Верхоянске?

О т в е т. 1-е июля + 15°1-е января – минус 50°

c) В каких городах в апреле средняя температура ниже0°?

О т в е т. В Верхоянске, Владивостоке и Самаре.

d) Какова разница между самой высокой и самой низкой средней температурой в Ницце? В Самаре?

О т в е т ы. В Ницце средняя температура колеблется от +9° до +24°; в Самаре – от минус 10° до +21°.

§ 8. Свойство смежных углов

Сумма обоих смежных углов, очевидно, равна развернутому углу. Но развернутый угол равен двум прямым углам, взятым вместе. Поэтому:

С у м м а о б о и х с м е ж н ы х у г л о в р а в н а д в у м п р я м ы м у г л а м.

Например, на черт. 21 уг. 1 +уг. 2 = двум прямым углам.

Бывает, что по одну сторону прямой расположено не два угла, как в случае смежных углов, а несколько углов, – как на черт. 22. Легко убедиться, что сумма этих углов также равна двум прямым: из них всегда можно составить одну пару смежных углов (на черт. 22 углы АОD и DOВ, или АОЕ и ЕОВ).

Подобным же образом можно найти, чему равна сумма углов,! расположенных вокруг общей вершины, как на черт. 23. Продолжив одну из сторон за общую вершину (черт. 24), получим две группы углов: группу 1 и а, сумма которых равна двум прямым (почему?), и группу углов 2, 3, Ь, сумма которых равна также двум прямым углам; значит, сумма всех углов вокруг общей вершины равна 4 прямым углам.

Повторительные вопросы

Чему равна сумма смежных углов? – Сумма нескольких углов, расположенных по одну сторону прямой линии? – Сумма всех углов, расположенных вокруг общей вершины?

§ 9. Противоположные углы

Предварительные упражнения

1) На черт. 25 уг. 1 = 48°. Найти прочие углы.

2) На черт. 25 уг. b = 136 °. Найти прочие углы.

Когда две прямые линии пересекают друг друга (черт. 25), они образуют две пары углов, стороны которых составляют продолжение одни других: одна пара – уг. 1 и уг. 2; другая – уг. а и уг. b. Особенность противоположных углов та, что углы, составляющие такую пару, всегда равны между собою: у г. 1 = уг. 2, уг. а = у г. b. Действительно, если например (черт. 25) уг. 1 = 40°, то уг. b = 180° – 40° = 140°, уг. 2 = 180° – 140° = 40°, и уг. а = 180° – 40° = 140°; мы видим, что уг. 1 = уг. 2, и уг. а = уг. b. Вообще, так как уг. 1 вместе с углом а равен двум прямым (почему?), а уг. 2 вместе с тем же углом а тоже равен двум прямым, то ясно, что уг. 1 должен равняться уг. 2. Итак:

П р о т и в о п о л о ж н ы е у г л ы р а в н ы.

Повторительные вопросы.

Какие углы называются противоположными? знаете свойство противоположных углов?

§ 10. Окружность

До сих пор мы говорили только о прямых линиях. Из к р и в ы х линий остановимся на о к р у ж н о с т и (черт. 26). Окружность чертят циркулем. Острие ножки раздвинутого циркуля втыкают в бумагу, другую же ножку с карандашом вращают вокруг первой; когда карандаш сделает полный оборот, он проведет на бумаге замкнутую кривую – окружность. Та точка, в которую было воткнуто острие циркуля, называется ц е н т р о м окружности. Понятно, что все точки окружности удалены от центра на одинаковое расстояние; это расстояние называется р а д и у с о м окружности. Значит:

О к р у ж н о с т ь е с т ь к р и в а я л и н и я, в с е т о ч к и к о т о р о й о д и н а к о в о у д а л е н ы о т о д н о й

т о ч к и, н а з ы в а е м о й ц е н т р о м.

Прямая, соединяющая две точки окружности через центр, называется д и а м е т р о м.

Всякая часть окружности называется ее д у г о ю (черт. 27).

Плоская фигура, ограниченная окружностью, называется к р у г о м.

Повторительные вопросы

Что такое окружность? Центр? Радиус? Дуга? – Покажите все это на чертеже. – Все ли радиусы одной окружности равны между собою? – Что больше: диаметр или радиус? Во сколько раз?

Применения

3. Гудок завода слышен на 4 км. Начертить в масштабе 1 км в 1 см границу местности, где слышен гудок этого завода.

Р е ш е н и е. Вокруг точки, обозначающей положение завода, начертить окружность радиусом 4 см.

4. Радиус круга 100 см. Некоторая точка удалена от центра на 40 см. Лежит ли она внутри круга или вне его? Каково ближайшее расстояние от этой точки до окружности?

Р е ш е н и е. Точка лежит внутри круга. Ближайшее расстояние ее от окружности надо считать вдоль диаметра, проведенного через эту точку; оно равно 60 см. Дальнейшее расстояние (вдоль того же диаметра) – 140 см.

§ 11. Пересечение окружности с прямою и с другою окружностью

Две прямые линии могут пересечься друг с другом только в одной точке; более одной общей точки две разные прямые иметь не могут, – иначе они сливаются одна с другой. В скольких же точках могут пересекаться друг с другом прямая и окружность?