Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

Рассмотрим следующее квадратичное уравнение, которое на самом деле подобно машине для рисования окружностей и эллипсов:

где а и b — некоторые постоянные. У этой машины два рычажка, один из которых управляет буквой a, а другой — буквой b. Подбирая значения a и b, мы можем по своему желанию нарисовать любую окружность и любой эллипс с центром в точке 0.

Например, когда a совпадает с b, получающееся уравнение описывает окружность радиуса a. Когда а = b = 1, уравнение принимает вид х2 + y2 = 1 и получается окружность радиуса 1 — «единичная окружность», как та, что нарисована слева на рисунке. Если же а и b — различные числа, то уравнение описывает эллипс, который пересекает ось x в точке а и ось у в точке b. Например, кривая справа — это эллипс, для которого а = 3 и b = 2.

В 1818 году французский математик Габриель Лямэ, размышляя над формулой для окружности и эллипса, задался таким вопросом: что будет, если «подкручивать» не значения a и b, а показатели степени?

Эффект оказался восхитительным. Рассмотрим, например, уравнение хn + уn = 1. При n = 2, как мы видели, оно порождает единичную окружность. А вот кривые, получаемые при n = 2, n = 4 и n = 8:

Когда n равно 4, кривая выглядит как окружность, стиснутая при запихивании в квадратный ящик. Ее стороны уплощаются, но остаются четыре скругленных угла. Как будто окружность пытается стать квадратом. Когда n равно 8, получающаяся кривая еще более походит на квадрат.

На самом деле, чем большее мы выберем число n, тем ближе полученная кривая будет к квадрату. В пределе, когда x∞ + у∞ = 1, уравнение описывает квадрат. (Если что-то и заслуживает названия квадратуры круга, то это как раз тот самый случай.)

* * *

В центре Стокгольма расположен Сергелс Торг — многоуровневый торговый центр и транспортный узел. Это широкое прямоугольное пространство, устроенное так, что нижний уровень предназначен для пешеходов, а машины ездят сверху по кругу. Именно там политические активисты любят устраивать различные мероприятия, и именно туда стекаются спортивные болельщики, когда шведская сборная выигрывает какое-то значимое международное соревнование. Визитная карточка этого места — расположенная в центральной части здоровенная скульптура, стоящая там со времен 1960-х годов, предмет ненависти местных жителей — 37-метровый обелиск из стекла и стали, подсвечиваемый по ночам.

В конце 1950-х годов, когда планировщики города проектировали Сергелс Торг, они столкнулись с некой геометрической проблемой. Какова, спрашивали они себя, наилучшая форма для кругового движения в прямоугольном пространстве? Им не хотелось использовать точную окружность, потому что в таком случае прямоугольное пространство было бы задействовано не полностью. Но градостроители также не желали использовать овал и эллипс — несмотря на то, что они лучше заполняют пространство — и в том и в другом случае «заостренные» края препятствовали бы плавному движению транспорта. В поисках ответа архитекторы решили проконсультироваться у зарубежного специалиста и обратились к Питу Хейну (1905–1996). Этот человек некогда считался третьей по известности фигурой в Дании (после физика Нильса Бора и писательницы Карен Бликсен). Пит Хейн изобрел «груки» — короткие афористические стихотворения, которые он публиковал во время Второй мировой войны, считая их одной из форм пассивного сопротивления оккупации Дании нацистами. Кроме того, он был художником и математиком, а потому обладал как раз нужным художественным чутьем, широтой мышления и научным взглядом на мир — сочетание, которое могло бы помочь взглянуть под другим углом на проблему планировки стокгольмского центра.

И Пит Хейн решил с помощью несложных математических вычислений найти форму, которая будет представлять собой нечто среднее между эллипсом и прямоугольником. Для этого он использовал описанный выше метод, только применил его не к окружности, а к эллипсу. Говоря алгебраически, он стал по-всякому изменять значения n в таком уравнении:

Как мы только что видели, если взять окружность и начать увеличивать n от 2 до бесконечности, окружность будет переходить в квадрат. Соответственно, если взять эллипс и начать увеличивать n от 2, эллипс все больше и больше будет приближаться к прямоугольнику. Представим себе эллипс, описываемый приведенным выше уравнением, в котором а = 3 и b = 2. Пит Хейн рассудил, что значение n, при котором кривая представляет собой наилучший с эстетической точки зрения компромисс между эллиптической и прямоугольной формами, — 2,5. Соответствующая кривая показана на рисунке. Он назвал эту новую форму суперэллипсом.

Помимо просто изящного математического фрагмента, суперэллипс Пита Хейна затрагивает и более глубокую человеческую тему — повсеместно присутствующий в нашем окружении конфликт между окружностями и прямыми линиями. Он писал по этому поводу:

Всегда в цивилизованном мире постоянно просматривались две тенденции: одна — тяготеющая к прямым линиям и прямоугольным очертаниям, и другая — к округлым линиям. У каждой из этих тенденций имеются причины как механические, так и психологические. То, что состоит из прямых линий, лучше подходит одно к другому и экономит пространство. Зато передвигаться — физически или мысленно — легко среди вещей, образованных округлыми линиями. Но мы заключены в смирительную рубашку, заставляющую нас довольствоваться то одним, то другим, хотя порой лучше бы выбрать нечто среднее. Суперэллипс оказался решением задачи. Он не круглый, не прямоугольный; он где-то посередине. Но при этом он строго определен — он обладает собственной сущностью.

Круговое движение, выполненное в Стокгольме в форме суперэллипса, повторяли и другие архитекторы; самый известный пример — проект стадиона «Ацтека» в Мехико, где проходили финалы чемпионата мира по футболу в 1970 и 1986 годах.

Разработанная Питом Хейном кривая вошла в моду, завоевав себе место в скандинавском дизайне 1970-х годов. Там до сих пор можно купить суперэллиптические тарелки, подносы и дверные ручки, производимые компанией, принадлежащей сыну Пита Хейна.

Лукавый ум Пита Хейна не остановился на суперэллипсе. Работая над своим следующим проектом, он задался вопросом о том, каков мог бы быть трехмерный вариант этой формы. Результат — нечто промежуточное между сферой и ящиком, который он назвал «суперяйцом». Неожиданной чертой суперяйца оказалась способность удерживаться на одной из своих сторон, не опрокидываясь. В 1970-х годах Пит Хейн выпустил в продажу суперяйца, сделанные из нержавеющей стали, они предлагались покупателям как «скульптура, сувенир или амулет». Это довольно красивые и в то же время забавные предметы. Одно такое суперяйцо стоит у меня на каминной полке. Одно есть у Ури Геллера[38]. Его подарил ему Джон Леннон, объяснив, что сам получил это яйцо от инопланетян, посетивших его нью-йоркскую квартиру. «Храни его, — сказал Леннон Геллеру. — Для меня оно слишком странное. Если это мой билет на другую планету, то мне туда совсем не хочется».

Глава 6

На досуге

Автор отправляется на поиск математических головоломок. Он изучает наследие двух китайцев — один из которых туповатый затворник, а другой свалился с Земли, — а затем летит в Оклахому ради встречи с волшебником.

Маки Кадзи издает японский журнал, специализирующийся на числовых головоломках. Кадзи считает себя кем-то вроде шоумена или эстрадного артиста, использующего в своем ремесле числа. «Я ощущаю себя скорее режиссером фильма или спектакля, чем математиком», — объясняет он. Я познакомился с Кадзи в его офисе в Токио. Он не вел себя эксцентрично, но и не держался чересчур официально, хотя именно эти два качества можно было бы ожидать от того, кто некогда был одержим числами, а потом превратился в успешного бизнесмена. Кадзи был одет в черную футболку, а поверх нее — в модный бежевый кардиган, на его носу сидели очки в стиле Джона Леннона. Ему 57 лет, у него короткая козлиная бородка и бакенбарды, и он часто и заразительно смеется. Кадзи с удовольствием поведал мне о том, что помимо числовых головоломок у него есть и другие хобби. Например, он собирает канцелярские резинки и из своего недавнего путешествия в Лондон привез про запас 25-граммовую упаковку фирменных резинок из книжного магазина «WH Smith» и еще одну 100-граммовую упаковку от независимого торговца канцелярскими товарами. Еще он на досуге развлекается тем, что фотографирует содержательные с арифметической точки зрения номерные знаки на автомобилях. В Японии номерные знаки состоят из двух пар чисел. Кадзи постоянно носит с собой небольшой фотоаппарат и старается не пропустить ни одного знака, на котором перемножение чисел из первой пары дает число, равное второй.