Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - Алексей Михайлович Семихатов

В отношении всех тысяч коэффициентов, в совокупности отражающих форму Земли, задавать такие вопросы довольно бессмысленно, потому что эффект от каждого – это та или иная вариация и без того тонких эффектов, определяемых «более старшими» коэффициентами (теми, которые отвечают за неоднородности большего масштаба). Но в том, что касается самых старших – и наиболее «влиятельных» – коэффициентов, крайне желательно было бы увидеть связи «причина – следствие». Как действуют причины, стоящие за безумием реальных орбит вроде той, что изображена на рис. 4.1? Какие орбиты более, а какие менее чувствительны к главным проявлениям несферичности Земли? При планировании космических миссий такое знание позволяет делать общие выводы еще до того, как вычисление необходимых подробностей передается компьютеру. Получение этого знания – поучительная история о том, как можно разобраться в сложном движении. Ряд некеплеровых орбит удалось остроумно описать, не расставаясь с Кеплером окончательно и бесповоротно (да, мы любим кеплеровы орбиты – уже за то, что с ними все понятно, а рассуждать в их терминах удобно; это-то удобство и хочется по возможности сохранить). На помощь приходит трюк с «поцелуями».

Глядя на спутник, который движется вокруг реальной Земли, быть может, по траектории, вроде показанной на рис. 4.1, попробуем (как верные последователи Галилея в том, что касается мысленных экспериментов) представить себе, что вся несферичность Земли вдруг пропала. С этой самой секунды спутник продолжит двигаться по эллипсу. Реальный же спутник, притягиваемый реальной Землей, полетит по несколько иной траектории, но мы намереваемся описывать происходящее с ним как наложение друг на друга двух сюжетов: 1) спутник каждую секунду движется по тому эллипсу, который наблюдался бы, если бы несферичность исчезла; 2) весь эффект несферичности проявляется в том, что сам этот эллипс непрерывно меняется. Здесь, конечно, важно не переборщить. Если вы двигаете бусинку по проволочному кольцу в форме эллипса и одновременно поворачиваете и/или вытягиваете сам эллипс, то это второе надо делать не слишком быстро. Если кольцо неузнаваемо меняется быстрее, чем бусинка пройдет по нему сколько-нибудь заметную долю полного оборота, то от эллиптической формы этой проволки большой пользы нет. Но из-за того, что Земля все-таки достаточно круглая, для спутников эта схема работает.

Заветный эллипс – то ли придуманный, то ли реально существующий, хоть и постоянно меняющийся – называется оскулирующим. Именно так – не «осциллирующим». Не самый распространенный английский глагол osculate означает, как ни странно, «целовать»[64]. В механике и математике термин (не совсем без оснований) стал указывать на плавное касание – такое, когда две линии имеют в точке соприкосновения общую касательную. Чтобы идея постепенно эволюционирующего эллипса оправдала наши надежды, а именно позволила бы увидеть, какие факторы влияют на эволюцию орбит и каким именно образом, необходимо получить уравнения для этих меняющихся эллипсов. Эта задача была поставлена и решена только в середине XX в. Неизвестными в таких уравнениях для орбит являются вовсе не координаты спутника, а параметры эллипса в целом.

А как, собственно, эллипс может оскулировать? Во-первых, может меняться его геометрия – размер и степень вытянутости: каждую из полуосей эллипса можно, в принципе, растягивать или сжимать. Одновременно эллипс может «гулять» вокруг Земли, оставаясь будто бы закрепленным в ее центре своим фокусом. Попробуйте взять в руку проволочный эллипс достаточно большого размера, поместить внутри него глобус и представлять себе, что один из фокусов эллипса закреплен на волшебном шарнире в центре глобуса (настоящий спутник обходится без волшебства). На ваше усмотрение остаются разнообразные размахивания эллипсом как единым целым вокруг этой точки – в дополнение к уже отмеченной возможности сжимать или растягивать эллипс по двум направлениям. Как же на все эти движения эллипса влияет своей гравитацией главная неоднородность Земли – сплюснутость у полюсов?

Ранее мы выразили сплюснутость Земли в виде поправки к силе притяжения с зависимостью от расстояния 1/R4 и с некоторой конкретной зависимостью от широты. И вот наконец награда: обработка этой поправки математическими средствами и некоторая степень остроумия при выводе уравнений для оскулирующего эллипса позволяют ясно увидеть, что происходит с любой начальной орбитой. Из формул, без которых я изо всех сил (хоть и не всегда с полным успехом) стараюсь обходиться, следует, что из-за сплюснутости Земли геометрия эллипса не меняется: он никак не растягивается и не сжимается. Выразим это короткой анкетой:

Зато в другом отношении события развиваются довольно живо – плоскость, в которой лежит эллипс, поворачивается с постоянной скоростью навстречу движению спутника: спутник, обращающийся вокруг Земли в направлении ее собственного вращения, пересекает экватор на каждом следующем витке несколько западнее, чем на предыдущем (рис. 4.9). Это означает, что траектория движения спутника размыкается. Следующий виток ложится не на предыдущий, а примерно так, как получается при сматывании в клубок толстой шерсти: рядом с предыдущим, на некотором расстоянии от него. Все упражнение с оскулирующими эллипсами затевалось для того, чтобы понять, на каком именно и от чего оно зависит. Мы вознаграждены, потому что расстояние между витками можно вычислить, и оказывается, что оно вполне определенным (и несложным) образом зависит от наклона орбиты к экватору: оно значительно для малых углов наклона и исчезает для орбиты с максимальным углом наклона – полярной орбиты, проходящей над полюсами. Измерять сдвиг орбиты удобнее всего по положению той точки, где орбита пересекает экваториальную плоскость (конечно, эту точку надо описывать с привязкой не к самой Земле, а в терминах, например, направлений на звезды). Для типичной орбиты эта точка пересечения сдвигается на несколько градусов в сутки. Например, если «несколько» – это три или шесть, то точка пересечения обойдет Землю по экватору за четыре или два месяца соответственно, а вместе с ней будет поворачиваться и орбита. Вы запускаете орбитальную станцию на одну орбиту, а она, не спрашивая вас, отправляется в незапланированное странствие, наматывая «попятные» витки. Эта информация оказывается критически важной для любой планируемой стыковки со станцией, потому что активное изменение плоскости орбиты, как мы говорили на прогулке 2, обходится крайне дорого в отношении топлива. Скорость прецессии зависит еще и от высоты, и даже если космический корабль, направляющийся к станции, выходит на «правильную» плоскость, но заметное время остается на более низкой орбите, то плоскость его орбиты неминуемо «разойдется» с плоскостью орбиты станции. Впрочем, достигнутое понимание этого эффекта позволяет им пользоваться: для почти полярных орбит скорость поворота плоскости орбиты можно сделать равной примерно одному градусу в