Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

В защиту Кавальери выступил и Паскаль. В своих «Письмах из Деттонвиля» (1658) он утверждал, что геометрия неделимых превосходно согласуется с евклидовой геометрией: «То, что может быть доказано с помощью истинных правил неделимых, может быть также доказано со всей строгостью на манер древних». По мнению Паскаля, геометрия неделимых Кавальери и геометрия древних греков отличаются только терминологией. Метод неделимых, считал Паскаль, должен быть принят каждым математиком, претендующим на то, чтобы считаться геометром. Но и у Паскаля не было определенного мнения относительно математической строгости. Иногда он утверждал, что, подобно тому как религия ставит милосердие превыше разума, так и для получения правильных результатов необходима истинная «утонченность», а не логика, присущая геометрии. Парадоксы геометрии, проявившиеся в математическом анализе, Паскаль сравнивал с кажущимися нелепостями христианства и считал, что неделимые значат в геометрии не более чем суд мирской в сравнении с судом божьим.

Согласно Паскалю, необходимые поправки в идеи нередко вносит не разум, а душа (гл. II). В своих «Мыслях» он говорит: «Мы постигаем истину не только разумом, но и душой. Из последнего источника мы познаем первые принципы, и разум, не принимающий в этом участия, тщетно пытается сражаться с душой… На нашем знании души и инстинкта с необходимостью зиждется разум, и этим знанием он питается». Разумеется, такими рассуждениями Паскаль никак не мог помочь уяснению метода Кавальери.

Наибольший вклад в создание математического анализа внесли Ньютон и Лейбниц. Ньютон почти не занимался понятием интеграла, но интенсивно разрабатывал понятие производной. По существу, предложенный им метод вычисления производной мало чем отличался от метода Ферма. Не было у Ньютона и большей ясности относительно логического обоснования понятия производной. Математическому анализу Ньютон посвятил три работы. Кроме того, он коснулся этого вопроса в наиболее значительном из своих сочинений — «Математических началах натуральной философии», вышедших тремя изданиями. Излагая в первой работе (1669 — см. [140]) свой метод вычисления производной, Ньютон заметил, что он его скорее «кратко объяснил, чем строго доказал». При вычислении производной Ньютон воспользовался тем, что h и k — неделимые. Во второй работе (1671) Ньютон замахнулся на большее: он заявил, что изменил свою точку зрения на переменные и считает теперь необходимым рассматривать их не как дискретные, а как непрерывно изменяющиеся величины (в случае дискретных переменных величины h в конечном счете вырождаются в неделимые). Ньютон утверждал, что ему удалось избавиться от чрезмерной жесткости теории неделимых, которую он применил в первой работе. Однако внесенные Ньютоном изменения, по существу, никак не сказались на ходе вычисления производной, или, как предпочитал ее называть сам Ньютон, флюксии. И с логикой во второй работе дело обстояло ничуть не лучше, чем в первой.

В своей третьей работе по математическому анализу — «Рассуждения о квадратуре кривых» (1676) — Ньютон еще раз заявил, что отказывается от бесконечно малых величин (в конечном счете неделимых), и критически отозвался об отбрасывании членов в соотношении (3), содержащих множитель h, поскольку «в математике не следует пренебрегать даже самыми малыми ошибками». После этих предварительных замечаний Ньютон дал новое объяснение понятия «флюксия»: «Флюксии, когда приращения флюэнт [переменных] возникают во все большем числе, отличаются сколь угодно мало и сами сколь угодно малы, и если говорить точно, то они пропорциональны возникающим приращениям…». Разумеется, пользы от столь смутных объяснений было немного. Что же касается метода вычисления флюксией, то с логической точки зрения третья работа Ньютона была столь же малообоснованной, как и первая. Производную Ньютон вычислял, отбросив все члены в (2), содержавшие h в степени выше первой, например члены с h2.

Несколько утверждений относительно флюксий Ньютон высказал в своем главном труде «Математические начала натуральной философии» (1-е изд., 1687). От неделимых в пределе величин он отказался в пользу «исчезающе делимых величин», т.е. величин бесконечно делимых. В первом и в третьем изданиях «Начал» Ньютон утверждал:

Предельные отношения исчезающих количеств не суть отношения пределов этих количеств, а суть те пределы, к которым при бесконечном убывании количеств приближаются отношения их и к которым эти отношения могут подойти ближе, нежели на любую наперед заданную разность, но которых превзойти или достигнуть на самом деле не могут, ранее чем эти количества уменьшатся бесконечно.

Хотя приведенный нами отрывок не отличается особой ясностью, это наиболее ясное из всех утверждений Ньютона о флюксиях. Именно здесь Ньютон употребил ключевое слово «пределы» (его терминология была иной), хотя и не стал углубляться в анализ этого понятия.

Ньютон, несомненно, сознавал неудовлетворительность предложенного им объяснения флюксии и, должно быть, с отчаяния обратился к ее физическому смыслу. Вот что говорится об этом в «Началах».

Делают возражение, что для исчезающих количеств не существует «предельного отношения», ибо то отношение, которое они имеют ранее исчезания, не есть предельное, после же исчезания нет никакого отношения. Но при таком и столь же натянутом рассуждении окажется, что у тела, достигающего какого-либо места, где движение прекращается, не может быть «предельной» скорости, ибо та скорость, которую тело имеет ранее, нежели оно достигло этого места, не есть «предельная», когда же достигло, то нет скорости. Ответ простой: под «предельною» скоростью надо разуметь ту, с которою тело движется не перед тем, как достигнуть крайнего места, где движение прекращается, и не после того, а когда достигает, т.е. именно ту скорость, обладая которой тело достигает крайнего места и при которой движение прекращается. Подобно этому, под предельным отношением исчезающих количеств должно быть разумеемо отношение количеств не перед тем, как они исчезают, и не после того, но при котором исчезают.

Поскольку результаты его математических исследований были физически вполне осмысленными, Ньютон не уделял особого внимания логическому обоснованию математического анализа. В «Началах» он пользовался геометрическими методами и приводил теоремы о пределах в их геометрической формулировке. Позднее Ньютон признал, что при выводе теорем в «Началах» он прибегал к математическому анализу, он формулировал их геометрически, чтобы придать своим рассуждениям ту степень достоверности, которой отличались доказательства древних. Разумеется, его геометрические доказательства отнюдь не были строгими. Ньютон слепо верил в непогрешимость евклидовой геометрии, но ничто не свидетельствовало о том, что евклидова геометрия могла хоть в какой-то мере помочь в обосновании математического анализа.

Несколько иной подход к математическому анализу предложил Лейбниц (см. [141]). По его мнению, величины, обозначенные нами h и k (Лейбниц обозначал их символами dx и dy), убывая, достигают «исчезающе малых», или «бесконечно малых», значений. На этой стадии h и k отличны от нуля, но меньше любого заданного числа. Следовательно, любыми степенями h, например h2 или h3, заведомо можно пренебречь. Получающееся при этом отношение h/k и есть та самая величина, которую требовалось найти, т.е. производная, которую Лейбниц обозначил dy/dx.

Геометрический смысл величин h и k по Лейбницу заключался в следующем. Пусть P и Q — «бесконечно близкие» точки на кривой. Тогда dx — разность их абсцисс, a dy — разность их ординат (рис. 6.4). Кроме того, касательная к кривой в точке T совпадает с дугой PQ. Следовательно, отношение dy/dx задает угол наклона касательной. Треугольник PQR, называемый характеристическим, не являлся изобретением Лейбница: им пользовались Паскаль и Барроу, труды которых были известны Лейбницу. Лейбниц считал, что треугольник PQR подобен треугольнику STU, — и пользовался этим подобием для доказательства некоторых утверждений относительно dy/dx.

Рис. 6.4. Характеристический треугольник PQR.

Лейбниц широко использовал понятие интеграла и независимо пришел к идее суммирования элементарных прямоугольников, на которые разбивается криволинейная трапеция [ср. (7)]. Но переход от суммы конечного числа прямоугольников к сумме бесконечно большого числа прямоугольников был не вполне понятен. По утверждению Лейбница, сумма элементарных прямоугольников превращалась из конечной в бесконечную, когда ширина h прямоугольников становилась «бесконечно малой». Для бесконечной суммы бесконечно малых величин — интеграла — Лейбниц ввел специальное обозначение ∫ydx. Он научился вычислять такие интегралы и независимо открыл основную теорему интегрального исчисления, утверждающую, что вычисление интеграла представляет собой операцию, обратную нахождению производной (антидифференцирование). После примерно двенадцати лет упорной работы над своим вариантом математического анализа Лейбниц опубликовал первую работу о новом исчислении в журнале Acta eruditorum («Журнал ученых») за 1684 г. Наиболее выразительный отзыв на эту работу Лейбница дали его друзья, братья Якоб и Иоганн Бернулли, заявив, что это «не столько загадка, сколько объяснение».