Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

Как-то раз, когда я был в гостях у Эдди Левина, дантиста на пенсии, он дал мне листок бумаги и попросил написать мое имя заглавными буквами. Левину 75 лет, у него чопорный вид, седые волосы топорщатся над продолговатым лбом. Он живет в северном Лондоне — на улице, которая является образчиком тех пригородов, где селятся преуспевающие и консервативные британцы. Я взял листок и написал: ALEX BELLOS.

Левин взял инструмент из нержавеющей стали, по виду напоминавший небольшую клешню с тремя зубцами. Твердой рукой он приложил ее к листу бумаги и принялся анализировать мою надпись. Он установил свой инструмент над буквой E в моем имени, при этом он был так сосредоточен, что ему позавидовал бы и раввин, делающий обрезание.

— Неплохо, — сказал он.

Этот инструмент — собственное изобретение Левина. Три зубца расположены так, что, когда инструмент раскрыт, их концы остаются на одной линии, причем расстояния между ними находятся в том же отношении друг к другу, как когда инструмент закрыт. Левин разработал его таким образом, что расстояние между средним и верхним зубцами всегда в 1,618 раз больше расстояния между средним и нижним. Поскольку данное число более известно как золотое сечение, он назвал свой инструмент калибром золотого сечения. (Среди других синонимичных названий числа 1,618 имеются золотая пропорция, божественная пропорция и φ, или фи.) Левин наложил свой калибр на написанную мной букву E так, чтобы кончик одного зубца пришелся на верхнюю горизонтальную черту в букве E, кончик среднего — на среднюю горизонтальную черту, а нижний оказался бы на нижней черте. Я полагал, что, выписывая заглавную букву E, я помещаю среднюю черту на равном расстоянии между верхом и низом, но калибр Левина продемонстрировал, что я бессознательно помещаю черту несколько выше середины — так, что она разбивает полную высоту буквы на два отрезка, отношение длин которых равно 1,618. Хотя я написал свое имя довольно небрежно, не успев ни о чем подумать, тем не менее оказалось, что я попал в число соблюдающих золотую пропорцию с поразительной точностью.

Левин улыбнулся и перешел к букве S. Он перенастроил свой калибр так, что зубцы касались самого верхнего и самого нижнего окончания буквы S, и, к моему полному изумлению, средний зубец попал точно на изгиб в букве S.

Точное попадание, — спокойно заметил Левин. — В почерк каждого человека заложена золотая пропорция.

* * *

Золотая пропорция — это число, которое описывает отношение, возникающее при делении отрезка на две части таким образом, что отношение всего отрезка к большему из двух равно отношению большего к меньшему. Другими словами, когда отношение А + В к А равно отношению А к В:

Деление отрезка на две части указанным образом называется золотым сечением. При этом число фи — отношение между большим и меньшим отрезками — можно вычислить, и оно равно (1 + 5√2√2√2√2)/2. Это иррациональное число, десятичное разложение которого начинается как

1,61803398874989484820…

Древних греков зачаровывало число фи. Они познакомились с ним, рассматривая пятиконечную звезду (пентаграмму), которая являлась почитаемым символом Пифагорейского братства. Евклид писал о «делении отрезка в крайнем и среднем отношении», он предложил метод построения правильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки. Начиная с эпохи Возрождения это число интриговало как художников, так и математиков.

Пятиконечная звезда — мистический символ, рожденный в древности, — содержит в себе золотое сечение

Ключевой работой, посвященной золотому сечению, была написанная в 1509 году книга выдающегося итальянского математика францисканца Луки Пачоли (1445–1517) «Божественная пропорция», где описывались многие случаи появления этого числа из геометрических построений. Иллюстрировал книгу друживший с Пачоли Леонардо да Винчи. Итак, Пачоли пришел к выводу, что число фи — послание Бога, источник тайного знания о внутренней красоте вещей.

* * *

С математической точки зрения число фи интересно еще и потому, что оно связано с самой знаменитой последовательностью в математике — последовательностью Фибоначчи. Эта последовательность начинается с чисел 0 и 1, а далее каждый следующий член представляет собой сумму двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… Вот как получаются эти числа:

Прежде чем говорить о том, как связаны число фи и последовательность Фибоначчи, давайте изучим саму последовательность. Природа тяготеет к числам Фибоначчи. Заглянув в сад, вы обнаружите, что у большинства цветков число лепестков равно числам Фибоначчи. У лилий и ирисов — три лепестка, у гвоздик и лютиков — пять, у дельфиниума — восемь, у ноготков — 13, у астр — 21, а у маргариток — 55 или 89. Каждый цветок может и не иметь всегда в точности столько лепестков, но в среднем их число будет одним из чисел Фибоначчи. Например, на стебле клевера обычно три листочка — это тоже число Фибоначчи. Лишь очень редко у клевера бывает четыре листочка, поэтому четырехлистный клевер считается особенным. Они встречаются редко как раз потому, что 4 — не число Фибоначчи.

Числа Фибоначчи встречаются также в спиральных узорах, которые образуют чешуйки сосновых шишек и ананасов, соцветия цветной капусты и семена подсолнухов. Можно пересчитывать витки спирали по часовой стрелке или против — все, что вы насчитаете в любом направлении, будет числами Фибоначчи. На ананасах, как правило, 5 и 8 спиралей, или же 8 и 13. На еловых шишках их обычно 8 и 13. У подсолнухов спиралей может быть 21 и 34 или же 34 и 55 — хотя известны примеры с 144 и 233 спиралями. Чем больше семян в подсолнухе, тем больше оказывается число спиралей.

Последовательность Фибоначчи называется так потому, что ее члены впервые появились в написанной Фибоначчи книге «Liber Abaci», в связи с задачей о кроликах. Однако свое имя эта последовательность приобрела лишь через более чем 600 лет после выхода книги — в 1877 году, когда ее изучал теоретико-числовик Эдуар Люка. Именно он решил воздать должное Фибоначчи, назвав последовательность его именем.

В книге «Liber Abaci» эта последовательность возникла из следующей задачи. Пусть у нас имеется пара кроликов, которая через месяц дает потомство — появляется еще пара кроликов. Если у каждой взрослой пары кроликов каждый месяц появляется потомство — пара крольчат, — а крольчатам требуется один месяц, чтобы стать взрослыми, то сколько кроликов получится от первой пары через год? Ответ на этот вопрос можно получить, пересчитывая кроликов из месяца в месяц. В первый месяц имеется всего одна пара. В второй месяц — две, поскольку исходная пара произвела новую. На третий месяц имеется три пары, потому что исходная пара снова размножилась, но другая пара лишь достигла зрелости. На четвертый месяц обе пары взрослых кроликов размножились, что добавит двойку к имеющейся тройке. Последовательность Фибоначчи — это полное число пар, подсчитанное месяц за месяцем:

  Полное число пар 1-й месяц: 1 взрослая пара 1 2-й месяц: 1 взрослая пара и 1 пара крольчат 2 3-й месяц: 2 взрослые пары и 1 пара крольчат 3 4-й месяц: 3 взрослые пары и 2 пары крольчат 5 5-й месяц: 5 взрослых пар и 3 пары крольчат 8 6-й месяц: 8 взрослых пар и 5 пар крольчат 13

Важное свойство последовательности Фибоначчи состоит в том, что она рекуррентная, — то есть каждый новый член порождается предыдущими. Это же помогает понять, почему числа Фибоначчи настолько распространены в природе. Многие живые организмы растут, следуя рекуррентному процессу.

* * *

Последовательность Фибоначчи не только описывает формирование плодов и процесс безостановочного размножения кроликов, но и обладает разнообразными увлекательными математическими свойствами. Закономерность будет легче увидеть, если мы выпишем первые 20 чисел. Каждое число Фибоначчи традиционно записывается с использованием буквы F, снабженной нижним индексом, который обозначает положение данного числа в последовательности:

F0 = 0.       F1 = 1. F6 = 8, F11 = 89, F16 = 987, F2 = 1. F7 = 13, F12 = 144. F17 = 1597, F3 = 2, F8 = 21, F13 = 233, F18 = 2584, F4 = 3, F9 = 34, F14 = 377, F19 = 4181, F5 = 5, F10. = 55, F15 = 610, F20 = 6765.

При более близком рассмотрении удается заметить, что наша последовательность воспроизводит саму себя многими и весьма неожиданными способами. Взглянем на числа F3, F6, F9 — другими словами, на каждое третье F-число. Все они делятся на 2. А числа F4, F8, F12 — то есть каждое четвертое F-число — делятся на 3. Каждое пятое F-число делится на 5, каждое шестое F-число делится на 8, и каждое седьмое — на 13. Эти делители в точности являются F-числами из самой последовательности.