Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Беллос Алекс

Но одному математику времени тем не менее все-таки хватило, — такое нередко бывает в науке. В 1876 году, через два с половиной столетия после того, как Мерсенн предложил свой список, французский специалист по теории чисел Эдуар Люка изобрел метод, позволяющий проверить, являются ли числа вида 2n - 1 простыми, и выяснил, что Мерсенн был не прав по поводу числа 67 и, кроме того, он пропустил числа 61, 89 и 107. Потрясающе, однако, что Мерсенн оказался прав насчет числа 127. Люка применил свой метод для доказательства того, что число 2127 - 1 (то есть 170 141 183 460 4 69 231 731 687 303 715 884 105 727) — простое. Оно оставалось самым большим известным простым числом до наступления века компьютеров. Люка, однако, не смог определить, простое или нет число 2257 - 1 — оно было слишком большим для ручных вычислений.

Несмотря на отдельные ошибки, список Мерсенна обессмертил своего создателя; простые числа вида 2n - 1 в наше время известны как простые числа Мерсенна.

Дабы выяснить, простое или нет число 2257 - 1, пришлось дожидаться наступления 1952 года. Для доказательства был использован метод Люка, правда при существенной поддержке. В том году в Институте численного анализа в Лос-Анджелесе собралась команда ученых. Они наблюдали за 24-футовыми барабанами с магнитной лентой, вводившейся в один из первых цифровых компьютеров, который назывался SWAC. Один только этот процесс занял несколько минут. Затем оператор ввел число, которое предстояло проверить: 257. Через долю секунды появился результат. Компьютер сообщил, что число 2257 - 1 — не простое.

Вечером того же дня, когда было получено, что число 2257 - 1 — не простое, в вычислительную машину один за другим были введены новые претенденты на право занять место в списке Мерсенна. SWAC отказал первым 42 из них. И только в 10 вечера появился результат: компьютер сообщил, что число 2521 - 1 — простое. Это число было наибольшим из простых чисел Мерсенна, выявленным за 75 лет, что, кстати, давало и соответствующее совершенное число 2520(2521 - 1) — всего лишь тринадцатое открытое за чуть ли не вдвое большее число столетий. Но число 2521 - 1 только два часа наслаждалось своим статусом старшего в колоде. Незадолго до полуночи SWAC подтвердил, что число 2607 - 1 тоже простое. За последующие несколько месяцев SWAC, работая на пределе своих возможностей, нашел еще три простых числа. 17 простых чисел Мерсенна были открыты в период с 1957 по 1996 год.

Начиная с 1952 года почти всегда наибольшим известным простым числом было простое число Мерсенна. Единственным исключением явилась трехлетняя интерлюдия между 1989 и 1992 годом, когда самым большим простым числом считалось (391 581 × 2216 193) - 1, которое, впрочем, относится к типу простых чисел, связанных с мерсенновскими простыми. Среди всех существующих простых чисел (а мы знаем, что их бесконечно много) в таблице наибольших открытых простых преобладают простые числа Мерсенна, поскольку они представляют собой прекрасную мишень для охотников за простыми числами. Лучшая тактика поиска больших простых чисел — это искать простые числа Мерсенна; другими словами, отправлять число 2n - 1 в компьютер при все больших и больших значениях n и использовать для проверки его простоты тест Люка — Лемера, представляющий собой усовершенствованный вариант упоминавшегося выше метода Эдуара Люка.

Самого влиятельного из охотников за простыми числами нашего времени привела на этот путь марка на конверте. В 1960-х годах, когда Джордж Уолтман был еще ребенком, его отец показал ему почтовую марку, на которой был изображен Университет Иллинойса и написано «211213 - 1 простое» — это был результат, только что установленный в этом университете. «Это меня просто потрясло — оказывается, можно доказать, что такое большое число — простое», — вспоминает он.

Уолтман внес немалый вклад в написание программ, существенным образом продвинувших поиск простых чисел. Все проекты, имевшие дело с масштабной обработкой чисел, как правило, выполнялись на суперкомпьютерах, доступ к которым ограничен. Начиная с 1990 года, однако, немало больших задач подвергались «нарезке» наподобие салями — работа разбивалась на части, которыми занимались тысячи меньших машин, связанных друг с другом через Интернет. В 1996 году Уолтман написал программу, которую пользователи могут бесплатно скачать, а установив ее, получить маленький кусок еще неисследованной части числовой прямой для поиска там простых чисел. Эта программа использует процессор, только когда ваш компьютер ничего не делает. Пока вы крепко спите, ваша машина занята тем, что перетряхивает числа на дальнем рубеже познания.

Великий «интернет-поиск мерсенновских простых», или GIMPS, в настоящее время связывает около 75 000 компьютеров. Часть из них стоит в научно-исследовательских учреждениях, другие — в офисах, а некоторые — дома у энтузиастов поиска. GIMPS был одним из первых проектов «распределенных вычислений» и оказался одним из наиболее успешных. (Самый масштабный из подобных проектов — SetiKhome, который занят расшифровкой космического шума в поисках сигналов от внеземных цивилизаций. Утверждается, что в нем участвуют три миллиона ученых, правда, они до сих пор ничего не открыли.) Спустя всего лишь несколько месяцев после запуска GIMPS 29-летний французский программист поймал в свои сети 35-е простое число Мерсенна, 21398269 - 1. С тех пор GIMPS обнаружил еще 11 мерсенновских простых, что соответствует в среднем одному числу в год. Мы живем в золотой век больших простых чисел.

На настоящий момент рекорд самого большого простого числа удерживает 45-е простое число Мерсенна, 243112609 - 1 — это число, в котором почти 13 миллионов цифр, найдено в 2008 году на компьютере, подсоединенном к GIMPS, в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе. Простые числа Мерсенна, найденные по счету 46-м и 47-м, оказались меньше 45-го. Это произошло потому, что различные компьютеры с различными быстродействиями одновременно работают на различных участках числовой прямой, и может так случиться, что простые числа на более далеком ее участке будут открыты раньше, чем на более близком.

Проект GIMPS стал примером массового добровольного сотрудничества в целях научного прогресса, и это сделало его символом свободного Интернета. Уолтман, даже не помышляя ни о чем подобном, превратил поиск простых чисел в квазиполитическое предприятие. С целью подчеркнуть символическую важность этого проекта Фонд электронных рубежей (Electronic Frontier Foundation, EFF) — группа, ведущая кампанию за цифровые права, — начиная с 1999 года предлагает денежное вознаграждение за каждое новое простое число, количество цифр в котором достигнет следующего порядка величины. Первым простым числом, добравшимся до 10 миллионов цифр, оказалось 45-е простое число Мерсенна, призовая сумма за него составила 100 000 долларов. Фонд EFF предлагает 150 000 долларов за первое простое число, состоящее из 100 миллионов цифр, и 250 000 долларов за первое, состоящее из миллиарда. Если нанести на график самые большие простые числа, полученные за все последние годы начиная с 1952-го, то в логарифмическом масштабе, как показано ниже, эти числа выстроятся почти в прямую линию. Эта прямая показывает, как замечательным образом постоянно возрастала мощь процессоров, а кроме того, позволяет оценить, когда будет открыто первое простое число, состоящее из миллиарда цифр. Бьюсь об заклад, это открытие произойдет ближе к 2025 году.

Число цифр в наибольших известных простых числах в различные годы

При том что простых чисел бесконечно много (хотя бесконечно ли количество мерсенновских простых — пока не известно), поиск все больших и больших простых — задача, конца которой нет. Какого бы простого числа мы ни достигли, и не важно, насколько большого, всегда найдется еще большее простое число — дразнящее нас и бросающее вызов.