Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

Первый вопрос, с которым де Мэрэ обратился к Паскалю, был таков. Итак, имеется равная 1/36 вероятность выпадения двух шестерок при бросании двух костей. Вообще говоря, вероятность выпадения двух шестерок повышается по мере того, как пару костей бросают снова и снова. Наш шевалье желал узнать, сколько раз необходимо бросать кости, чтобы ставка на две шестерки превратилась в дело прибыльное.

Второй вопрос был посложнее. Пусть Жан и Жак играют в кости, причем игра состоит из нескольких раундов, в каждом из которых они бросают кость и определяют, у кого выпало большее число очков. Окончательным победителем является тот, у кого большее число очков выпало три раза. Они оба поставили по 32 франка, так что на кону 64 франка. Если игра прерывается после трех раундов, в течение которых Жан выбросил большее число два раза, а Жак лишь один раз, то как следует поделить деньги в банке?

Размышляя над этими вопросами и ощущая потребность обсудить их с коллегой по цеху гениев, Паскаль написал своему другу из мерсенновского салона — Пьеру де Ферма. Ферма, живший вдали от Парижа в Тулузе, был на 22 года старше Паскаля. Он работал судьей в местном уголовном суде и забавлял себя математикой, к которой относился как к интеллектуальному развлечению. Тем не менее любовь к сосредоточенным размышлениям сделала его одним из наиболее уважаемых математиков первой половины XVII столетия.

Короткая переписка между Паскалем и Ферма по поводу шансов — которые они называли словом «hasard»[53] — ознаменовала переломный момент в истории науки. В ходе переписки эти господа нашли ответы на большую часть вопросов, поставленных азартным шевалье, а в процессе решения заложили основы современной теории вероятностей.

Первый вопрос шевалье де Мэрэ касался выпадения двух шестерок. Сколько раз надо бросать пару костей, чтобы появление двух шестерок стало более вероятным, чем их непоявление? При одном бросании двух костей шанс выпадения двух шестерок равен 1/36, что есть 0,028. Шанс получить две шестерки за два бросания пары костей есть 1 минус вероятность невыпадения двух шестерок за два бросания, то есть 1 - (35/36 × 35/36). Это равно 71/129, или 0,055. (Заметим, что шанс получить две шестерки за два бросания не равен 1/36 × 1/36. Это число выражает шанс появления двух шестерок в обоих бросаниях. Вероятность же, которая нас интересует, — это шанс выпадения двух шестерок по крайней мере один раз, с учетом исходов, когда две шестерки выпадают или при первом бросании, или при втором, или при обоих. Игроку для выигрыша требуется, чтобы две шестерки выпали только один раз, а не при каждом бросании.) Шанс выпадения двух шестерок при трех бросаниях двух костей равен 1 минус вероятность их невыпадения, что в данном случае равно 1 - (35/36 × 35/36 × 35/36) = 3781/46656, или 0,081.

Как видим, чем большее число раз бросаются кости, тем выше вероятность выпадения двух шестерок: 0,028 при одном бросании, 0,055 при двух и 0,081 при трех. Поэтому исходный вопрос можно перефразировать так: «После скольких бросаний эта дробь превысит 0,5?» — ведь вероятность, превосходящая половину, означает, что событие скорее произойдет, чем нет. Паскаль получил правильный ответ: требуется 25 бросаний. Если шевалье ставил на выпадение двух шестерок за 24 бросания, то следовало ожидать, что он потеряет деньги, но после 25 бросаний шансы начинают склоняться в его сторону, и он может рассчитывать на выигрыш.

Второй вопрос де Мэрэ — о разделении денег, стоящих на кону, — часто называют задачей о разделе ставки, и вопрос этот ставился и до того, как за него взялись Ферма и Паскаль, но правильного решения никто не нашел. Переформулируем сначала этот вопрос в терминах орлов и решек. Жан выигрывает каждый раунд, когда монета падает орлом, а Жак — когда решкой. Первый из игроков, победивший в трех раундах, забирает стоящие на кону деньги в размере 64 франков. Пусть теперь в тот момент, когда счет 2:1 в пользу Жана (два орла и одна решка), игру приходится внезапно прервать. Если такое случилось, то как самым справедливым образом поделить банк? Один возможный ответ такой: деньги должен забрать Жан, потому что он лидирует; однако при этом не учитывается, что и у Жака есть шанс выиграть. А вот другой возможный ответ: Жан должен получить вдвое больше, чем Жак; но и это не вполне справедливо, потому что счет 2:1 отражает лишь прошлые события и никоим образом не говорит о том, что случится в будущем. Способности Жана к угадыванию ничем не превосходят способности Жака. Каждый раз, когда они бросают кости, имеются шансы 50:50, что монета ляжет орлом или решкой. Наилучший — и самый справедливый — анализ состоит в том, чтобы рассмотреть, что может произойти в будущем. Если монету бросают еще два раза, то вероятные исходы таковы:

После этих двух подбрасываний монеты игра непременно закончится чьей-то победой. В первых трех случаях побеждает Жан, а в четвертом — Жак. Самый справедливый способ поделить банк — это отдать 3/4 Жану и 1/4 Жаку, то есть 48 франков — Жану, и 16 — Жаку. Теперь это кажется простым, но в XVII столетии сама мысль о том, что случайные события, которые еще не произошли, можно анализировать математически, представляла собой мощный концептуальный прорыв. Именно эта концепция лежит в основе нашего научного понимания значительной части современного мира, от физики до финансов и от медицины до маркетинговых исследований.

Через несколько месяцев после того, как он отправил письмо Ферма, Паскаль пережил мистический транс. Придя в себя, он записал свои мысли на листке бумаги, который затем постоянно носил с собой в специальном кармашке, вшитом в подкладку камзола[54]. Быть может, это была реакция на страх близкой смерти — после случая, когда его карета лишь чудом удержалась на мосту, в то время как передние лошади уже сорвались за парапет, — а может, это была эмоциональная реакция на упадок игорных заведений в предреволюционной Франции — но, как бы то ни было, в Паскале ожила его тяга к идеям янсенизма[55], строгому варианту католицизма, и он забросил математику, сосредоточившись на теологии и философии.

Несмотря на благочестивые намерения Паскаля, его наследие оказалось в большей степени мирским, чем духовным. Теория вероятностей — основа невероятно доходной игорной индустрии. Некоторые историки даже приписывают Паскалю изобретение рулетки. Правда это или нет, но колесо рулетки, несомненно, имеет французское происхождение[56]. К концу XVIII века рулетка стала одним из самых популярных развлечений парижан. Правила игры таковы: шарик запускается по внешнему ободу рулетки в сторону, противоположную вращению внутреннего колеса. Он должен свалиться в одну из 38 ячеек, расположенных на колесе. Ячейки пронумерованы от 1 до 36 и окрашены в чередующиеся красный и черный цвета. Есть также две дополнительные ячейки 0 и 00, они зеленого цвета. Игрокам предлагается делать ставки, предсказывая, куда попадет шарик. Самая простая ставка — на то, что шарик остановится на некотором определенном числе. Если число это угадано правильно, заведение платит игроку выигрыш, в 35 раз превышающий его ставку. Так, ставка в 10 долларов принесет вам 350 долларов (и вам еще вернут и вашу поставленную на кон десятку).

Рулетка — очень эффективная машина по производству денег, и, чтобы увидеть, почему это так, нам следует познакомиться с новой концепцией — математического ожидания. Это то, чего вы можете ожидать в качестве исхода сделанной ставки. Например, какой выигрыш я могу ожидать, если я поставил на определенное число? Математическое ожидание вычисляется путем умножения вероятности каждого исхода на цену этого исхода и суммирования всех полученных произведений. При ставке на конкретное число вероятность выигрыша равна 1/38, поскольку имеется 38 потенциально возможных исходов. Поэтому, ставя 10 долларов на любое конкретное число, я предполагаю выиграть следующую сумму (деньги, которые на самом деле выигрываются, берутся со знаком плюс, а те, что оказываются проигранными, — со знаком минус):

(вероятность остановки на данном числе) × (соотв. выигрыш) + (вероятность остановки на другом числе) × (соотв. выигрыш),

что есть

(1/38 × $350) + (37/38 × -$10) = -52,6 цента.

Другими словами, я ничего не выигрываю. Ожидаемым результатом является проигрыш в 52,6 цента на каждые 10 поставленных долларов. Разумеется, сделав одну ставку, я никогда не проиграю 52,6 цента. Я или выиграю 350 долларов, или проиграю 10. Значение -52,6 цента — теоретическое, но в среднем, если я буду продолжать делать ставки, мои потери будут близки к 52,6 цента на ставку. Иногда я буду выигрывать, а иногда проигрывать, но если играть в рулетку долго, продолжая ставить на число, то гарантировано, что в результате у меня окажется меньше, а у заведения, наоборот, больше денег, чем вначале.