Синергетика. Основы методологии - Г. Басина

В настоящее время бурно развивается теория «странных» непериодических аттракторов, породившая новую терминологию: каскад бифуркаций, числа Фейгенбаума, фрактальная геометрия, множество Мандельброта, показатели Ляпунова.

Рассматриваются различные сценарии перехода от регулярного движения системы к детерминированному хаосу:

1. через каскад бифуркаций удвоения периода устойчивых циклов Фейгенбаума;

2. через разрушение неустойчивого трёхмерного тора с образованием странного аттрактора по сценарию Рюэля-Такенса;

3. через явление перемежаемости (сценарий Помо-Маннервиля).

Разработаны математические методы и алгоритмы, позволяющие говорить о становлении нового направления науки, которое в настоящее время называется «теорией детерминированного хаоса», и применять их при исследовании тех объектов, которые могут быть описаны с помощью математических моделей динамических систем.

Н. А. Магницким и С. В. Сидоровым предложена новая теория динамического хаоса в нелинейных диссипативных системах, утверждающая существование единственного универсального сценария перехода к хаосу и рождения сингулярных аттракторов в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений.

Особо следует выделить анализ эргодических свойств динамической системы, указывающих на возможность неоднозначного предсказания её будущего поведения даже для случая динамических систем, описываемых детерминированными уравнениями.

Глава 4. Анализ поля системы

Всякая самоорганизующаяся система является открытой системой, обменивающейся с окружающей средой (полем) материей, энергией и информацией. Этот обмен может происходить непрерывно и дискретно. Взаимодействие с внешней средой может способствовать как сохранению структуры, так и её разрушению. Поэтому адекватное и полное описание самоорганизующихся систем возможно лишь совместно с окружающей средой — полем, в котором существует система.

Поле системы может также рассматриваться как новая система. В частности, для него может быть выбран параметр целого и выполнен эмпирический анализ его динамического изменения от времени. Поле может во многих случаях определять управляющие параметры системы.

Введение при анализе взаимодействия системы и поля времени как основного параметра позволяет обратить внимание на одну очень важную особенность взаимодействия структуры и ее поля — на волновой характер выделяемых нами из окружающей природы структур.

Более детальное качественное и количественное исследование полей в большинстве случаев, в отличие от исследования отдельной структуры или системы должно проводиться не в рамках конечномерных, а в рамках континуальных моделей, то есть для описания поля должен быть использован глубоко развитый аппарат линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и связанных с ними бесконечномерных математических групп преобразований, а также конечно-разностных систем уравнений.

Однако прямое получение решений этих уравнений для данной конкретной системы на первом этапе исследований во многих случаях оказывается нецелесообразным, а иногда и невозможным, ввиду трудностей, связанных с построением системы дифференциальных уравнений или конечноразностных итерационных процессов.

Более адекватным является использование качественных методов, которые, в частности, включают классификацию волновых структур, порождаемых континуальными полями.

Нами предложена классификация волновых движений, структур и систем, опирающаяся на их общие волновые свойства, в рамках которой удалось проследить за характером влияния нелинейности на переход классических линейных волновых движений в динамические структуры и сложные самоорганизующиеся транспортно-информационные системы.

Классификация проводится по трём параметрам.

Классификация по типу:

1. Обобщённые волны, представляющие собой классы идентичных или почти идентичных объектов (квантов).

2. Вероятностные волны, характеризующие изменение плотности вероятности отыскания системы или структуры в одном из возможных для неё состояний из континуума возможных состояний системы.

3. Классические волны в сплошной среде, характеризующие изменение во времени и пространстве плотности какого-либо параметра или связанной между собой совокупности параметров сплошной среды.

Классификация по характеру взаимодействия с другими системами, аналогичная классификации конечномерных динамических систем

1. Свободные (собственные) волны.

2. Вынужденные волны.

3. Автоволны.

Классификация по степени нелинейности

1. В качестве первого класса рассматриваются все волны относительно малой амплитуды, математическое описание которых может быть дано в виде совокупности решений линейных волновых уравнений в частных производных.

2. Ко второму классу, названному нами умеренно-нелинейными волнами, отнесены различные формы ударных волн в сплошных средах, солитоны, а также скачки тех или иных параметров в однородной среде и границы раздела сред. В качестве подкласса данного класса могут быть рассмотрены диссипативные континуальные структуры и структуры, формируемые в результате возникновения режимов с обострением.

3. К третьему классу, названному вихревыми ударными волнами, отнесены вихревые структуры, формируемые вследствие пространственной потери устойчивости фронта и формы умеренно нелинейных волн.

4. К четвертому классу, названному грибовидными структурами, отнесены структуры мультипольной природы, формирующиеся из вихревых структур и вторичных умеренно-нелинейных волн — вихревых пелен. Различные модификации и комбинации структур такого типа составляют основу практически всех объектов живой и неживой природы.

5. К пятому классу отнесены структуры, названные нами древовидными, бифуркационная динамика которых может быть описана методами математической теории сетей и графов, в частности при помощи теории математических деревьев.

6. К шестому классу мы отнесли сложные самоорганизующиеся системы, названные нами транспортно-информационными, и являющиеся, в основном, результатом трансформации и взаимодействия грибовидных и древовидных структур и волн более низких классов.

Несмотря на то, что четвертый, пятый и шестой классы структур и систем встречаются и в неживой природе, наиболее широко они распространены в биологических объектах. Поэтому общие закономерности их динамики оказываются важными не только для физики и химии, но и, главным образом, для биологии и наук о человеке и обществе.

Изучаемая структура или система и её поле на этом этапе исследований должна быть отнесена к тому или иному классу.

Предложенная классификация позволила объяснить ряд новых физических явлений, обнаруженных при исследовании взаимодействия сложных систем и их полей, как резонансное волновое взаимодействие вихревых и грибовидных структур между собой или с волновыми структурами поля, в результате которого возникают новые аномальные явления и формируются новые структуры и системы.

В последние годы было открыто и широко исследовано резонансное взаимодействие поверхностных и внутренних гравитационных волновых движений в стратифицированной жидкости или газе.

Нами была высказана гипотеза о возможности возникновения аналогичных резонансных явлений также при взаимодействии свободных вихрей и вихревых структур, а также каверн и отрывных зон, формирующихся при движении тел в неоднородной сплошной среде (поле), с диспергирующими внутренними волнами и другими типами волновых движений, а также при взаимодействии волновых структур различных классов между собой.

При теоретическом обосновании предложенной гипотезы была использована изложенная выше классификация волн, вихрей, структур и систем, на основании которой были определены необходимые условия резонанса, названного нами вихре-волновым (или структурно-волновым), состоящие в том, что скорости и размеры взаимодействующих структур должны быть близки. Теоретические расчеты и экспериментальные исследования частных проявлений вихре-волнового резонанса подтвердили высказанную гипотезу.

Экспериментально и теоретически вихре — волновой резонанс исследовался при движении в неоднородной среде несимметрично обтекаемых тел — крыльев. В этом случае возникают две вихре — волновые структуры:

а) вихревой пограничный слой на поверхности крыла и вихревой след за ним;

б) диспергирующие поверхностные и внутренние волны в неоднородной среде.