Мир математики. т.2. Математики, шпионы и хакеры. Кодирование и криптография - Жуан Гомес

Для О: х = 14, С-1(14) = 14 — 3  11 (mod 26), что соответствует букве L.

Для D: х = 3, С-1(3) = 3–3  0 (mod 26), что соответствует букве А.

Для В: x = 1, С-1(1) = 1–3 = —2 + 26  24 (mod 26), что соответствует букве Y.

Сообщение SODB, зашифрованное шифром Цезаря с ключом 3, соответствует, как мы уже знаем, оригинальному тексту PLAY.

В заключении нашего первого знакомства с математикой криптографии мы рассмотрим новое преобразование, известное как аффинный шифр, частным случаемкоторого является шифр Цезаря. Оно определяется следующим образом:

С(a,Ь)(x) = (а∙х + b) (mod n),

где а и b — два целых числа, меньших, чем число (n) букв в алфавите. Наибольший общий делитель (НОД) чисел а и n должен быть равен 1 [НОД (а, n) = 1], потому что иначе, как мы увидим позже, получится несколько возможностей для шифрования одной и той же буквы. Ключ шифра определяется парой (а, Ь). Шифр Цезаря с ключом 3 является, следовательно, аффинным шифром со значениями

а = 1 и b = 3.

Обобщенный аффинный шифр имеет более высокий уровень безопасности, чем обычный шифр Цезаря. Почему? Как мы видели, ключом аффинного шифра является пара чисел (а, b). Если сообщение написано с использованием алфавита из 26 букв и зашифровано с помощью аффинного шифра, то и а, и b могут принимать любые значения от 0 до 25. Таким образом, в этой системе шифрования с алфавитом из 26 букв возможное количество ключей составит 25 х 25 = 625. Заметим, что количество ключей для алфавита из n букв в n раз больше, чем в шифре Цезаря.

Это значительное улучшение, но аффинный шифр все еще возможно расшифровать методом перебора всех возможных вариантов.

* * *

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ (НОД)

Наибольший общий делитель двух чисел может быть найден с помощью алгоритма Евклида. Этот алгоритм заключается в делении одного числа на другое, а затем проведении последовательных делений предыдущего делителя на новый остаток. Процесс заканчивается, когда остаток равен 0. Делитель последней операции деления и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

Например, найдем НОД (48,30).

Разделим 48 на 30, получим остаток 18 и частное 1.

Разделим 30 на 18, получим остаток 12 и частное 1.

Разделим 18 на 12, получим остаток 6 и частное 1.

Разделим 12 на 6, получим остаток 0 и частное 2.

Мы закончили алгоритм.

НОД (48,30) = 6.

Если НОД (а, n) = 1, мы говорим, что а и n взаимно просты.

Соотношение Везу, имеющее большое значение в криптографии, устанавливает следующий факт: для двух целых чисел а и n, больших нуля, существуют целые числа k и q, такие что НОД (а, n) = kа + nq.

При каких условиях сообщение, зашифрованное аффинным шифром, может расшифровать предполагаемый получатель или шпион? Мы ответим на этот вопрос, используя простой пример шифра для алфавита из шести букв:

Текст будет зашифрован с помощью аффинного шифра C(x) = 2x + 1 (mod 6).

Буква А зашифрована по формуле С(0) = 2 х 0 + 1  1 (mod 6), что соответствует букве В.

Буква В зашифрована по формуле C(1) = 2 x 1 + 1  3 (mod 6), что соответствует букве D.

Буква С зашифрована по формуле С(2) = 2 х 2 + 1  5 (mod 6), что соответствует букве F.

Буква D зашифрована по формуле С(3) = 2 х З + 1 = 7  1 (mod 6), что соответствует букве В.

Буква Е зашифрована по формуле С(4) = 2 х 4 + 1 = 9  3 (mod 6), что соответствует букве D.

Буква F зашифрована по формуле С(5) = 2 х 5 + 1 = 11  5 (mod 6), что соответствует букве F.

Предлагаемый аффинный шифр преобразует сообщения АВС и DEF в одно и то же BDF, поэтому исходное сообщение теряется. Что же случилось?

Если мы работаем с шифром, выраженным формулой С(а, b)(х) = (а∙х + b) (mod n), мы можем расшифровать сообщение однозначно, только когда НОД (а, n) = 1. В нашем примере НОД (2, 6) = 2 и, следовательно, не удовлетворяет этому условию.

Математическая операция расшифровки эквивалентна нахождению неизвестного х при данном значении у по модулю n.

С(а, b)(х) = (ах + b) = y (mod n)

(ах + b) = у (mod n)

ах — у — b (mod n)

Другими словами, нам нужно найти значение а-1 (обратное значению а), удовлетворяющее равенству а-1а = 1, так что

а-1ах = а-1х(у — b)(mod n)

х = а-1(у — b)(mod n).

Следовательно, для успешной расшифровки мы должны найти число, обратное числу а по модулю n, и, чтобы не тратить зря время, мы должны заранее знать, существует ли это обратное число.

В случае аффинного шифра С(а, b)(х) = (ах + b) (mod n) обратное значение числа а будет существовать тогда и только тогда, когда НОД (а, n) = 1.

В случае аффинного шифра в нашем примере, С(х) = 2х + 1 (mod 6), мы хотим узнать, существует ли обратное значение для числа а, в нашем случае для числа 2.

То есть существует ли целое число n, которое меньше 6 и удовлетворяет выражению 2∙n = 1 (mod 6). Для ответа на этот вопрос мы подставим в данное выражение все возможные значения (0, 1, 2, 3, 4, 5):

2-0 = 0, 2–1 = 2, 2–2 = 4, 2–3 = 6  0, 2–4 = 8  2, 2–5 = 10  4.

Нет такого значения, следовательно, можно заключить, что 2 не имеет обратного числа. На самом деле мы это уже знали, так как НОД (2,6)  1.

Предположим теперь, что мы перехватили зашифрованное сообщение: YSFMG. Мы знаем, что оно было зашифровано аффинным шифром вида С(х) = 2х + 3 и изначально было написано на испанском языке с алфавитом из 27 букв (включая букву N, идущую после обычной N).

Как получить исходное сообщение?

Сначала мы посчитаем НОД (2,27), который равен 1. Значит, сообщение можно расшифровать! Для этого для функции С(х) = 2х + 3 мы должны найти обратную функцию по модулю 27:

у = 2х + 3

2х = у — 3.

Чтобы найти x, мы должны умножить обе части уравнения на число, обратное 2.

Число, обратное числу 2 по модулю 27, — это целое число n такое, что 2n  1 (mod 27), а именно 14. И действительно:

14∙2 = 28  1.

Итак, мы имеем

x = 14∙(у — 3).

Теперь мы можем расшифровать сообщение YSFMG.

Буква Y стоит на позиции 25, ей соответствует расшифрованная буква, стоящая на позиции

14∙(25—3) = 308  11 (mod 27).

Буква, стоящая в алфавите на позиции 11, — это L.

Для буквы S имеем 14∙(19—3) = 224  8 (mod 27), эта позиция соответствует букве I.

Для буквы F имеем 14∙(5–3) = 28  1 (mod 27), что соответствует букве В.

Для буквы М имеем 14∙(12—3) = 126  18 (mod 27), что соответствует букве R.

Для буквы G имеем 14∙(6–3) = 42  15 (mod 27), что соответствует букве О.

Расшифрованное сообщение является испанским словом LIBRO, что означает «книга».

Различные системы безопасности на протяжении многих веков использовали идею Цезаря и ее обобщение в виде аффинного шифра. В настоящее время любой шифр, в котором каждая буква исходного сообщения заменяется на другую букву, сдвинутую на фиксированное число позиций (не обязательно три), называется шифром Цезаря.

Одним из существенных достоинств хорошего алгоритма шифрования является способность генерировать большое количество ключей. И шифр Цезаря, и аффинный шифр уязвимы для криптоанализа, поскольку максимальное количество ключей ограничено.

Если мы снимем какие-либо ограничения относительно порядка букв шифроалфавита, то потенциальное количество ключей резко возрастет. Количество ключей для стандартного алфавита из 26 символов (расположенных в произвольном порядке) составляет 26! = 403291461126605635584000000, то есть более 403 септиллионов ключей. Криптоаналитику, который тратит на проверку одного ключа всего лишь одну секунду, потребуется в миллиард раз больше времени, чем ожидаемое время существования Вселенной, чтобы исчерпать все возможности!