Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Тем не менее канторовская теория бесконечных множеств вызвала бурю протестов. Несмотря на то что эта теория нашла, как уже говорилось, применение во многих областях математики, некоторые ученые по-прежнему отказывались принимать актуально бесконечные множества и все, что с ними связано. Леопольд Кронекер, испытывавший к тому же личную антипатию к Кантору, называл того шарлатаном. Анри Пуанкаре называл теорию множеств тяжелой болезнью и считал ее своего рода математической патологией. «Грядущие поколения, — заявил он в 1908 г., — будут рассматривать теорию множеств как болезнь, от которой они излечились». Даже в 20-х годах XX в. многие математики стремились избегать использования трансфинитных чисел (гл. X). Кантор выступил в защиту своей теории. Он утверждал, что разделяет философию Платона и верит, что в окружающем нас мире идеи существуют независимо от человека. И чтобы осознать реальность этих идей, необходимо лишь задуматься над ними. Парируя критические замечания философов, Кантор приводил метафизические и даже богословские доводы.{101}

К счастью, у теории Кантора были не только противники, но и сторонники. Рассел назвал Кантора одним из великих мыслителей XIX в. В 1910 г. Рассел писал: «Решение проблем, издавна окутывавших тайной математическую бесконечность, является, вероятно, величайшим достижением, которым должен гордиться наш век». Расселу вторил Гильберт: «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором». В 1926 г. Гильберт так отозвался о трудах Кантора: «Мне представляется, что это самый восхитительный цветок математической мысли и одно из величайших достижений человеческой деятельности в сфере чистого мышления».

Причину споров, которые породила теория множеств, очень тонко и точно охарактеризовал Феликс Хаусдорф в «Основаниях теории множеств» (1914).{102} Теорию множеств он метко назвал «областью, где ничто не является очевидным, где истинные утверждения нередко звучат парадоксально, а правдоподобные зачастую оказываются ложными».

Большинство математиков были обеспокоены вытекавшими из теории Кантора следствиями по совершенно иной причине, нежели приемлемость или неприемлемость бесконечных множеств различной мощности. Противоречия, вскрытые Кантором при попытке сопоставить (трансфинитное) число множеству всех множеств и множеству всех ординальных чисел, заставили математиков осознать, что они используют аналогичные понятия не только в новых, но и в, казалось бы, хорошо обоснованных традиционных областях математики. Обнаруженные противоречия математики предпочитали называть парадоксами, так как парадокс может быть объяснен, а математиков не покидала надежда, что все встретившиеся трудности им в конце концов удастся разрешить. (В наше время то, что раньше называли парадоксами, чаще называют «антиномии».)

Приведем некоторые из парадоксов. Нематематическим примером парадоксов теории множеств может служить высказывание «Из всех правил имеются исключения». Само это высказывание является правилом. Следовательно, для него можно найти по крайней мере одно исключение. Но это означает, что существует правило, не имеющее ни одного исключения. Такого рода высказывания содержат ссылку на самих себя и отрицают самих себя.

Наибольшей известностью из нематематических парадоксов пользуется так называемый парадокс лжеца. Его разбирали Аристотель и многие другие логики, жившие позднее. В классическом варианте парадокса лжеца речь идет о высказывании «Это утверждение ложно». Обозначим предложение, стоящее в кавычках, через S. Если S истинно, то истинно то, что оно утверждает. Следовательно, S ложно. Если S ложно, то ложно то, что оно утверждает. Следовательно, S истинно.

Парадокс лжеца существует во многих вариантах. Например, комментируя какое-то свое высказывание, человек может заметить: «Все, что я говорю, — ложь». Является ли высказывание «Все, что я говорю, — ложь» истинным или ложным? Если человек действительно лжет, то, утверждая, что он лжет, он говорит правду, а если человек говорит правду, то, утверждая, что он лжет, он действительно лжет. В некоторых вариантах парадокса лжеца ссылка на себя менее очевидна. Так, два высказывания: «Следующее за этим утверждение ложно», «предыдущее утверждение истинно» — содержат противоречие, так как если второе утверждение истинно, то тогда заведомо ложно первое утверждение, сообщающее нам о том, что второе утверждение ложно. Если же второе утверждение, как и говорится в первом утверждении, ложно, то значит, первое утверждение ложно и, следовательно, второе утверждение должно быть истинным.

Курту Гёделю (1906-1978), величайшему логику XX в., принадлежит несколько иной вариант парадокса с противоречивыми высказываниями, 4 мая 1934 г. A произносит единственную фразу: «Любое высказывание, которое A сделает 4 мая 1934 г., ложно». Это высказывание не может быть истинным, так как утверждает о самом себе, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, так как, для того чтобы оно было ложным, A должен был бы высказать 4 мая 1934 г. хоть одну истину, — а A сказал в этот день лишь одну фразу.

Первые математические противоречия, чреватые серьезными неприятностями, обнаружил Бертран Рассел и сообщил о них Готлобу Фреге в 1902 г. Фреге в то время занимался подготовкой к печати второго тома «Основных законов арифметики», в котором изложил новый подход к обоснованию числовой системы. (Подробнее о развитом Фреге подходе мы расскажем в следующей главе.) Свой подход Фреге в значительной мере основывал на теории множеств, или классов, — той самой теории, где Рассел обнаружил противоречие, о котором сообщил в письме Фреге и поведал математическому миру в книге «Принципы математики» (1903). Рассел занимался изучением парадокса Кантора о множестве всех множеств — и предложил свой вариант этого парадокса.

Парадокс Рассела относится к классам. Класс книг не является книгой и поэтому не содержит самого себя, но класс идей есть идея и содержит сам себя. Каталог каталогов — каталог. Следовательно, одни классы содержат (или включают) самих себя, другие не содержат. Пусть N — класс классов, не содержащих самих себя. К какой разновидности классов принадлежит N? Если N принадлежит N, то, по определению, N не должен принадлежать N. Если же N не принадлежит N, то по определению N должен принадлежать N. Когда Рассел впервые открыл это противоречие, он решил, что трудность здесь кроется в логике, а не в самой математике. Но обнаруженное противоречие ставит под удар само понятие множества, или класса объектов, широко используемое во всей математике. По словам Гильберта, парадокс Рассела был воспринят математическим миром как катастрофа.

В 1918 г. Рассел предложил популярный вариант своей антиномии, получивший название парадокс брадобрея. Один деревенский брадобрей объявил, что он бреет всех жителей деревни, которые не бреются сами, но, разумеется, не бреет тех жителей, которые бреются сами. Брадобрей похвалялся, что в парикмахерском деле ему нет равных, но однажды задумался над вопросом, должен ли он брить самого себя. Если он не бреется сам, то первая половина его утверждения (а именно та, в которой говорится, что брадобрей бреет всех, кто не бреется сам) требует, чтобы он самого себя брил. Но если брадобрей бреется сам, то вторая половина его утверждения (та, в которой говорится, что всех тех, кто бреется сам, он не бреет), требует, чтобы он самого себя не брил. Таким образом, брадобрей оказался в безвыходном положении — он не мог ни брить себя, ни не брить.

Другой парадокс, дающий представление о тех трудностях, с которыми столкнулись математики, был впервые сформулирован в 1908 г. математиками Куртом Греллингом (1886-1941) и Леонардом Нельсоном (1882-1927). Этот парадокс относится к прилагательным, описывающим самих себя и не описывающим самих себя. Такие прилагательные, как, например, «короткий» (-ая, -ое, -ие) или «русский» (-ая, -ое, -ие) описывают самих себя, т.е. применимы к себе, в то время как прилагательные «длинный» или «французский» к себе неприменимы (ведь прилагательное «длинный» вовсе не является длинным, а прилагательное «французский», конечно, русское, а не французское). Аналогично прилагательное «многосложное» является многосложным, но прилагательное «односложное» односложным не является. Назовем прилагательные, применимые к самим себе, автологическими, а прилагательные, неприменимые к самим себе, — гетерологическими. Если прилагательное «гетерологический» гетерологично, то оно применимо к самому себе и, следовательно, автологично. Если прилагательное «гетерологический» автологично, то оно не гетерологично. Но автологичное прилагательное по определению применимо к самому себе. Следовательно, прилагательное «гетерологический» гетерологично. Таким образом, какое бы допущение мы ни приняли, оно неизменно приводит к противоречию. В символической записи парадокс Греллинга — Нельсона гласит: x гетерологичен, если x есть «не x».