Геометрия, динамика, вселенная - Иосиф Розенталь

После этих предварительных замечаний целесообразно перейти к изложению основных идей геометрии расслоенных пространств. Начнем с представления основных образов (картин) расслоенных пространств.

Первый связан с обобщением понятия точки. Точка в расслоенном пространстве эквивалентна автономному пространству. Иначе говоря, можно наглядно представить, что точка в расслоенном пространстве эквивалентна точке в смысле Евклида (объект, лишенный протяжения), к которой «прикреплено» (или лучше: которой соответствует) свое пространство. Можно представить расслоенное пространство в целом. Оно представляет совокупность большого числа (как правило, бесконечного множества) пространств, из которых одно, называемое базой, играет особую роль. Каждая точка этого пространства взаимно однозначно связана со своим пространством, называемым слоем над базой. Каждой точке в базе соответствует свое пространство (слой), отражающий структуру точки.

Приведем некоторые простейшие примеры расслоенных пространств. Пусть база — прямая, т. е. евклидово одномерное

1 пространство' R|. Каждой точке базы — прямой — соответствует

1 окружность S|, расположенная в плоскости, перпендикулярной базе, центром которой является данная точка базы. Радиусы всех окружностей одинаковы. Расслоенное пространство определено однозначно. В данном случае размерности слоев и базы одинаковы и равны 1. Полное расслоение пространства представляет цилиндр и его ось.

------------------------------' Символом R часто обозначают риманово пространство, частным случаем которого является пространство Евклида. Индекс вверху обозначает размерность пространства. Символ S

1 соответствует сферическим пространствам: S| — окружность,

2 S| — двумерная сфера и т. д. —----------------------------

Можно привести пример расслоенного пространства, в котором размерности базы и слоев различны. Пусть база

3 трехмерное евклидово пространство R|, а слои — двумерные

2 сферы S|.

Подчеркнем принципиальную разницу между обоими примерами. В первом случае и слой и база — одномерные фигуры. Полное расслоенное пространство — фигура трехмерная (цилиндр+прямая), и ее нетрудно вообразить воочию.

Второй пример расслоенного пространства не поддается такой наглядной интерпретации. Каждый его элемент — сфера с точкой базы в центре. Однако совокупное расслоенное пространство имеет пять измерений. Представление о нем как о множестве сфер, расположенных в трехмерном пространстве, неправильно. Слои-сферы находятся в дополнительных измерениях, и поэтому расслоенное пространство в целом нельзя изобразить адекватно на бумажном листе. Представление пространства доступно лишь с помощью аналитических методов.

≡=РИС. 1

≡=РИС. 2

В простейшем случае точки базы и слоев — действительные числа. Можно представить, что пространство слоев состоит из точек — мнимых чисел. Например, можно представить себе слой в виде сферы, каждая точка которого — мнимое число.

Приведем еще один пример. База — круг радиуса r (рис. 1). Над базой находится цилиндрический объем, ось которого проходит через центр базового круга перпендикулярно плоскости, в которой он расположен. В данном случае слоями являются прямые, расположенные внутри цилиндра, перпендикулярные основанию. Например, слою aa| соответствует

1 точка; слою bb| — точка B.

1

Во всех приведенных примерах все слои одинаковы. От замены одного слоя на другой геометрия расслоенного пространства не изменится. Такой простейший случай называется простым произведением пространства базы на пространство слоя. Например, первое из приведенных выше

1 1 2 2 пространств обозначается R| x S|; второе — R| x S| и т. д.

Возникает вопрос: как математически определить те простейшие расслоения, о которых шла речь выше. До сих пор мы рассматривали примитивные расслоенные пространства простые произведения. Существуют и менее тривиальные произведения.

Как уже упоминалось, наглядно можно представить лишь расслоенные пространства малой размерности (полная размерность N≤3).

1 1

Вначале рассмотрим простейшее расслоение R| x S|.

1 Допустим, что слой — окружность S| — находится в плоскости,

1 перпендикулярной базе — прямой R|. Радиус всех слоев положим для простоты равным 1, что не уменьшит общности рассмотрения, поскольку единицы измерения — в ведомстве физики, а не математики. Положение радиус-вектора из любой

1 1 точки прямой R| в соответствующую точку окружности S| будем характеризовать углом ALPHA, отсчитываемым от некоторой

1 прямой, перпендикулярной базе R|. В простейшем случае интервал определяется соотношением ds**2 = dx**2 + d ALPHA**2. В более общем случае n-мерного

n 1 евклидова пространства со слоем S| (R| x S|) метрику можно

1 записать в виде матрицы:

! SIGM|| 0!

! ik! g|| =!! (10)

юv!!

! 0 1!

i,k = 1,2….,n; ю, v = 1,2….,n+1=N; SIGM|| = 1 при i=k;

ik

n

— SIGM|| = 0 при i ≠ k; ds**2 = > dx|**2 + d ALPHA**2.

ik — i

i=1

Такую простую форму интервал имеет при специальном выборе системы координат (смешанная система: n координат декартовы, а (n+1) — я описывается в одномерной сферической системе). Разумеется, в общем случае метрика имеет более сложный вид. Однако в одном важном для нас частном случае,

1 когда окружность S| описывается в комплексной плоскости, соотношение (10) сохраняется. Этот вывод следует из двух фактов, лежащих в основе теории комплексных чисел:

iA 1) функция f(ALPHA) = e|| описывает в комплексной плоскости окружность с радиусом, равным единице, и 2) модуль функции

* f(ALPHA) равен единице: f| (ALPHA) * f (ALPHA) = 1.

Приведем пример нетривиального трехмерного расслоения. С этой целью рассмотрим аналог рис. 1. Рассмотрим вначале

1 простое произведение окружности S| на цилиндрическую поверхность, которую можно получить путем простого склеивания прямоугольной полоски бумаги так, чтобы краевые

1 1 точки A и B, A| и B| совпали (рис. 2,а). Однако можно полоску

1 перекрутить так, чтобы точка A совпала бы с точкой B|, а

1 точка B — с точкой A| (рис. 2,б). В результате получается поверхность, называемая листом Мёбиуса. Такая поверхность может быть совокупностью слоев над базой — окружностью. Однако ясно, что при перемещении вдоль окружности-базы слои утрачивают свое равноправие. Так, слой AB остался неизменным: он перпендикулярен плоскости, в которой находится окружность. Другие же слои повернулись на некоторый угол, который зависит от от расстояния от линии AB. В общем случае расслоенное пространство — сравнительно сложная конструкция. Мало задать пространство базы и пространство слоев. Нужно еще и зафиксировать отношения между ними. Идея определения этого отношения заимствована из дифференциальной геометрии, где эта идея — лишь одна из возможностей измерения отклонения пространства от евклидова. Для расслоенных пространств общего вида описанный ниже метод, пожалуй, основной.

Ранее мы упоминали, что искривленное пространство характеризуется различными величинами: отклонением суммы углов треугольника от π (неевклидовость), отличием метрики пространства от евклидовой метрики и, наконец, кривизной пространства. Однако существует сравнительно наглядная характеристика искривленности, называемая связностью. Для обычного (нерасслоенного) пространства связность определяется совокупностью углов между данным малым линейным элементом поверхности и всеми соседними малыми элементами.

Чтобы сделать это наглядное определение математически более строгим, необходимо сформулировать общее правило параллельного переноса векторов.

В евклидовой геометрии параллельный перенос отрезка прямой линии — стандартная операция с достаточно очевидным результатом. Если переносить этот отрезок параллельно самому себе вдоль замкнутого контура, то в результате полного обхода контура конечная прямая совпадет с первичной. Однако такой результат неочевиден (и даже неверен) для кривой поверхности.

Чтобы понять дальнейшие рассуждения, следует сделать некоторое усилие и отрешиться от привычных и наглядных представлений о параллельных в евклидовом пространстве.

Прежде всего определим для кривой поверхности однозначный аналог прямой между двумя точками. Уже упоминалось, что в общем случае этого требования недостаточно для однозначного определения «прямой» между двумя точками. Оно оказывается достаточным, если обе точки расположены близко друг к другу. Тогда кратчайший отрезок, соединяющий обе точки, называется геодезической линией. Если нужно провести геодезическую линию (аналог прямой) для двух произвольных точек, то ее составляют из отрезков геодезических, соединяющих близкие точки.

Процедура параллельного переноса была предложена итальянским ученым Т.Леви-Чивита. возьмем на поверхности две