Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики - Пенроуз Роджер

Каким же образом можно наглядно изобразить комплексную функцию ψ ? Сделать это сразу для всего трехмерного пространства несколько затруднительно, поэтому мы немного упростим задачу и предположим, что наложенные связи позволяют частице двигаться только вдоль одномерной линии — например, оси х обычной (декартовой) системы координат. Если бы функция ψ была вещественной, то мы могли бы представить себе ось y, перпендикулярную оси х, и построить график функции ψ (рис. 6.10а).

Рис. 6.10.а) График действительной функции действительной переменной х

Но в данном случае для изображения значения комплексной функции ψ нам требуется «комплексная ось у» — плоскость Аргана. Для этой цели вообразим, что мы можем использовать два других пространственных измерения: например, у-направление в качестве действительной оси плоскости Аргана, а z-направление — как мнимую ось. Для получения правильной картины волновой функции мы можем изобразить ψ (х) (значение функции в точке х) точкой на этой плоскости Аргана (т. е. на плоскости yz, проходящей через каждую точку оси х). Когда положение точки х изменяется, то изменяется также и положение точки на плоскости Аргана. При этом точка описывает некоторую кривую в пространстве, извивающуюся вокруг оси х (рис. 6.10 b).

Рис. 6.10.б) график комплексной функции V действительной переменной х

Назовем эту кривую ψ — кривой рассматриваемой частицы. Если бы мы поместили в некоторой точке х детектор, то вероятность обнаружить частицу в данной точке можно найти, вычислив квадрат модуля амплитуды ψ(х), т. е.

|ψ(x)|2

равный квадрату расстояния ψ-кривой от оси x[143].

Чтобы изобразить подобным образом волновую функцию, определенную на всем трехмерном физическом пространстве, понадобилось бы пять измерений: три — для физического пространства и два — для плоскости Аргана в каждой точке, в которой мы строим график функции ψ(х). Однако наша упрощенная картина еще нам пригодится. Если мы захотим изучить поведение волновой функции вдоль произвольного направления в физическом пространстве, то для этого необходимо просто выбрать ось х вдоль этой линии, а два других пространственных измерения временно использовать в качестве действительной и мнимой осей на плоскости Аргана. Этот способ поможет нашему осмыслению эксперимента с двумя щелями.

Как я упоминал выше, в классической физике для того, чтобы определить, что будет происходить дальше, необходимо знать скорость (или импульс) частицы. В квантовой механике нам представляется значительная экономия. Волновая функция ψ уже содержит различные амплитуды для различных возможных импульсов! (Кое-кто из недовольных читателей может возразить, что «самое время» говорить об экономии, если принять во внимание, как сильно нам пришлось усложнить простую классическую картину точечной частицы. Хотя я во многом согласен с таким читателем, я все же советую не отвергать те лакомые кусочки, которые ему преподносят, ибо худшее еще впереди!) Каким образом амплитуды скоростей определяются волновой функцией ψ? На самом же деле лучше думать в терминах амплитуд импульсов. (Напомним, что импульс, или количество движения, равен скорости, умноженной на массу частицы, см. гл.6 «Уравнение Шредингера; уравнение Дирака») Для этого следует применить к волновой функции ψ так называемый гармонический анализ. Подробно объяснять здесь, что это такое, было бы неуместно, скажу только, что он тесно связан с тем, что происходит с музыкальными звуками. Волну любой формы можно разложить в сумму различных «гармоник» (отсюда и термин «гармонический анализ»), которые представляют собой чистые тона различной высоты (т. е. с различными частотами). В случае волновой функции ψ «чистые тона» соответствуют различным возможным значениям импульса, которые может иметь частица, а величина вклада каждого «чистого тона» в ψ определяет амплитуду соответствующего значения импульса. Сами «чистые тона» называются импульсными состояниями.

Как выглядит импульсное состояние, представленное ψ — функцией? Оно похоже на кривую, напоминающую по форме штопор, официальное математическое название которой — винтовая линия (рис. 6.11)[144].

Рис. 6.11. Импульсное состояние имеет ψ-кривую в форме штопора

Штопоры с частыми витками соответствуют большим импульсам, а штопоры, которые едва вращаются, — очень малым импульсам. Существует предельный случай, когда ψ-кривая вообще не делает витков и вырождается в прямую в случае нулевого импульса. В поведении винтовой линии неявно скрыто знаменитое соотношение Планка. Так как энергия Е всегда пропорциональна частоте v (Е = hv), то частые витки означают короткую длину волны, большую частоту и, следовательно, большой импульс и высокую энергию, а редкие витки означают малую частоту и низкую энергию. Если плоскости Аргана ориентированы обычным способом (т. е. когда оси х, у, z образуют, как описано выше, правую тройку), то импульсы, направленные в положительном направлении оси х, соответствуют правым штопорам (которые обычно и используются).

Иногда квантовые состояния полезно описывать не в терминах обычных волновых функций, как это было сделано выше, а в терминах волновых функций импульсов. Это сводится к рассмотрению разложения волновой функции ψ по различным импульсным состояниям и построению новой функции ψ′, зависящей на этот раз не от положения х, а от импульса р; значение ψ′(p) при любом р задает величину вклада состояния с импульсом р в ψ-функцию. (Пространство величин р называется импульсным пространством.) Смысл ψ′ состоит в том, что при каждом конкретном выборе р комплексное число ψ′(р) задает амплитуду того, что частица имеет импульс р.

Существует математическое название для соотношения между функциями ψ и ψ′. Каждая из этих функций называется преобразованием Фурье другой — в честь французского инженера и математика Жозефа Фурье (1768–1830). Я ограничусь здесь лишь несколькими замечаниями по поводу преобразования Фурье. Первое замечание: между ψ и ψ′ существует замечательная симметрия. Чтобы перейти от ψ назад к ψ′, мы по существу прибегаем к той же процедуре, которую использовали при переходе от ψ к ψ′. Теперь ψ′ становится объектом гармонического анализа. «Чистые тона» (т. е. штопоры в пространстве импульсов) на этот раз называются конфигурационными состояниями. Каждое положение х определяет такой «чистый тон» в пространстве импульсов, а величина такого вклада «чистого тона» в ψ дает значение ψ(x).