Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Чтобы избежать неоднозначности языка и бессознательного использования интуитивных представлений, приводящих к одним парадоксам, исключить другие парадоксы и достичь строгости доказательств и объективности, Гильберт счел необходимым записать все утверждения логики и математики в символической форме. Хотя символы и могли иметь некоторое интуитивно воспринимаемое значение, в предложенной Гильбертом трактовке математики они не нуждались в интерпретации. Некоторые символы могли даже означать бесконечные множества, поскольку Гильберт намеревался включить их в свою теорию, но в таком случае они оказались бы лишенными интуитивного образа. Такие «идеальные элементы», как их называл Гильберт, необходимы для построения всей математики; поэтому их введение обоснованно, хотя сам Гильберт считал, что в реальном мире существует лишь конечное число объектов: материя состоит из конечного числа элементов.

Суть рассуждений Гильберта можно понять, если воспользоваться следующей аналогией. Иррациональное число лишено интуитивного смысла. Хотя мы можем построить отрезки, длины которых выражаются иррациональными числами, эти длины сами по себе еще не создают никакого интуитивного представления об иррациональных числах. Тем не менее иррациональные числа как идеальные элементы с необходимостью входят даже в элементарную математику. Именно поэтому математики и шли на использование иррациональных чисел, хотя те до 70-х годов XIX в. не имели логического обоснования. Гильберт занял аналогичную позицию в отношении комплексных чисел, т.е. чисел, содержащих выражение √−1. Комплексные числа не имеют прямых аналогов среди вещественных чисел, тем не менее они позволяют сформулировать некоторые общие теоремы, например теорему о том, что каждое алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней, и делают возможной теорию функций комплексного переменного, оказавшуюся необычайно полезной даже в физических исследованиях. Независимо от того, означают ли символы объекты, имеющие интуитивный смысл или лишенные его, все знаки и символы понятий и операций рассматриваются как чисто формальные элементы той системы, которую мы строим. По мнению Гильберта, при обосновании математики элементами математического мышления следует считать символы и высказывания, т.е. комбинации (или строки) символов. Формалисты надеялись «купить» определенность за подходящую цену, и этой ценой было манипулирование символами, лишенными всякого смысла.

К счастью, символика логики была разработана в конце XIX — начале XX вв. (гл. VIII), поэтому у Гильберта с самого начала было под рукой все необходимое. В частности, он располагал такими символами, как — ~ (не), ∙ (и), / (или),  (следует),  (существует). Все они были первичными, или неопределяемыми, понятиями. Что же касается самой математики, то для нее символические обозначения были разработаны давно.

По замыслу Гильберта из выбранных им аксиом логики должны были следовать все законы логики Аристотеля. Применимость этих аксиом вряд ли вызывала у кого-нибудь сомнения, например, если X, Y и Z — высказывания, то одна из аксиом Гильберта гласит: «Если X, то X / Y» (иными словами, «Если истинно X, то истинно также X или Y»). Другая аксиома сводится к неформальному утверждению о том, что если из X следует Y, то из «Z или X» следует «Z или Y». Особое место в логике Гильберта занимает схема заключения. На неформальном уровне она утверждает, что если формула А верна и если из формулы А следует формула В, то формула В верна. В аристотелевой логике этот закон называется modus ponens (модус поненс). Гильберт не хотел также отказываться от закона исключенного третьего и с помощью специального приема записал в символическом виде и этот закон. Тот же прием позволил формализовать и аксиому выбора, которая, несомненно, принадлежит к числу математических аксиом. Подобный прием позволял избегать явного употребления слова «все» — Гильберт надеялся, что это поможет ему обойти все парадоксы.

В любой области математики, имеющей дело с числами, существуют (в соответствии с программой Гильберта) аксиомы арифметики. Например, существует аксиома «из a = b следует a' = b'», утверждающая, что если два целых числа a и b равны, то числа, непосредственно следующие за ними (интуитивно — ближайшие большие a, соответственно b, целые числа), также равны. В аксиомы арифметики входит и аксиома математической индукции (ср. [72]). Как правило, аксиомы имеют отношение к нашему опыту, связанному с наблюдением явлений природы, или к миру уже существующих математических знаний.

Формальная система, представляющая теорию множеств, должна содержать (записанные в виде комбинаций символов) аксиомы, которые указывают, какие множества допустимо образовывать. Например, подобные аксиомы могут допускать составление множества, являющегося объединением двух множеств, и множества всех подмножеств данного множества.

Записав все математические и логические аксиомы в виде символических формул, Гильберт подготовил все необходимое для ответа на главный вопрос: что следует понимать под объективным доказательством? По Гильберту, строгое доказательство складывается из трех этапов: 1) предъявление некоторой формулы; 2) утверждение, что из предъявленной формулы следует другая формула, и 3) предъявление второй формулы. Последовательность из этих трех этапов, в которой вторая предъявляемая формула является следствием из принятых ранее аксиом или ранее выведенных заключений, и является доказательством теоремы. Допустимой операцией считается также подстановка одного символа или группы символов вместо другого символа или группы символов. По Гильберту, вывод формулы сводится к применению логических аксиом для манипуляции с символами ранее выведенных формул или аксиом.

Формула истинна в том и только том случае, если ее можно получить как последнее звено последовательности формул, каждый член которой либо представляет собой аксиому формальной системы, либо выведен с помощью одного из правил вывода. При желании можно проверить, является ли данная формула заключительным звеном соответствующей цепочки дедуктивных выводов, поскольку доказательство по существу представляет собой механическое преобразование символов. Мы видим, что, с точки зрения формалиста, доказательство и строгость — понятия вполне определенные и объективные.

Собственно математику формалист рассматривает как набор формальных систем, каждая из которых имеет свою логику, обладает своими собственными понятиями, своими аксиомами, своими правилами дедуктивного вывода и своими теоремами. Развитие каждой из этих формальных систем и составляет задачу математики.

Такова была предложенная Гильбертом программа построения собственно математики. Но свободны ли от противоречий выводимые из аксиом заключения? Поскольку предыдущие доказательства непротиворечивости основных областей математики проводились в предположении, что арифметика непротиворечива (более того, как показал сам Гильберт, непротиворечивость евклидовой геометрии сводится к непротиворечивости арифметики), вопрос о непротиворечивости последней приобрел решающее значение. По словам Гильберта, «в геометрии и физической теории доказательство непротиворечивости достигается путем сведения к непротиворечивости арифметики. Подобный метод явно непригоден для доказательства непротиворечивости самой арифметики». Гильберта волновал вопрос абсолютной, а не относительной непротиворечивости. На этой проблеме он сосредоточил свои усилия, утверждая, что нельзя подвергать себя риску столкнуться в будущем с неприятными сюрпризами, подобными тем, которые возникли в математике начала XX в.

Непротиворечивость «не видна снаружи». Невозможно предвидеть все следствия из аксиом. Но Гильберт, как и почти все математики, занимавшиеся проблемами оснований математики, использовал понятие материальной импликации (гл. VIII), в которой из ложного высказывания следует что угодно. Если в системе существует противоречие, то по закону противоречия одно из каких-то двух высказываний должно быть ложным, а если существует ложное высказывание, то из него следует, что 1 = 0. Следовательно, для доказательства непротиворечивости необходимо лишь убедиться в том, что мы нигде не придем к утверждению 1 = 0. Тогда, заметил Гильберт в работе 1925 г., «то, что мы пережили дважды — сначала с парадоксами дифференциального исчисления, а затем с парадоксами теории множеств — не произойдет в третий раз и не повторится никогда».

В серии работ, выполненных в период 1920-1930 гг., Гильберт и его ученики Вильгельм Аккерман (1896-1962), Пауль Бернайс (1888-1978) и Джон фон Нейман (1903-1957), постепенно создали метод, получивший название гильбертовской Beweistheorie [теории доказательства] или метаматематики, — метод доказательства непротиворечивости любой формальной системы (ср. [73], [74]). Суть основной идеи метаматематики можно пояснить с помощью следующей аналогии. Допустим, вы захотели бы изучить выразительные возможности японского языка и решили бы проводить этот анализ на японском языке — тогда ваши результаты оказались бы в значительной мере ограничены возможностями самого японского языка. Но если считать, что английский язык выразителен, то при изучении возможностей японского языка целесообразно было бы воспользоваться английским.