Живая математика. Математические рассказы и головоломки - Яков Перельман

Разделив на 3, приводим уравнение к виду:

Но Зх, тройное число полтинников, есть, конечно, число целое. Число двугривенных, у, также целое. Сумма же двух целых чисел не может оказаться числом дробным (262/3). Наше предположение о разрешимости этой задачи приводит, как видите, к нелепости. Значит, задача неразрешима.

Подобным же образом читатель убедится в неразрешимости двух других, «удешевленных» задач: с уплатою 3 и 2 рублей. Первая приводит к уравнению:

Вторая - к уравнению:

То и другое в целых числах неразрешимо.

Как видите, ни счетчик, ни я нисколько не рисковали, предлагая крупные суммы за решение этих задач: выдать премий никогда не придется.

Другое дело было бы, если бы требовалось уплатить двадцатью монетами названного достоинства не 5, не 3 и не 2 руб., а, например, 4 руб.: тогда задача легко решалась бы и даже семью различными способами[6].

43. 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000.

44. Вот два решения:

22 + 2 = 24; З 3 - 3 = 24.

45. Приводим три решения:

6 х 6 - 6 = 30; З3 + 3 = 30; 33 - 3 = 30.

46. Недостающие цифры восстанавливаются постепенно, если применить следующий ход рассуждений.

Для удобства пронумеруем строки:

Легко сообразить, что последняя звездочка в III строке цифр есть 0: это ясно из того, что 0 стоит в конце VI строки.

Теперь определяется значение последней звездочки I строки: это цифра, которая от умножения на 2 дает число, оканчивающееся нулем, а от умножения на 3 - число, оканчивающееся пятью (V ряд). Цифра такая только одна - 5.

Нетрудно догадаться, что скрывается под звездочкой II строки: 8, потому что только при умножении на 8 цифра 5 дает результат, оканчивающийся 20 (IV строка).

Наконец, становится ясным значение первой звездочки строки I: это цифра 4, потому что только 4, умноженное на 8, дает результат, начинающийся на 3 (строка IV). Узнать остальные неизвестные цифры теперь не составляет никакой трудности: достаточно перемножить числа первых двух строк, уже вполне определившиеся.

В конечном итоге получаем такой пример умножения:

47- Подобным сейчас примененному ходом рассуждений раскрываем значение звездочек и в этом случае. Получаем:

48. Вот искомый случай деления:

49. Чтобы решить эту задачу, надо знать признак делимости на 11. Число делится на 11, если разность между суммою цифр, стоящих на четных местах, и суммою цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11 или равна нулю.

Испытаем, для примера, число 23 658 904.

Сумма цифр, стоящих на четных местах:

3 + 5 + 9 + 4 = 21,

сумма цифр, стоящих на нечетных местах:

2 + 6 + 8 + 0 = 16.

Разность их (надо вычитать из большего меньшее) равна:

21 - 16 = 5.

Эта разность (5) не делится на 11, значит, и взятое число не делится без остатка на 11.

Испытаем другое число - 7 344 535:

3 + 4 + 3 = 10,

7 + 4 + 5 + 5 = 21,

21 - 10 = И.

Так как 11 делится на 11, то и испытуемое число кратно 11.

Теперь легко сообразить, в каком порядке надо писать девять цифр, чтобы получилось число, кратное 11 и удовлетворяющее требованиям задачи.

Вот пример:

352 049 786.

Испытаем:

3 + 2 + 4 + 7 + 6 = 22,

5 + 0 + 9 + 8 = 22.

Разность 22-22 = 0; значит, написанное нами число кратно 11.

Наибольшее из всех таких чисел есть:

987 652 413.

Наименьшее:

102 347 586.

Пользуюсь случаем познакомить читателей с другим признаком делимости на 11, хотя и не пригодным для решения нашей задачи, зато весьма удобным для практических надобностей. Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и грани эти складывают как двузначные числа. Если полученная сумма делится на 11, то и испытуемое число кратно 11.

Поясним сказанное тремя примерами.

1) Число 154. Разбиваем на грани: 1-54. Складываем:

I + 54 = 55. Так как 55 кратно 11, то и 154 кратно 11:

154: 11 = 14.

2) Число 7843. Разбив на грани (78-43), складываем их: 78+43 = 121. Эта сумма делится на 11, значит, делится и испытуемое число.

3) Число 4 375 632. Разбив на грани, складываем:

4 + 37 + 56 + 32 = 129. Полученное число также разбиваем на грани (1 + 29) и складываем их: 1 + 29 = = 30. Число это не кратно 11, значит, не делится на 11 и число 129, а следовательно, и первоначальное число 4 375 632.

На чем этот способ основан? Поясним это на последнем примере.

Число 4 375 632 = 4 000 000 + 370 000 + 5 600 + 32.

Далее:

Так как числа 99, 9999 и 999 999 кратны 11, ясно, что делимость нашего числа на 11 зависит от делимости суммы чисел, стоящих в скобках, т. е. суммы граней испытуемого числа.

50. Терпеливый читатель может разыскать девять случаев такого умножения. Вот они:

12x 483 = 5796

42 х 138 = 5796

18 х 297 = 5346

27 х 198 = 5346

39 х 186 = 7254

48 х 159 = 7632

28 х 157 = 4396

4 х 1738 = 6952

4 х 1963 = 7852

51-52. Решения показаны на прилагаемых рисунках 45 и 46. Средние цифры каждого ряда можно переставить и получить таким образом еще ряд решений.

53. Чтобы облегчить себе отыскание требуемого расположения чисел, будем руководствоваться следующими соображениями.

Сумма чисел на концах искомой звезды равна 26; сумма же чисел звезды 78. Значит, сумма чисел внутреннего шестиугольника равна 78-26 = 52.

Рассмотрим затем один из больших треугольников. Сумма чисел каждой его стороны равна 26; сложим числа всех трех сторон - получим 26 х 3 = 78, причем каждое из чисел, стоящих на углах, входит дважды. А так как сумма чисел трех внутренних пар (т. е. внутреннего шестиугольника) должна, как мы знаем, равняться 52, то удвоенная сумма чисел на вершинах каждого треугольника равна 78-52 = 26; однократная же сумма = 13.

Рис. 45

Рис. 46

Рис. 47

Поле поисков теперь заметно сузилось. Мы знаем, например, что ни 12, ни 11 не могут занимать вершины звезды (почему?). Значит, испытания можно начинать с

10, причем сразу определяется, какие два числа должны занимать остальные вершины треугольника: 1 и 2. Подвигаясь таким путем далее, мы, наконец, разыщем требуемое расположение. Оно показано на рис. 47.

Глава шестая СЕКРЕТНАЯ ПЕРЕПИСКА ПОДПОЛЬЩИКОВ

Революционер-подпольщик вынужден вести свои записи и переписку с товарищами таким образом, чтобы никто из посторонних не мог понять написанного. Для этого пользуются особым способом письма, называемым «тайнописью» (или «криптографией»). Придуманы разные системы тайнописи; к их услугам прибегают не одни подпольщики, но также дипломаты и военные для сохранения государственных тайн. Здесь мы хотим рассказать об одном из таких способов ведения секретной переписки, а именно: о так называемом способе «решетки». Он принадлежит к числу сравнительно простых и тесно связан с арифметикой.

Желающие вести тайную переписку по этому способу запасаются каждый «решеткой», т. е. бумажным квадратиком с прорезанными в нем окошечками. Образчик решетки вы видите на рис. 48. Окошечки размещены не произвольно, а в определенном порядке, который станет ясен вам из дальнейшего.

Рис. 48. Решетка для секретной переписки

Пусть требуется послать товарищу такую записку: «Собрание делегатов района отмените.

Полиция кем-то предупреждена. Антон».

Наложив решетку на листок бумаги, подпольщик пишет сообщение букву за буквой в окошечках решетки. Так как окошек 16, то сначала помещается только часть записки:

Собрание делегато…

Сняв решетку, мы увидим запись, представленную на рис. 49.

Здесь, разумеется, ничего засекреченного пока нет: каждый легко поймет, в чем дело. Но это только начало; записка в таком виде не останется. Подпольщик поворачивает решетку «по часовой стрелке» на четверть оборота, т. е. располагает ее на том же листке так, что цифра 2, бывшая раньше сбоку, теперь оказывается вверху. При новом положении решетки все раньше написанные буквы заслонены, а в окошечках появляется чистая бумага. В них пишут следующие 16 букв секретного сообщения.

Рис. 49

Рис. 50

Если теперь убрать решетку, получим запись, показанную на рис. 50.

Такую запись не поймет не только посторонний человек, но и сам писавший, если позабудет текст своего сообщения.

Но записана пока только половина сообщения: Собрание делегатов района отмените. П…

Чтобы писать дальше, надо вновь повернуть решетку на четверть оборота по часовой стрелке. Она закроет все написанное и откроет новые 16 свободных клеток. В них найдут себе место еще несколько слов, и записка приобретет вид рис. 51.