Живая математика. Математические рассказы и головоломки - Яков Перельман

Наконец делается последний поворот решетки - цифрой «4» вверх, и в открывшиеся 16 чистых квадратиков вписывают окончание записки. Так как остаются три неиспользованные клетки, их заполняют буквами а, б, в - просто для того, чтобы в записке не оказалось пробелов.

Письмо имеет вид, представленный на рис. 52.

Рис. 51

Попробуйте в нем что-нибудь разобрать! Пусть записка попадет в руки полиции, пусть полицейские сколько угодно подозревают, что в ней скрыто важное сообщение, - догадаться о содержании записки они не смогут. Никто из посторонних не разберет в ней ни единого слова. Прочесть ее в состоянии только адресат, имеющий в руках точно такую же решетку, как и та, которой пользовался отправитель.

Рис. 52

Рис. 53. Решетка в форме почтовой карточки

Как же прочтет адресат это секретное письмо? Он наложит свою решетку на текст, обратив ее цифрой «1» вверх, и выпишет те буквы, которые появятся в окошечках. Это будут первые 16 букв сообщения. Затем повернет решетку - и перед ним предстанут следующие 16 букв. После четвертого поворота вся секретная записка будет прочитана.

Вместо квадратной решетки можно пользоваться и прямоугольной в форме почтовой карточки, с широкими окошечками (рис. 53) - В окошечки такой решетки выписывают не отдельные буквы, а части слов, даже целые слова, если они помещаются. Не думайте, что запись окажется тогда более разборчивой. Нисколько! Хотя отдельные слоги и слова видны, но перемешаны они в таком нелепом беспорядке, что секрет достаточно надежно сохранен. Продолговатую решетку кладут сначала одним краем вверх, потом противоположным; после этого переворачивают ее на левую сторону и снова пользуются в двух положениях. В каждом новом положении решетка закрывает все написанное раньше.

Если бы возможна была только одна решетка, то способ переписки с ее помощью никуда не годился бы в смысле секретности. В руках полиции, конечно, имелась бы эта единственная решетка, и тайна немедленно раскрывалась бы. Но в том-то и дело, что число различных решеток чрезвычайно велико, и догадаться, какая была употреблена в дело, совершенно невозможно.

Все решетки, какие можно изготовить для 64-клеточного квадрата, отмечены на рис. 54- Вы можете выбрать для окошечек любые 16 клеток, заботясь лишь о том, чтобы в числе взятых клеток не было двух с одинаковыми номерами. Для той решетки, которой мы пользовались сейчас, взяты были следующие номера клеток:

Как видите, ни один номер не повторяется.

Понять систему расположения цифр в квадрате рис. 54 нетрудно. Он делится поперечными линиями на 4 меньших квадрата, которые обозначим для удобства римскими цифрами I, II, III, IV (рис. 55) - В I квадрате клетки перенумерованы в обычном порядке. Квадрат II- тот же квадрат I, только повернутый на четверть оборота вправо. Повернув его еще на четверть оборота, получаем квадрат III; при следующей четверти оборота получается квадрат IV.

Рис. 54. Свыше 4 миллиардов секретных решеток в одном квадрате

Рис. 55

Подсчитаем теперь математически, сколько может существовать разных решеток. Клетку № 1 можно взять (в качестве окошка) в 4 местах. В каждом случае можно присоединить клетку № 2, взяв ее также в 4 местах. Следовательно, два окошка можно наметить 4 х 4, т. е. 16 способами. Три окошка - 4 х 4 х 4, т. е. 64 способами. Рассуждая таким образом, устанавливаем, что 16 окошек можно набрать 416 способами (произведение 16 четверок). Число это превышает 4 миллиарда. Если даже считать наш расчет преувеличенным на несколько сот миллионов (так как неудобно пользоваться решетками с примыкающими друг к другу окошечками, и эти случаи надо исключить), то все же остается несколько тысяч миллионов решеток - целый океан, в котором нет надежды отыскать именно ту, какая требуется. Полиции не одолеть такого числового великана.

Само собою разумеется, оба участника переписки должны быть начеку, чтобы их решетка не попала в посторонние руки. Лучше всего вовсе не хранить решеток, а вырезывать их при получении письма и уничтожать тотчас по прочтении. Но как запомнить расположение окошек? Здесь снова приходит нам на помощь математика.

Будем обозначать окошки цифрою 1, прочие же клетки решетки - цифрою 0. Тогда первый ряд клеток решетки получит такое обозначение (рис. 56):

01010010

или, отбросив передний нуль, -

1010010.

Рис. 56. Арифметизация секретной решетки

Второй ряд, если отбросить в нем передние нули, обозначится так:

1000.

Прочие ряды получают следующие обозначения:

10100010

10000

1000100

10001000

100010

10001.

Чтобы упростить запись этих чисел, будем считать, что они написаны не по десятичной системе, которой обычно пользуются, а по двоичной. Это значит, что единица, стоящая справа, больше соседней не в 10 раз, а только в 2 раза. Единица в конце числа означает, как обычно, простую единицу; единица на предпоследнем месте означает двойку; на третьем с конца - четверку; на четвертом - восьмерку; на пятом - 16 и т. д. При таком понимании число 1010010, обозначающее расположение окошек первого ряда, заключает простых единиц:

64 + 16 + 2 = 82,

потому что нули указывают на отсутствие единиц данного разряда.

Число 1000 (второй ряд) заменится в двоичной системе числом 8.

Остальные числа нужно будет заменить следующими:

128 + 32 + 2=162

16

64 + 4 = 68

128 + 8=136

32 + 2 = 34

16 + 1 = 17

Запомнить же числа 82, 8, 162, 16, 68, 136, 34, 17 не так уж трудно. А зная их, всегда можно получить ту первоначальную группу чисел, из которой они получены и которые прямо указывают расположение окошек в решетке. Как это делается, покажем на примере первого числа - 82. Разделим его на два, чтобы узнать, сколько в нем двоек; получим 41; остатка нет, значит, на последнем месте, в разряде простых единиц, должен быть 0. Полученное число двоек, 41, делим на 2, чтобы узнать, сколько в нашем числе четверок:

41: 2 = 20, остаток 1.

Это значит, что в разряде двоек, т. е. на предпоследнем месте, имеется цифра 1.

Далее, делим 20 на 2, чтобы узнать, сколько в нашем числе восьмерок:

20: 2 = 10.

Остатка нет, значит, на месте четверок стоит 0.

Делим 10 на 2; получаем 5 без остатка: на месте восьмерок - 0.

От деления 5: 2 получаем 2 и в остатке 1: в разряде, где 16, - цифра 1. Наконец, делим 2 на 2 и узнаём, что в числе - одна 64-ка: в этом разряде должна быть цифра 1, а в разряде, где 32, - цифра 0.

Итак, все цифры искомого числа определились:

1010010.

Так как здесь всего 7 цифр, а в каждом ряду решетки 8 клеток, то ясно, что один нуль впереди был опущен, и расположение окошек в первом ряду определяется цифрами:

01010010,

т. е. окошки имеются на 2, 4 и 7-м местах.

Так же восстанавливается расположение окошек и в прочих рядах.

Существует, как было сказано, множество разных систем тайнописи. Мы остановились на решетке потому, что она близко соприкасается с математикой и лишний раз доказывает, как разнообразны те стороны жизни, куда заглядывает эта наука.

(О двоичной и других недесятичных системах счисления подробнее рассказано в книге того же автора «Занимательная арифметика».)

Глава седьмая РАССКАЗЫ О ЧИСЛАХ-ВЕЛИКАНАХ

Когда и где происходила эта история - неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходила; даже скорее всего, что так. Но быль это или небылица, история достаточно занятна, чтобы ее послушать.

Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды.

«Бывают же такие удачи, - рассказывал он домашним. - Неспроста, видно, говорят, что деньга на деньгу набегает. Вот и на мою деньгу денежка бежит. И как неожиданно! Повстречался мне в пути незнакомец, из себя невидный. Мне бы и разговаривать с ним не пристало, да он сам начал, как проведал, что у меня достаток есть. И такое к концу разговора предложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.

Рис. 57. «Всего только одну копейку…»

- Сделаем, - говорит, - такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Не даром, разумеется, но плата пустячная. В первый день я должен по уговору заплатить - смешно вымолвить - всего только одну копейку. Я ушам не верил.

- Одну копейку? - переспрашиваю.

- Одну копейку, - говорит. - За вторую сотню тысяч заплатишь 2 копейки.

- Ну, - не терпится мне. - А дальше?

- А дальше - за третью сотню тысяч - 4 копейки, за четвертую - 8, за пятую - 16. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.