Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика - Рауль Ибаньес

С формальной точки зрения это равносильно тому, чтобы ответить на вопрос: являются ли отношения следования, обозначенные стрелками на диаграмме на странице 58, отношениями эквивалентности? Иными словами, возможно ли, чтобы все преобразования, сохраняющие величины углов (конформные проекции), также сохраняли расстояния, то есть являлись бы изометрическими? Будет ли аналогичное утверждение справедливо для площадей и геодезических линий?

С практической точки зрения это упростит задачу, так как мы сможем ограничиться рассмотрением исключительно конформных проекций (то есть равновеликих проекций и проекций, сохраняющих геодезические линии). Иными словами, нас будет интересовать только сохранение одного из упомянутых геометрических атрибутов.

* * *

ПЕРСПЕКТИВНАЯ ПРОЕКЦИЯ

Эта проекция была известна древним грекам и египтянам более 2 тысяч лет назад, однако не вызывала особого внимания до XVIII века, за исключением частных случаев этой проекции: ортографической, стереографической и гномонической. Если центр проекции лежит на вертикальной линии, проходящей через центр Земли, такая проекция называется вертикальной, в противном случае — наклонной. В этой проекции центральный меридиан и центральная параллель представлены в виде прямых, а все остальные меридианы и параллели изображаются в виде прямых, дуг окружностей, эллипсов и даже парабол и гипербол в зависимости от вида проекции (полярная, экваториальная или наклонная). В этой проекции не сохраняются метрические свойства. Искажения вблизи центра малы, у краев карты — велики. Проекция практически не использовалась, за исключением случаев, когда требовалось изобразить вид Земли из космоса. С началом космической гонки в середине XX века перспективная проекция вызвала определенный интерес, так как изображения Земли и других планет стали составляться с использованием именно этой проекции. Карты с прогнозом погоды, которые мы видим в газетах и на телевидении, обычно изображаются в наклонной перспективе. Эта же перспектива используется в компьютерных изображениях и на фотографиях в интернете, в частности в программе «Google Планета Земля» (Google Earth).

Слева — схема перспективной проекции (вертикальной или наклонной). Справа — карта, выполненная с использованием вертикальной перспективной проекции.

* * *

В следующих главах мы продемонстрируем некоторые конкретные примеры конформных и равновеликих проекций, а также проекций, сохраняющих геодезические линии, и увидим, как они изменяют различные метрические свойства. Так мы сможем определить, существует ли проекция, позволяющая составить точную карту Земли, а также рассмотрим три примера известных старинных карт мира, сохраняющих углы, площади и кратчайшие пути. В частности, вы познакомитесь с проекцией Архимеда, сохраняющей площади, центральной, или гномонической проекцией, сохраняющей геодезические линии, и стереографической проекцией, сохраняющей углы. Однако ни одна из этих трех проекций не является изометрической. Как следствие, мы не сможем ограничиться рассмотрением исключительно конформных проекций (равновеликих проекций или проекций, сохраняющих геодезические линии).

* * *

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

В основе первой классификации картографических проекций лежит метод их построения. По этому признаку проекции можно разделить на геометрические и алгоритмические («искусственные», аналитические или математические). Геометрические проекции — это проекции, которые с геометрической точки зрения можно интерпретировать как лучи света, которые исходят из точки, бесконечно удаленного источника или прямой и освещают Землю (ее можно представить как прозрачный пластиковый шар, на поверхности которого изображены континенты) согласно законам перспективы. Результатом этих проекций является изображение на плоской или промежуточной поверхности, например на поверхности цилиндра или конуса, которые затем разворачиваются на плоскости.

Геометрические проекции можно разделить на классы в зависимости от формы поверхности: это может быть плоскость, поверхность цилиндра или конуса. Такие проекции называются азимутальными, цилиндрическими и коническими соответственно. В качестве примеров геометрических проекций можно привести гномоническую, стереографическую, равновеликую цилиндрическую проекцию Ламберта или равновеликую коническую проекцию Альберса.

Карта, выполненная в равновеликой конической проекции Альберса (1805). Это геометрическая проекция, получаемая при проецировании сферической модели Земли на поверхность конуса, которая затем разворачивается на плоскости.

Тем не менее многие картографические проекции не имеют прямой геометрической трактовки и описываются с помощью математических формул, — они называются алгоритмическими. Среди них выделяются те, что основаны на принципах геометрии или являются производными от них, как, например, проекция Меркатора или Хаммера — Айтоффа. Существуют и чисто алгоритмические проекции, в числе которых выделяются знаменитые проекции Моллвейде, синусоидальная проекция Сансона — Флемстида, проекция Робинсона и тройная проекция Винкеля.

Деление на подклассы в зависимости от используемой вспомогательной поверхности (это может быть плоскость, цилиндр или конус) проводится, главным образом, среди алгоритмических проекций.

Карта, выполненная в проекции Моллвейде (1805). Это алгоритмическая проекция — она описывается чисто математическими выражениями. Она является равновеликой, в ней используется эллипс с соотношением длин осей 2:1. Параллели в этой проекции изображаются параллельными линиями.

ОРТОФОТОГРАФИЯ

При составлении небольших культурных или туристических карт городов очень часто используется ортофотография. При взгляде на ортофотографии большинство людей думают, что эти фото сделаны с самолета или спутника, то есть представляют собой карту в вертикальной перспективной проекции. Но это не совсем так. Ортофотография — это фотографическое изображение города, полученное из нескольких фотографий, сделанных с воздуха и скорректированных так, чтобы итоговое изображение соответствовало ортогональной проекции. Эта проекция строится с использованием параллельных лучей, идущих в одном направлении, и ее можно считать частным случаем вертикальной перспективной проекции, фокус которой расположен на бесконечности. Именно благодаря использованию ортогональной проекции при совмещении нескольких фотографий не возникает искажений.

Ортофотография города Саламанка

(источник: SIGPAC).

Глава 5

Проекция Архимеда, или равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта

Главным школьным учебником была Энциклопедия Альвареса для первого, второго и третьего классов вместе с книгами для чтения. Там же были три прогрессивные азбуки и альбом для рисования. Вместе с ними были две книги по Священной Истории для первого и второго классов, а также некоторые атласы Испании и Европы. Стены были украшены картами мира.

Поодаль стоял шкаф, из которого в любой момент можно было извлечь глобус, карты, книги по геометрии, иллюстрации по естественным наукам, человеческий скелет и так далее.

Эухенио Фернандес Риоль «История лошади и ее юного хозяина» (2005)

Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта, также называемая проекцией Архимеда (возможно, она была уже известна этому греческому математику), — одна из семи проекций, предложенных математиком Иоганном Генрихом Ламбертом в книге «Примечания и комментарии о составлении земных и небесных карт» (1772). Возможно, эта книга стала первым математическим трудом, в котором были подробно исследованы картографические проекции с применением нового метода — математического анализа. В ней были представлены следующие проекции (перечислим их под современными названиями в том же порядке, что и в книге Ламберта).

1. Равноугольная коническая проекция Ламберта.

2. Проекция Лагранжа.

3. Поперечная проекция Меркатора.

4. Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта.

5. Равновеликая цилиндрическая поперечная проекция.

6. Равновеликая азимутальная проекция Ламберта.

7. Равновеликая коническая проекция Ламберта.

Проекции номер 1, 3 и 6 используются в последнем столетии наиболее часто. Хотя равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта не представляет особого интереса в картографии, на ее основе созданы другие, более популярные проекции.