Геометрия, динамика, вселенная - Иосиф Розенталь

ds**2 = (cdt)**2 — dx**2 — dy**2 — dz**2 = const (23)

относительно вращений и трансляций.[8]

Геометрия, в которой интервал имеет вид (23), называется псевдоевклидовой. Из равенства малых интервалов следует также и инвариантность конечных интервалов.

Инвариантность интервалов ds или s — математической отражение принципиально нового подхода к взаимосвязи пространства и времени. Пространство и время образуют единый математический континуум. Формально это выражается в том, что они составляют пространство Минковского.

Инвариантность интервала ds или s является основой для вывода важнейших следствий теории относительности. чтобы упростить дальнейшие рассуждения, мы ограничимся одной пространственной координатой x. Обобщение на трехмерное пространство (x, y, z) не представляет труда, все сделанные далее выводы при этом сохраняются.

≡=РИС. 4

Отметим прежде всего, что теория относительности существенно изменяет наши повседневные представления о прошлом, будущем и настоящем. Из-за конечности скорости света c причинно-следственные связи определены лишь при значении интервала s≥0. Чтобы представить себе наглядно неопределенно неопределенность ситуации при s<0, допустим, что в момент чтения книги в отдаленной части галактики произошел взрыв звезды, а читатель никак не ощутил этот взрыв и не имеет возможности получить о нем какую-либо информацию. Это типичный пример, отражающий ситуацию при s<0.

Графически можно можно все пространство-время (x,t) разделить на четыре области (рис. 4). Пусть две пересекающиеся линии соответствуют уравнениям x = ±ct. Тогда области внутри угла AOB соответствуют будущему; внутри угла COD — прошлому, а углам AOC и BOD — неопределенной ситуации, которая в общем случае зависит от движения системы отсчета. В этом смысле надо понимать сделанное выше замечание относительно тезиса Аристотеля (отсутствие настоящего). Настоящее, соответствующее одновременно происходящим в разных точках пространства событиям, есть понятие относительное. Оно зависит от движения системы отсчета.

Рассмотрим далее преобразование координаты x и времени t при переходе от одной системы отсчета (x,t) к другой (x',t'), движущейся со скоростью v относительно первой.

Условие, определяющее это преобразование, инвариантность интервала s=s'. Это условие определяет преобразование, которое является единственным с точностью до тривиального переноса начала системы отсчета

x' = x ch ψ + ct sh ψ,

(24) ct' = x sh ψ + ct ch ψ,

ψ — аналог угла поворота декартовой системы в евклидовом пространстве (ср. с преобразованием (13)). В формуле (24) ch и ch — гиперболические функции в отличие от обычных тригонометрических функций в соотношении (13). Эта разница определяется тем, что в евклидовом (двумерном) пространстве Inv = x**2 + y**2 — окружность, а в псевдоевклидовом пространстве Inv = t**2 — x**2 — гипербола.

Положим для простоты x=0. Это допущение не уменьшает общности рассуждений, однако сильно упрощает выкладки. Тогда

x' = ct sh ψ, ct' = ct ch ψ. (25)

Учитывая, что x'/t'=v, из (25) следует, что th ψ = v/c. Используя известные соотношения для гиперболических функций, легко получить

sh ψ = (v/c) [1-(v/c)**2]**(-1/2),

(26) ch ψ = [1-(v/c)**2]**(-1/2),

после чего из формул (24) и (26) следуют преобразования Лоренца:

x+vt x' = —--------,

-------,

/ 1-(v/c)**2

(27)

t+vx/c**2 t' = —--------.

-------,

/ 1-(v/c)**2

Из соотношений (27) следует:

1. При v/c<<1 преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (12).

2. Интервалы длины и времени преобразуются соответственно:

^x ^x' = —--------,

-------,

/ 1-(v/c)**2

(28)

^t ^t' = —--------.

-------,

/ 1-(v/c)**2

Наметим далее вывод из метрических свойств пространства Минковского уравнения движения материальной точки

p=mu, (29)

где u — скорость частицы.

В ньютоновской механике v = dx/dt; m=const (t абсолютное время). Чтобы обобщить импульс в рамках теории относительности, нужно проделать две операции, специфические для теории относительности: 1) условиться о системе отсчета, в которой определяется время; 2) обобщить 3-мерные векторы ньютоновской физики на 4-мерное пространство Минковского. Иначе говоря, следует ввести 4-мерный вектор, который при v/c — > 0 переходил бы в 3-мерный евклидов вектор, а в рамках теории относительности был бы аналогом 4-вектора (t,x,y,z). Найдем 4-мерный аналог скорости v=dx/dt. В русле идей теории относительности существует выделенная (собственная) система отсчета, связанная с материальной точкой. Действительно, в этой системе величина dx=const и время t=τ однозначно связано с инвариантным интервалом ds. В том же случае, когда тело «истинно» точечное (dx=0), то ds=c d τ. Поэтому естественно в формуле для скорости положить

u=dx/d τ (23)

и на основании (23)

v|||||

x,y,z u||||| = —--------, x,y,z —-----,

/ 1-(v/c)**2

где индексы x, y, z отмечают компоненты по соответствующим осям.

Чтобы величина u была бы 4-вектором, нужно доопределить четвертую компоненту. В нашем распоряжении есть единственная величина, имеющая размерность скорости: скорость света c. Поэтому аналог временной компоненты 4-скорости:

c u| = —--------. (32) t —-----,

/ 1-(v/c)**2

Тогда выражение (29) для импульса можно записать в форме

p| = m|u|, i 0 i

ult m| — масса в собственной системе отсчета. Индекс i

0 отмечает номер компоненты 4-скорости. Легко проверить, что величины p| (i=1,2,3,4 или t,x,y,z) образуют 4-вектор.

i Действительно,

(p|)**2 — (p|)**2 — (p|)**2 — (p|)**2 = (m|c)**2 = Inv. (34) t x y z 0

По существу (34) есть частное следствие общего определения пространства Минковского: квадрат 4-вектора инвариант относительно поворотов и трансляций в этом пространстве. Другим важнейшим примером этого правила является инвариантность интервала. Отличие от векторного определения пространства Евклида сводится к правилу знаков: квадрат временно-подобной компоненты берется со знаком «+», а квадраты пространственно-подобных компонент — со знаком «-». Если потребовать сохранения формы (29) для выражения импульса в релятивистской механике через обычную скорость, то следует изменить определение массы, положив

m m = —--------. (35)

-------,

/ 1-(v/c)**2

Все выводы релятивистской динамики, и в частности формулы (33) — (35), превосходно согласуются с экспериментальными данными, полученными на ускорителях. Точнее, они служат основой для конструирования больших ускорителей, образуя новую область, лежащую на стыке фундаментальной физики и инженерных дисциплин: релятивистскую инженерную физику.

5. ЭЙНШТЕЙНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ

Специальная теория относительности, геометрический образ которой воплощен в пространстве Минковского, вызывает невольные ассоциации с величайшими творениями искусства. Сочетание величия человеческого духа и лаконичности придают этой теории те качества, которые отличают настоящие ценности.

Тем не менее специальная теория относительности отражение законов природы и поэтому, как и вся физические принципы, характеризуется определенными границами. Произведение искусства — автономно, научная теория неизбежно ограничена невидимыми (а зачастую и зримыми) проявлениями прогресса экспериментальной физики и логикой.

И у специальной теории относительности есть границы применимости. Они проявляются довольно отчетлива, однако (и в этом одна из причуд истории науки) их не принято детально обсуждать. В этом нет, вероятно, никакой злонамеренности. подобная ситуация имеет простую психологическую подоплеку. В первые десятилетия после создания теории относительности у нее существовало столько принципиальных и беспринципных противников, что борьба велась не по линии теории ценных деталей, а по вопросу: быть или не быть теории относительности. И когда экспериментальные данные блестяще подтвердили специальную теорию относительности, а ее противники оказались полными банкротами, в общественном мнении возобладала антитеза отрицания — ее полная абсолютизация.

Однако беспристрастный анализ продемонстрировал, что и у специальной теории есть свои проблемы, которые частично были блестяще использованы Эйнштейном при создании общей теории относительности, а частично вообще ускользнули из поля зрения научной общественности.

Для того, чтобы изложить эти проблемы, мы будем опираться на мысленные эксперименты, которые так часто «проводились» в начале столетия. В частности, на них опирался Эйнштейн в процессе создания теории относительности.

Трудно скрыть известную ностальгию по этой почти ушедшей эре, когда в физике царила наглядность, а формальные аспекты были на втором плане. К сожалению, в науке не всегда возможен стиль «ретро», но все-таки будем стремиться к максимальной наглядности. Вообразим систему отсчета, в которой движутся два тела (1 и 2) с разными скоростями. Тогда в области расположения тела 1 в соответствии с формулами (28) о сокращении масштабов пространство будет искажено: его однородность будет нарушена. Следовательно, будет нарушено основное условие определения инерциальной системы отсчета. Фактически многочастичное макроскопическое тело своим объемом нарушает однородность и изотропию пространства. Тем самым подрываются основы определения инерциальной системы координат. Макроскопическое (неточечное) тело нарушает свойства пространства Минковского: его однородность и изотропию. Поэтому становится проблематичным его использование для описания макроскопического тела.