Геометрия, динамика, вселенная - Иосиф Розенталь

Это рассуждение — пример мысленного эксперимента. В нашем распоряжении нет твердых тел, которые можно разгонять до релятивистских скоростей, и поэтому непосредственная экспериментальная проверка выводов теории относительности применительно к макроскопическим телам затруднительна. Теоретические же рассуждения на эту тему (релятивистские преобразования температуры) лишены убедительности и однозначности, характерных для специальной теории относительности точечных тел.

Но закроем глаза на эти проблемы, уводящие в сторону от основной линии книги, и попробуем применить эту теорию к конкретному макроскопическому телу — вращающемуся диску, знаменитому диску Эйнштейна. Пусть диск, являющийся абсолютно твердым телом, вращается равномерно вокруг своего центра. Очевидно, что линейные скорости точек диска, расположенные на разных расстояниях от центра, будут различны (пропорциональны расстояниям r). Тогда в соответствии с формулами (29) в этих точках будет различное сокращение. Пространство станет неоднородным, а следовательно, неевклидовым. Вращение диска есть неинерциальное ускоренное движение. Из этих двух фактов Эйнштейн заключил, что ускоренное движение нарушает евклидовость (псевдоевклидовость) пространства.

В случае равномерного вращения диска и соответствующего постоянному во времени ускорению легко оценить, как меняется метрика пространства, заполненного диском, в зависимости от расстояния r. Вычислим, в частности, «неевклидовость» пространства на расстоянии r, если задана угловая скорость вращения Ω. Если Ω = 0, то пространство евклидово, т. е. d/r = 2 π. (d — длина окружности в системе покоя диска). Если Ω ≠ 0, то в направлении по радиусу диска масштаб останется несмещенным, следовательно, длина окружности увеличится в [1-(Ω r/c)**2]**(-1/2) раз. Во вращающейся

d' d -1/2 системе координат — = — [1-(Ω r/c)**2] > 2 π,

r r

что и является мерой неевклидовости.

Нетрудно установить и метрику, соответствующую угловой скорости Ω ≠ 0. В цилиндрических координатах при Ω = 0 интервал

ds**2 = (c dt)**2 — dr**2 — (r dFI)**2, (36)

где FI — азимутальный угол.

Если Ω ≠ 0, то r=r'? FI=FI+Ω t, и интервал имеет вид

(ds')**2 = [c**2-(Ω r')**2 (dt)**2 — 2 Ω (r'**2 dFI' dt — (r' dFI')**2 — (-r')**2. (37)

По какому бы закону ни преобразовывалось время, метрика (37) является римановой метрикой (6). Из того факта, что при ускоренном движении (вращение диска) возникает неевклидовость, которая представляется римановой метрикой, естественно допустить, что ускоренные движения изменяют метрические свойства пространства, а постоянно ускорение (Ω = const ≠ 0) приводит к обобщению пространства Минковского — пространству Римана. Именно эта идея Эйнштейна (взаимосвязь геометрии и динамики) кардинально изменила наши представления о неком абсолютном континууме пространства-времени. Даже пространство Минковского было в известном смысле абсолютно (независимость метрики от динамики). Общая теория относительности уничтожила эти остатки абсолютизации. Однако ограничиваться утверждением, что динамика влияет на свойства пространства, — это почти ничего не сказать. Это общее утверждение, а физики базируется на конкретных уравнениях. Чтобы их сформулировать, Эйнштейн придумал второй мысленный эксперимент (лифт Эйнштейна). Основная его идея базируется на факте (опыты В.Г.Брагинского и сотрудников), установленном с фантастической точностью (до двенадцатого знака): равенство гравитационной и инертной массы. из этого утверждения и законов Ньютона следует, что любое тело движется в однородном гравитационном поле с одинаковым ускорением. А мы видели, что такое движение приводит к изменению метрики пространства. Однако (и это составляет суть второй гипотезы Эйнштейна) пространство всегда остается римановым. Следовательно, интервал не зависит от системы отсчета: ds**2 = (ds')**2.

Третья кардинальная идея Эйнштейна и основывается на первых двух. Риманова метрика определяется расположением тел в пространстве. Как обычно, фундаментальное физическое уравнение следует записать на языке инвариантов. Не останавливаясь на цепи рассуждений, отметим лишь, что уравнения гравитации следовало бы сформулировать на языке кривизн и тензора энергии импульса. Уравнение Эйнштейна имеет вид

R|| — 1/2 g|| R = (8 π G / c**4) T||, (38) юv юv юv

где R|| — тензор кривизны, R — скалярная кривизна, T||

юv юv тензор энергии-импульса:

T|| = (ε+p) u| u| — pg||, (39) юv юv

здесь ε — плотность энергии, p — давление, u — 4-скорость. Инвариантные характеристики кривизны R|| и R определяются

юv компонентами метрического тензора и его производными по времени. Мы не будем здесь выписывать эти довольно громоздкие выражения, которые можно найти в любой монографии, посвященной общей теории относительности.

Таким образом, расположение частиц материи (тензор T||)

юv определяет характеристики Риманова пространства (R||, R).

юv Однако это влияние взаимно. Движение частиц, в свою очередь, определяется геометрией. Частицы движутся в римановом пространстве (гравитационном поле) по кратчайшим расстояниям — геодезическим.

Сделаем некоторые комментарии к уравнению (38).

1. Уравнение Эйнштейна не является полной геометризацией динамики. В правой части находится тензор T||, отражающий свойства материи. Уравнение (38) лишь юv отражает тесную связь между геометрией и динамикой.

2. При нашем весьма упрощенном подходе к уравнению (38) мы, следуя Эйнштейну, опирались на весьма идеализированные мысленные эксперименты. Этот подход неоднократно подвергался критике и модифицировался. Однако почти всегда и при более рафинированном подходе получали уравнения гравитации в форме (38) или близкой к ней.

3. Уравнение (38) прекрасно согласуется со всеми (правда, немногочисленными) экспериментальными данными.

4. Вывод уравнений Эйнштейна на основе более строгих аргументов в известной мере бессмыслен. На поверку оказывается, что и эти строгие аргументы также содержат дополнительные постулаты. Этот факт отражает наше убеждение, что строгий «вывод» фундаментальных уравнений едва ли возможен. Об этом свидетельствует не только опыт вывода уравнений Эйнштейна, но и выводы основных уравнений электромагнитного поля (Максвелл) или уравнений электронов и позитронов (Дирак). В обоих случаях авторы исходили из аргументов, которые впоследствии критиковались. Однако уравнения Максвелла, Дирака и Эйнштейна — основа современной физики. Их справедливость была обусловлена в значительной степени красотой (симметрией), логичностью аргументации и гениальной интуицией авторов. Совершенствовать аргументацию фундаментальных уравнений физики — дело праведное, отрицать же их величие — верх нелепости. По нашему мнению, последняя оценка относится и к попыткам их канонизации — отрицанию ограниченности любой самой великой теории.

6. ОБЪЕДИНЕННАЯ ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

Одна из основных (а быть может, и главная) задач современной физики — построение объединенной теории взаимодействий. В настоящее время достаточно хорошо изучены четыре фундаментальных взаимодействия: гравитационное, слабое, электромагнитное и сильное (см. Дополнение). Конечная цель заключается в том, чтобы написать единое уравнение, описывающее все четыре взаимодействия. Эта задача включает три элемента: 1) описание объединенного взаимодействия с помощью одной или нескольких констант взаимодействия, 2) включение в уравнение общих характеристик взаимодействий, 3) исключение из теории бесконечных величин, которые с неизбежностью возникают при использовании изолированных, необъединенных взаимодействий.

Рассмотрим эти составляющие объединенной теории более детально. На первый взгляд первая задача — описание разных взаимодействий с помощью единой константы — утопия. Константы различных взаимодействий имеют разные величины, отличающиеся друг от друга на много порядков.

Однако такое категорическое утверждение кардинально неверно. Дело в том, что константы всех взаимодействий зависят от передаваемого во время взаимодействия импульса массы m. При такой операции зависимость константы от передаваемой массы (импульса) существенно различна для разных взаимодействий. Константа ALHPA|, характеризующая

e электромагнитное взаимодействие, зависит от передаваемой массы чрезвычайно слабо, и мы будем в дальнейших рассуждениях этой зависимостью пренебрегать, полагая ALPHA| (m) = const.

e

Константа ALHPA| сильного взаимодействия, описываемого

s квантовой хромодинамикой, зависит от передаваемой массы приблизительно логарифмически. При условии m >> m|

p (m| ≈ 10**-24 г — масса протона) теоретическая зависимость p ALPHA| (m) имеет вид

s

ALPHA| ~ (ln mm|)**-1 (40)

s p

Константы ALPHA| ALPHA| слабого и гравитационного

w g взаимодействий квадратично (~m**2) зависят от передаваемого импульса (массы).