Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Другая возможность – удовлетвориться меньшим, то есть решением, которое не слишком далеко от наилучшего, но которое проще найти. В некоторых случаях этого можно добиться, воспользовавшись поразительным открытием, сделанным в 1890 году в настолько новой области математики, что многие ведущие ученые того времени не видели в ней никакой ценности и зачастую не верили результатам, которые постепенно получали их более прогрессивные коллеги. Менее приятным было то, что решаемые ими задачи воспринимались «математикой для математики» и внешне не имели взаимосвязи с чем-то в реальном мире. Их результаты считались абсолютно искусственными, а новые геометрические фигуры, которые они строили, даже окрестили «патологическими». Многие были убеждены, что эти ученые, даже если их результаты верны, не продвигают математику вперед, а лишь воздвигают глупые препятствия, мешающие прогрессу.
* * *
Один из методов поиска хороших, но не оптимальных решений задачи коммивояжера родился из таких глупых препятствий. Несколько десятилетий на переломе XIX и XX веков математика находилась в состоянии перехода. Царивший ранее авантюризм почти исчерпал себя, а игнорирование таких фундаментальных вопросов, как «о чем, собственно, идет речь?» и «действительно ли все так очевидно, как всем кажется?», сеяло смятение и растерянность там, где требовались ясность и понимание. Беспокойство по поводу таких продвинутых областей, как дифференциальное и интегральное исчисление, где математики легко и непринужденно разбрасывались бесконечными процессами, постепенно переходило с изотерических вещей на повседневные. Вместо сомнений в интегралах сложных математических функций вроде комплексного логарифма математики стали задаваться вопросом о том, что такое функция. Вместо того чтобы определять непрерывную кривую как кривую, которую можно «свободно нарисовать от руки», они стремились к большей строгости и обнаруживали ее отсутствие. Даже природа такого фундаментального и очевидного объекта, как число, вдруг оказалась весьма туманной. И речь здесь не только о новых конструктах, таких как комплексные числа: речь шла о добрых старых натуральных числах 1, 2, 3. Традиционная математика продолжала идти вперед, опираясь на предположение, что вопросы такого рода со временем непременно разъяснятся и все будет хорошо. Логический статус основ можно было без опаски оставить занудам и педантам. И все же… постепенно формировалось мнение о том, что такой неосмотрительный подход к дисциплине долго не продержится.
Дело по-настоящему осложнилось, когда прежние сумасбродные методы стали давать противоречащие друг другу ответы. Теоремы, издавна считавшиеся правильными, оказывались неверными в особых обстоятельствах. Интеграл, вычисленный двумя способами, давал разные ответы. Последовательности, сходившиеся, как считалось, при всех значениях переменной, иногда расходились. Конечно, все было не настолько плохо, как если бы вдруг обнаружилось, что 2 + 2 иногда равно 5, но все эти странности заставили некоторых ученых задуматься о том, что такое на самом деле 2 и 5, не говоря уже о знаках + и =.
Так что, не прислушиваясь к скептическому большинству – или прислушиваясь не слишком сильно, чтобы изменить свое мнение, – немногочисленные педанты разворошили математическое здание сверху донизу в поисках прочной основы, а затем начали перестраивать его с самого фундамента.
Как при всякой перестройке, получившийся со временем результат отличался от оригинала в некоторых тонких, но тревожных аспектах. Оказалось, что в понятии кривой на плоскости, существовавшем в математике со времен древних греков, имеются скрытые глубины. Традиционные примеры – окружности, эллипсы и параболы Евклида и Эратосфена, квадратриса, которую греки использовали для трисекции углов и поиска квадратуры круга, лемниската философа-неоплатоника Прокла, овалы Джованни Доменико Кассини, циклоиды и их более сложные отпрыски, такие как гипоциклоиды и гиперциклоиды Оле Рёмера, – обладали собственным очарованием и привели в свое время к замечательным успехам. Но, подобно тому как домашние животные создают обманчивую картину жизни в тропических лесах и пустынях, эти кривые были слишком правильными, чтобы представлять дикие сущности, обитающие в математических джунглях. В качестве примеров потенциальной сложности непрерывных кривых они не годились, поскольку были чересчур простыми.
Одно из наиболее фундаментальных свойств кривых, настолько очевидное, что никто даже не пытался в нем усомниться, состоит в том, что эти кривые тонкие. Как писал Евклид в «Началах», «линия – это то, что не имеет толщины». Площадь линии – просто линии, а не того, что она окружает, – очевидно, равна нулю. Но в 1890 году Джузеппе Пеано предложил способ построения непрерывной кривой, которая полностью заполняет внутренность квадрата{23}. Она не просто блуждает внутри квадрата, создавая сложные каракули и приближаясь к каждой точке: она проходит через каждую точку квадрата. Кривая Пеано «не имеет толщины» в том смысле, что вы проводите ее карандашом, кончик которого представляет собой единственную геометрическую точку, но эта линия блуждает по квадрату, раз за разом посещая те области, которые ранее покинула. Пеано понял, что если заставить эту линию бесконечно извиваться, причем определенным образом, то она полностью заполнит квадрат. При этом площадь кривой будет равна площади квадрата, то есть ненулевой.
Это открытие стало настоящим шоком для наивной интуиции. В то время подобные кривые называли «патологическими», и многие математики реагировали на них так, как мы обычно реагируем на патологию, – со страхом и отвращением. Позднее математики привыкли к ним и усвоили глубокие топологические уроки, которые эти кривые преподали. Сегодня мы рассматриваем кривую Пеано как один из первых примеров фрактальной геометрии и понимаем, что фракталы нельзя считать ни необычными, ни патологическими. Они часто встречаются даже в математике, а в реальном мире представляют собой прекрасные модели сложных природных структур, например облаков, гор и береговых линий.
Пионеры новой эры в математике рассмотрели древние интуитивные концепции, такие как непрерывность и размерность, и стали задавать трудные вопросы. Они не удовлетворились традиционными приемами, используемыми в более простых областях математики, а задались вопросом, работают ли эти приемы с достаточной общностью и если работают, то почему. Или если они работают не всегда, то что идет не так. Такой скептический подход раздражал многих традиционных математиков, которые видели в нем негатив ради негатива. «Я в ужасе отворачиваюсь от этого жуткого бедствия – непрерывных функций без производной», – писал в 1893 году Шарль Эрмит своему другу Томасу Стилтьесу.
Традиционалисты были заинтересованы в расширении границ и считали, что все в логическом саду чудесно, но новый скептицизм с его шквалом пугающих контринтуитивных явлений был необходимой реакцией на наивность. К 1930-м