Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт

Пеано тогда нашел первый пример того, что мы сегодня называем «заполняющими пространство» кривыми. Их существование опирается на тонкое, но принципиально важное различие между гладкими и непрерывными кривыми. Непрерывные кривые могут быть извилистыми. Гладкие… не могут. Они не настолько извилистые.

Пеано был достаточно проницательным для открытия подобных кривых. Ему нравились логические закавыки. Кроме того, он был первым, кто сформулировал точные аксиомы для системы натуральных чисел – составил простой список свойств, которые описывают эту систему. Свою заполняющую пространство кривую он изобрел не для забавы: она стала одним из завершающих штрихов к работе его предшественника и единомышленника, также интересовавшегося природой натуральных чисел и счета. Предшественника звали Георг Кантор, и его истинным интересом была бесконечность. Ведущие математики того времени в большинстве своем отвергали радикальные и блестящие идеи Кантора, доводя его до отчаяния. Возможно, это неприятие и не было причиной его душевного расстройства, но благоприятного влияния оно точно не оказывало. Среди немногих математиков, по достоинству оценивших то, что пытался сделать Кантор, был Давид Гильберт. Гильберт, ведущий математик своего времени, позже стал одним из пионеров математической логики и фундаментальных исследований. Возможно, он разглядел в Канторе родственную душу.

Так или иначе, началось все с Кантора и с введенных им трансфинитных кардинальных чисел – средства оценки числа членов бесконечного множества. Он доказал, что одни бесконечности больше, чем другие. Точнее говоря, то, что между целыми и действительными числами нет взаимно однозначного соответствия. Занимаясь поисками трансфинитного кардинального числа, превышающего таковое для действительных чисел, он на какое-то время пришел к убеждению, что кардинальное число для плоскости больше, чем для прямой. В 1874 году он писал Рихарду Дедекинду:

Может ли поверхность (скажем, квадрат, включая границу) однозначно соответствовать линии (скажем, отрезку прямой, включая концы) так, чтобы для каждой точки на поверхности существовала соответствующая точка на линии, а для каждой точки на линии существовала соответствующая точка на поверхности? На мой взгляд, ответить на этот вопрос не так просто, хотя ответ «нет» представляется настолько очевидным, что доказательство, кажется, почти не требуется.

Тремя годами позже он вновь написал, чтобы признать, как ошибался. Сильно ошибался. Он нашел взаимно однозначное соответствие между единичным отрезком и n-мерным пространством для любого конечного n. То есть способ сопоставить члены множеств таким образом, чтобы каждый член одного из них соответствовал ровно одному члену другого. «Я это вижу, – писал Кантор, – но я в это не верю!»

Основная идея проста: задав две точки на единичном отрезке (между 0 и 1), мы можем записать их в десятичном виде как

x = 0, x1x2x3x4…

y = 0, y1y2y3y4…

и поставить им в соответствие точку на том же единичном отрезке, которая в десятичном виде будет выглядеть так:

0, x1y1x2y2x3y3x4y4…,

образовав ее путем перемешивания десятичных знаков первых двух чисел, как при тасовке карт методом «рифл шафл», когда колоду делят на две части, а затем вставляют их друг в друга{24}. Разница состоит в том, что колода карт у Кантора бесконечна. Когда вы перемешиваете таким образом две бесконечные колоды, то получаете одну бесконечную колоду. Именно таким способом Кантор умудряется втиснуть две координаты в одну. Если первоначально измерения три, просто берется три колоды и т. д.

Кантор опубликовал некоторые из этих результатов в 1878 году. Он исследовал счетные множества, которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами, и множества, которые взаимно однозначно соответствуют друг другу. Он также понял, что полученное им соответствие между единичным отрезком и единичным квадратом не сохраняет размерности – одно измерение переходит в два, – и, что принципиально важно для нашего рассказа, он подчеркнул, что построенное им соответствие не является непрерывным. То есть точки, расположенные очень близко друг к другу на единичном отрезке, не обязательно соответствуют близко расположенным точкам единичного квадрата.

Идеи Кантора были противоречивы. Некоторые видные математики сочли их чепухой, наверное, потому, что они были слишком оригинальными. Другие, в первую очередь Гильберт, объявили новую область математики, открытую Кантором, настоящим «раем». Полное признание работы Кантора получили только после его смерти.

* * *

В 1879 году Ойген Нетто{25} ответил на один очевидный вопрос, доказав отсутствие непрерывного взаимно однозначного соответствия между единичным отрезком и заполненным единичным квадратом. Это сложнее, чем может показаться. Самый значительный прорыв произошел в 1890 году, когда Пеано показал, что наше интуитивное представление о непрерывной кривой может быть обманчивым.

В статье Пеано никаких рисунков нет. Он определяет кривую, записывая координаты точек единичного отрезка в троичной системе счисления, и его построение эквивалентно геометрическому построению на рисунке слева ниже{26}. В 1891 году Гильберт опубликовал еще один пример заполняющей пространство кривой, нарисовав что-то похожее на рисунок справа. Оба построения довольно сложны: на рисунках показана начальная стадия рекурсивного процесса, при котором простые многоугольники раз за разом заменяются более сложными. За прошедшее с тех пор время было найдено много других заполняющих пространство кривых.

Слева: начальный этап геометрической интерпретации заполняющей пространство кривой Пеано. Справа: начальный этап построения заполняющей пространство кривой Гильберта

Заполняющие пространство кривые применяются в компьютерных вычислениях, в частности при хранении и считывании многомерных данных{27}. Базовая идея состоит в том, что мы можем обходить многомерный массив по приближенной заполняющей пространство кривой, упрощая таким образом задачу и сводя ее к одномерному случаю. Еще одно практическое применение – это быстрое и приблизительное решение задачи коммивояжера. Идея заключается в наложении конечной аппроксимации заполняющей пространство кривой на область с городами, определении последовательности городов на кривой, а затем в посещении их в этом порядке, пользуясь на каждом этапе кратчайшим связующим путем. В результате получается маршрут, который обычно не более чем на 25 % превышает по длине оптимальный{28}.

Какие еще фигуры может заполнить кривая? Построение Гильберта можно расширить на три измерения, получив кривую, заполняющую единичный куб, а вообще, кривые могут заполнять гиперкубы любой размерности. Последнее слово в этом вопросе – теорема, которую доказали Ханс Хан и Стефан Мазуркевич. Она полностью характеризует топологические пространства, которые может заполнить кривая{29}. Как оказалось, эти пространства могут быть практически любыми при условии, что они компактны (имеют конечную протяженность) и удовлетворяют нескольким формальным условиям, позволяющим исключить всякие глупости.

* * *

Возможно, последнее слово все еще остается за коммивояжером. В 1992 году Санджив Арора и его коллеги{30} обнаружили,