8a. Квантовая механика I - Ричард Фейнман

Если хотите, попробуйте разобраться в том, как, в каком смысле классический вектор равен матрице ms; может быть, вы что-нибудь и откроете. Но не надо ломать над этим голову. Право же, не стоит: на самом-то деле они не равны. Кван­товая механика — это совсем другой тип теории, другой тип представлений о мире. Иногда случается, что всплывают неко­торые соответствия, но вряд ли они представляют собой нечто большее, нежели мнемонические средства — правила для за­поминания.

Иначе говоря, вы запоминаете (9.14), когда учите классиче­скую физику; затем если вы запомнили соответствие m®ms, то у вас есть повод вспомнить (9.13). Разумеется, природа знает квантовую механику, классическая же является всего лишь приближением, значит, нет ничего загадочного в том, что из-за классической механики выглядывают там и сям тени квантовомеханических законов, представляющих на самом деле их подоп­леку. Восстановить реальный объект по тени прямым путем ни­как невозможно, но тень помогает нам вспомнить, как выглядел объект. Уравнение (9.13) — это истина, а уравнение (9.14) — ее тень. Мы сперва учим классическую механику и поэтому нам хочется выводить из нее квантовые формулы, но раз и навсегда установленной схемы для этого нет. Приходится каждый раз возвращаться обратно к реальному миру и открывать правильные квантовомеханические уравнения. И когда они оказываются похожими на что-то классическое, мы радуемся. Если эти предостережения покажутся вам надоедливыми, если, по-вашему, здесь изрекаются старые истины об отношении классической физики к квантовой, то прошу прощения: сработал условный рефлекс преподавателя, который привык втолковы­вать квантовую механику студентам, никогда прежде не слыхав­шим о спиновых матрицах Паули. Мне всегда казалось, что они не теряют надежды, что квантовая механика как-то сможет быть выведена как логическое следствие классической механики, той самой, которую они старательно учили в прежние годы. (Может быть, они просто хотят обойтись без изучения чего-то нового.) Но, к счастью, вы выучили классическую формулу (9.14) всего несколько месяцев тому назад, да и то с оговорками, что она не совсем правильна, так что, может быть, вы не будете столь неохотно воспринимать необходимость рассматривать квантовую формулу (9.13) в качестве первичной истины.

§ 2. Спиновые матрицы как операторы

Раз уж мы занялись математическими обозначениями, то хотелось бы описать еще один способ записи, способ, часто упо­требляемый из-за своей краткости. Он прямо следует из обозна­чений, введенных в гл. 6. Если имеется система в состоянии |y|(t)>, изменяющемся во времени, то можно, как мы это де­лали в уравнении (6.31), написать амплитуду того, что система при t+Dt оказалась бы в состоянии |i>:

Матричный элемент <i|U(t, t+Dt) |j> — это амплитуда того, что базисное состояние |j> превратится в базисное состоя­ние |i> за время Dt. Затем мы определяли Нijпри помощи

и показывали, что амплитуды Ci(t)=<i|y(t)> связаны диф­ференциальными уравнениями

Если амплитуды Ciзаписать явно, то это же уравнение будет выглядеть по-иному:

Далее, матричные элементы Hij — это тоже амплитуды, которые можно записывать в виде <i|H|j>; наше дифференциальное уравнение выглядит тогда так:

Мы видим, что —i/h <1|H|j> — это амплитуда того, что в физических условиях, описываемых матрицей Н, состояние |j> за время dt «генерирует» состояние |i>. (Все это неявно подразумевалось в рассуждениях гл. 6, § 4.)

Теперь, следуя идеям гл. 6, § 2, мы можем сократить в (9.17) общий «множитель» <i|, поскольку (9.17) справедливо при любом |i>, и записать это уравнение просто в виде

Или, сделав еще один шаг, убрать к тому же и j и написать

В гл. 6 мы указывали, что при такой записи Н в Н|j> или в Н|y> называется оператором. Отныне на операторы мы бу­дем надевать маленькие шапочки (^), чтобы напоминать вам, что это оператор, а не число. Мы будем писать

. Хотя оба уравнения (9.18) и (9.19) означают в точности то же самое, что и (9.15) или (9.17), мы можем думать о них совершенно иначе. Например, уравнение, (9.18) можно было бы описывать так: «Производная по времени от вектора состояния |y> рав­няется тому, что получается от действия оператора Гамильтона Н на каждое базисное состояние, умноженному на амплитуду <j|y> того, что y окажется в состоянии j, и просуммирован­ному по всем j». Или уравнение (9.19) можно описать так: «Производная по времени (умноженная на ih) от состояния |y> равняется тому, что вы получите, если подействуете гамильто­нианом Н на вектор состояния |y>». Это просто сокращенный способ выражения того, что содержится в (9.17), но, как вы потом убедитесь, он может оказаться очень удобным.

Если хотите, идею «абстрагирования» можно продвинуть еще на шаг. Уравнение (9.19) справедливо для всякого состоя­ния |y>. Кроме того, левая сторона ihd/dt — это тоже опера­тор; его действие: «продифференцируй по t и умножь на ih». Итак, (9.19) можно рассматривать как уравнение между опера­торами — операторное уравнение

Ih(d/dt)=

Оператор Гамильтона (с точностью до константы), действуя на любое состояние, приводит к тому же результату, что и d/dt. Помните, что это уравнение, как и (9.19), не есть утверждение о том, что оператор просто та же операция, что и d/dt. Эти уравнения — динамический закон природы (закон движения) для квантовой системы.

Только для того, чтобы попрактиковаться в этих представ­лениях, продемонстрируем вам другой вывод уравнения (9.18). Вы знаете, что любое состояние |y> можно записать через его проекции на какой-то базис [см. (6.8)]:

Как же меняется |y> во времени? Продифференцируем его:

Но базисные состояния |i> во времени неменяются (по край­ней мере у нас они всегда были определенными, закрепленными состояниями), и только амплитуды <i|y>—это числа, которые могут меняться. Иначе говоря, (9.21) прекращается в

Но ведь d<i|y>/dt нам известно—это (9.16); получается, сле­довательно,

А это опять-таки уравнение (9.18).

Итак, на гамильтониан можно смотреть по-разному. Можно рассматривать совокупность коэффициентов Hijпросто как компанию чисел, можно говорить об «амплитудах» <i|Н|j>, можно представлять себе «матрицу» Hijи можно считать его

«оператором» H^. Все это одно и то же.

Вернемся теперь к нашей системе с двумя состояниями. Если уж мы записываем гамильтониан через матрицы сигма (с подходящими численными множителями, такими, как Вх и т. д.), то естественно рассматривать и sxij как амплитуду < i|sх|j>, или, для краткости, как оператор s^л. Если приме­нить эту идею оператора, то уравнение движения состояния |y> в магнитном поле можно написать в виде

Желая «использовать» это уравнение, нам, естественно, прихо­дится выражать |y> через базисные векторы (равносильно тому, что приходится находить компоненты пространственных векторов, когда задача доводится до числа). Так что обычно мы предпочитаем расписывать (9.23) в более раскрытом виде:

Сейчас вы увидите, чем красива идея оператора. Чтобы при­менять уравнение (9.24), нужно знать, что будет, когда опера­торы о подействуют на каждое базисное состояние. На­пишем s^z|+>; это какой-то вектор |?>, но какой? Что ж, умножим его слева на <+| и получим

(пользуясь табл. 9.1). Итак, мы знаем, что

<+|?>=1. (9.25)

Теперь умножим s^z|+> слева на <-|. Получится

т, е.

Существует только один вектор состояния, удовлетворяющий и (9.25), и (9.26); это |+>. Мы, стало быть, открыли, что

Такого рода рассуждениями можно легко показать, что все свойства матриц сигма могут быть в операторных обозначениях описаны рядом правил, приведенных в табл. 9.3.