Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - Алексей Михайлович Семихатов

те, что отвечают «забытым вещам», от рассмотрения которых мы вроде бы отказались из-за вражды одних величин с другими. Эта идея распространяется не только на спин, но и на все остальное, и она-то и решает «загадку половины». Начав с «любимых» состояний, отвечающих выбранной половине величин, мы можем конструировать из них такие состояния, которые отвечают враждебным величинам (именно враждебным, а не каким-то еще!). Способ конструирования всегда один и тот же – составлять подходящие «суммы с произведениями».

Вот еще один очень часто встречающийся пример построения «враждебных» состояний: из состояний с определенными значениями координаты x можно сконструировать состояние, отвечающее определенному значению враждебной величины – количества движения вдоль x, которое мы назовем px. Для этого возьмем все возможные значения выбранной координаты – какие-то x1, x2, x3 и т. д. (значений бесконечно много). В соответствии с этим наши любимые состояния сейчас – это |x1⟩, |x2⟩, |x3⟩ и т. д. Чтобы из них сконструировать состояния, отвечающие какому-то возможному количеству движения px, надо сложить все эти |x1⟩, |x2⟩, |x3⟩, …, предварительно умножив каждое на свое число. Фокус в том, чтобы правильно подобрать эти числа. Фокусник, который умеет ловко находить нужные числа, спрашивает у вас, какое именно значение количества движения px вы «загадали». Вы сообщаете ему численное значение (оно имеет размерность: скажем, кг · м/с; ее тоже надо сообщить). Фокусник вводит это число в память своего калькулятора, а потом перебирает значения координаты x1, x2, x3, … одно за одним и с каждым производит вычисление, используя ваше количество движения px. Калькулятор каждый раз выдает ему новое число: a1, a2, a3 и т. д. (Эти числа – уже «голые», т. е. лишенные размерности; в заводских настройках калькулятора прошито значение постоянной ħ, с помощью которой из количества движения и координаты можно сделать «голое» число.) Вам остается только взять сумму состояний a1 · |x1⟩ + a2 · |x2⟩ + a3 · |x3⟩ +…, используя именно те числа, которые нашел для вас фокусник. Получается (длинное-предлинное в такой записи) состояние, которое – вот же фокус так фокус! – как раз и отвечает точно заданному количеству движения px, которое вы задумали. Впечатлившись, вы задумываете другое значение количества движения и просите фокусника повторить представление. Он делает те же вычисления с вашим новым значением, в результате вместо тех a1, a2, a3 и т. д. получаются какие-то другие числа. Если их точно так же использовать для построения «длинной» суммы, то она и будет состоянием, которое отвечает вновь задуманному количеству движения.

Теперь, между прочим, яснее видно, как работает принцип неопределенности. Ни одно из чисел, которые нашел фокусник, не равно нулю, поэтому состояние с определенным значением количества движения px сконструировано как «длинная сумма с умножениями» из всех состояний |x1⟩, |x2⟩, |x3⟩, …, отвечающих возможным значениям координаты. Поэтому у электрона в построенном состоянии с определенным количеством движения px нет определенного значения координаты x. И даже более того: числа, полученные фокусником, таковы, что ни одно из состояний |x1⟩, |x2⟩, |x3⟩, … в длинной сумме не является более предпочтительным или менее предпочтительным. Поэтому никакие значения координаты x вообще никак не выделены, а это значит, что о значении координаты в этом состоянии сказать вообще нечего, оно оказывается максимально неопределенным. Точное значение одной величины – полная неопределенность другой, ей враждебной. Мы знали это с предыдущей прогулки, но теперь, благодаря конструированию одних состояний через другие, мы видим, как эта неопределенность возникает на языке состояний.

Обеспечительный механизм принципа неопределенности – выражение состояний через «враждебные»

Тот же фокусник, надо сказать, умеет показывать и обратный фокус. В другой день вы решили начать описание мира, выбрав в качестве половины величин компоненты количества движения и вынужденно отбросив враждебные им координаты. Для каждого из возможных значений количества движения (как всегда, вдоль некоторого направления) у вас есть отвечающее ему состояние – именно они в этот день являются вашими «любимыми» состояниями. Как построить из них состояние, отвечающее определенному значению координаты вдоль того же направления? Фокусник спрашивает вас, чему равно это значение координаты. Если, например, это x222 = 0,031 нм, то вы говорите ему: «31 тысячная нанометра», и он с помощью этого числа производит в своем калькуляторе вычисления с каждым из возможных значений количества движения по очереди и сообщает вам набор чисел. Получив эти числа, вы благодарите мастера и используете их, чтобы построить «длинную сумму с умножениями» из всех ваших любимых состояний на этот день. Эта длинная сумма и будет состоянием |x222⟩.[248]

Сейчас, пожалуй, подходящий (а может быть, даже запоздалый) момент для пояснения того, какие «вещи» q, r, s (и так далее) с самого начала годятся, чтобы составлять суммы состояний типа a · |q⟩ + b · |r⟩+ c · |s⟩. Каждая из букв q, r, s должна полностью описывать возможные хотя бы в принципе значения величин из дружественного набора. Например, если речь идет о двух электронах, то под буквой q могут пониматься координаты и спины обоих электронов; указать координаты только одного электрона или как-то иначе уменьшить объем данных означало бы сознательно обречь себя на неполноту описания. «Возможные хотя бы в принципе» означает, что не исключен вариант, когда значения координат отвечают положению электрона, скажем, на Луне (со спином же большого разнообразия, как всегда, нет: только одна из двух возможностей относительно одного выбранного направления в пространстве для каждого электрона). То же верно в отношении букв r и s: они выражают какие-то другие значения величин из того же набора (электроны в каких-то других местах, с как-то ориентированными спинами). А если, скажем, q и r выбраны указанным образом, то можно ли в качестве s взять значения не координат, а количества движения для одного или даже двух электронов (заодно с компонентами спина, которые прямо сейчас нас меньше интересуют)? Можно, но в этом случае |s⟩ будет иметь вид «длинной суммы с умножениями», которую, в случае затруднения с нашей стороны, помогает строить известный на весь мир фокусник. В основе конструкции все равно должны быть состояния, отвечающие определенным значениям координат, раз уж мы выбрали координаты, только этих состояний потребуется «очень много», чтобы построить состояние, отвечающее определенному значению количества движения. Резюме: можно складывать друг с другом любые состояния, но они не должны страдать от очевидной неполноты данных и все должны быть выражены через состояния, отвечающие величинам из одного класса