Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - Алексей Михайлович Семихатов

Лотте и не Айрин. По всей вероятности, она не звалась и Фелисией; муж ее потерял свое состояние в период послевоенной инфляции и уехал в Бразилию, оставив ее с маленькой дочерью на руках. Кто бы ни была его вдохновительница, Эрвин испытал впечатляющий подъем сил, и с этого начался двенадцатимесячный период его неослабевающей творческой активности, остающийся единственным в своем роде в истории науки. Когда его захватывала важная задача, ему удавалось добиться глубокой и абсолютной концентрации, задействуя при этом весь свой выдающийся математический потенциал.У. Дж. Мур. «Шрёдингер: жизнь и идеи» *****

Движение и энергия на вершине абстракций. Уравнение Шрёдингера определяет, как волновая функция меняется со временем, и поэтому говорит о том, каким будет будущее, исходя из известного настоящего. Чтобы описать, как оно это делает, надо подняться еще на пару ступенек вверх по лестнице абстракций[252]. Завязка этого сюжета, впрочем, обманчиво проста: энергия. Мы уже отмечали мимоходом на прогулке 10, что уравнение Шрёдингера готово произвести знание о будущем исходя не из устройства сил в системе, а из устройства там энергии. Вообще-то все то, что делают для нас законы Ньютона, тоже можно получить, имея дело только с энергией. После Ньютона развитие знания не стояло на месте, и к середине XIX в. полностью сформировалось понимание, как «энергия правит миром» – каким образом эволюция во времени определяется энергией системы, а точнее, зависимостью энергии от положений и количеств движения всех частей. (Как правило, через количества движения выражается энергия движения, а через координаты – энергия притяжения или отталкивания.) «Опознавательным знаком» здесь служит фамилия человека, больше всего сделавшего для описания движения под управлением энергии, – это Гамильтон. Он скончался в 1865 г. и не мог даже в принципе иметь отношения к какой бы то ни было квантовой теории, но придумал настолько превосходный способ описания движения, что у него нашлись аналоги и в квантовом мире.

Энергия определяет эволюцию

Уравнение Шрёдингера оставляет за энергией «руководство» эволюцией во времени. Эволюционирует же, собственно говоря, волновая функция. Но, чтобы «руководить», энергия должна превратиться в инструмент воздействия на волновые функции. В этом новом качестве энергия получает специальное название – гамильтониан (в честь, разумеется, ничего не подозревавшего Гамильтона). Не сильно кривя душой, можно сказать так:

Гамильтониан говорит волновой функции, как ей изменяться во времени.

Это тизер уравнения Шрёдингера

Подробности (еще раз спасибо Уилеру за идею высказываться выразительно, но неясно) скрыты, разумеется, в слове «говорит» – в том, что именно гамильтониан делает с волновыми функциями. Он представляет собой предписание, согласно которому из любой волновой функции производится какая-то другая.

Целый класс предписаний по изменению волновых функций и составляет верхний (по крайней мере на этой прогулке) уровень лестницы абстракций, и мы очень скоро сможем оглядеть весь пейзаж с небывалой высоты. От всех предписаний по превращению одних волновых функций в другие требуется соблюдение одного фундаментального условия, по существу представляющего собой (снова!) правило раскрытии скобок: применить данное предписание к сумме a1 · |q1⟩ + a2 · |q2⟩ – это то же самое, что сначала применить его к |q1⟩ и |q2⟩ по отдельности, а потом умножить возникшие новые волновые функции на числа a1 и a2 и все получившееся сложить (все происходит, как и при умножении числа на сумму, но только для более сложной операции, чем умножение)[253].

И вот главное: «сырьем» для производства таких предписаний оказываются привычные нам величины, такие как координаты и компоненты количества движения. Они получают новую жизнь в виде уже не обычных величин, принимающих те или иные числовые значения, а абстрактных явлений, распоряжающихся волновыми функциями. Превратим, например, координату x в такое предписание. В качестве обозначений часто используются буквы со шляпками: предписание, «прародителем» которого была координата x, можно обозначить как . Итог его «разговора» с любой волновой функцией |q⟩ записывают просто как |q⟩ – это не умножение, а результат воздействия, какая-то новая волновая функция, которую предписание производит из попавшейся ему под руку волновой функции (состояния). Как же конкретно оно, это , действует на встречаемые им волновые функции? Рецепт прост, но эффективен. Сначала перечислим все возможные значения координаты x1, x2, x3, … (см. примечание 8 выше) и отвечающие им состояния |x1⟩, |x2⟩, |x3⟩, …. Как мы хорошо помним, каждое такое состояние, например |x222⟩, – это абстрактная конструкция; но при этом с каждым состоянием связано свое число (скажем, x222 = 0,031 нм в мимолетном примере выше). Предписание говорит, что состояние |x222⟩ следует просто умножить на число x222 (да, 0,031 нм в данном случае). Таким же точно образом надо поступить и в остальных случаях: состояние |x1⟩ следует умножить на отвечающее ему число x1, состояние |x2⟩ умножить на свое x2 и т. д. Это так и записывается: |x1⟩ = x1 · |x1⟩, и аналогично |x2⟩ = x2 · |x2⟩ и т. д. Казалось бы, ничего интересного, почти казуистика: чтобы узнать, как действует икс-со-шляпкой, смотрим на значение координаты, которое прячется внутри состояния, и умножаем состояние на это значение; стоило ли ради этого изобретать этот икс-со-шляпкой? Стоило, потому что он в действительности может намного большее: он уже знает, как применить себя ко всем остальным состояниям! Дело в том, что любое состояние можно записать в виде «длинной суммы с произведениями» a1 · |x1⟩ + a2 · |x2⟩ + a3 · |x3⟩ +… с какими-то числами a1, a2, a3 и т. д., а мы договорились, что каждое наше предписание снабжено рецептом раскрытия скобок: видя перед собой сумму волновых функций, оно набрасывается на каждое слагаемое по отдельности (а все получившееся следует потом сложить).

По-прежнему первостепенно важное правило – раскрытие скобок

Правило раскрытия скобок, простое само по себе, оказалось на удивление мощным средством; это, по существу, главное свойство квантовой механики, и оно не в последний раз заявляет о себе на этой прогулке. При этом из каждой «длинной суммы» под действием предписания получается состояние, ничем не