Принцесса или тигр - Рэймонд Смаллиан

3. У нас имеется четыре возможных случая:

случай 1: А и В — оба рыцари;

случай 2: А — рыцарь, В — плут;

случай 3: А — плут, В — рыцарь;

случай 4: А и В — плуты.

Сначала мудрец спросил А, являются ли они оба рыцарями. При этом, если имеют место случаи 1, 3 и 4, то А должен ответить «да»; если же выполняется случай 2, то ответом А будет «нет». (Мы предоставляем читателю доказать это самостоятельно.) Поскольку мудрец все же выяснил из ответа А, что представляют собой данные жители острова, то, стало быть, А ответил «да». Тем самым из рассмотрения сразу исключается случай 2. Далее мудрец спросил А, относятся ли они оба к одному и тому же типу. В случаях 1 и 3 А ответил бы «да», а в случаях 2 и 4 он должен был ответить «нет». (Доказательство этого мы также оставляем читателю.) Итак, если бы мудрец услышал утвердительный ответ, он мог бы сделать единственный вывод — что имеет место либо случай 1, либо случай 3, но при этом он не знал бы, какой именно. Стало быть, он услышал в ответ «нет». Однако ранее он выяснил, что в такой ситуации должен выполняться либо случай 2, либо случай 4. Но поскольку случай 2 уже исключен нами из рассмотрения, то, следовательно, мудрец понял, что должен иметь место случай 4, то есть что А и В — плуты.

4. Если бы А ответил «да», то он либо мог оказаться рыцарем, либо был бы нормальным человеком (и при этом лгал), однако я никак не мог бы узнать, кем же именно. Если бы А ответил «нет», то он не мог бы оказаться рыцарем (поскольку в этом случае В был бы нормальным человеком, а сам А лгал). Поэтому А должен был быть нормальным человеком. Однако выяснить, кем же является А на самом деле, я мог лишь в одном случае — если бы А сказал «нет». Значит, А действительно нормальный человек. Мы, конечно, полагаем, что оба — и судья, и мудрец, которому предложили эту задачу, — обладали безупречными логическими способностями.

Итак, существуют две возможности: либо логику сказали, что А сообщил, будто С — плут, либо ему было сказано, что А заявил, будто С — шпион. Разберем обе эти возможности отдельно.

Возможность I: А сообщил, будто С—плут.

При этом у нас возникают три случая по отношению к тому, что сказал В, и мы должны исследовать каждый из них.

Случай 1: В утверждал, что А — рыцарь. Тогда:

1) если А — рыцарь, то С — плут (поскольку А сообщил, что С — плут) и, следовательно, В является шпионом;

2) если А — плут, то утверждение, высказанное В, является ложным, откуда сразу следует, что В должен быть шпионом (ведь он не плут, поскольку плутом является А) и, стало быть, С—рыцарь: 3) если А — шпион, то утверждение, высказанное В, вновь оказывается ложным, откуда следует, что В является плутом и, значит, С — рыцарь. Таким образом, мы получаем, что имеет место один из следующих вариантов:

(1) А — рыцарь, В — шпион, С — плут;

(2) А — плут, В — шпион, С — рыцарь;

(3) А — шпион, В — плут, С — рыцарь.

Далее, пусть С заявил, будто В — шпион. Тогда варианты (1) и (3) исключаются из рассмотрения. (Первый из них — потому что С, будучи плутом, никак не мог заявить, что В — шпион, поскольку В как раз им и является; второй — потому что С, будучи рыцарем, никак не мог утверждать, что В — шпион, поскольку В шпионом не является.) Значит, нам остается лишь вариант (2), причем в этой ситуации судья знал бы, что В—шпион

Пусть теперь С заявил, будто В — рыцарь. Тогда единственно возможным оказывается вариант (1), причем случае судье вновь было бы известно, кто шпион, и он признал бы виновным подсудимого В.

Пусть, наконец, С заявил, будто В — плут. Тогда судья не смог бы определить, какой из вариантов имеет место в действительности — вариант (1) или вариант (3). Поэтому он не смог бы указать, кто же является шпионом — А или В, а значит, и не смог бы признать кого-либо из них виновным. Следовательно, С не мог заявить, что В является плутом. (Конечно, у нас все еще действует предположение, относящееся к случаю 1,— что В утверждал, будто А — рыцарь.)

Итак, если имеет место случай 1, то судья мог признать виновным только подсудимого В.

Случай 2: В утверждал, что А — шпион. Предоставим читателю доказать самому, что в этом случае могут иметь место лишь следующие варианты:

(1) А — рыцарь, В — шпион, С — плут;

(2) А — плут, В — шпион, С — рыцарь;

(3) А — шпион, В — рыцарь, С—плут.

Если бы С заявил, будто В — шпион, тогда нам могут встретиться как вариант (2), так и вариант (3), так что в данной ситуации судья никак не сумел бы найти виновного. Если бы С заявил, будто В — рыцарь, то тогда может выполняться лишь вариант (1), и судья признал бы виновным подсудимого В. Если бы, наконец, С заявил, будто В — плут, тогда вполне могут иметь место как вариант (1), так и вариант (3), и судья опять не смог бы обнаружить виновного. Стало быть, С заявил, что В — рыцарь, а подсудимый В был признан виновным.

Итак, в случае 2 виновным оказывается вновь подсудимый В.

Случай 3: В утверждал, что А — плут. Тут у нас имеется 4 варианта (читатель может убедиться в этом сам):

(1) А — рыцарь, В — шпион, С — плут;

(2) А — плут, В — шпион, С — рыцарь;

(3) А — плут, В — рыцарь, С — шпион;

(4) А — шпион, В — плут, С — рыцарь.

Если бы С заявил, будто В—питон, тогда могут иметь место как вариант (2), так и вариант (3), и судья оказывается не в состоянии определить, кто же из подсудимых виновен. Если бы С заявил, будто В — рыцарь, тогда справедливыми могли бы оказаться как вариант (1), так и вариант (3), и судья вновь не смог бы обвинить кого-либо из. подсудимых в шпионаже. Наконец, если бы С заявил, будто В — плут, тогда могли бы выполняться варианты (1), (3) или (4), причем опять-таки судья не смог бы найти виновного.

Таким образом, мы полностью исключили из рассмотрения случай 3. Кроме того, теперь мы знаем, что в действительности могут иметь место либо случай 1, либо случай 2, причем в обоих этих случаях судья признал бы виновным подсудимого В.

Итак, при выполнении возможности I (если А сообщил, будто С — плут) шпионом должен оказаться обвиняемый В. Следовательно, если бы логику сказали о том, что А сообщил, будто С — плут, то он вполне мог бы решить задачу и установить, что подсудимый В является шпионом.

Возможность II. Предположим теперь, что логику было сказано, что А заявил, будто С — шпион. Покажем, что при этом логик оказался бы не в состоянии решить задачу, поскольку вполне могло случиться, что судья признал бы виновным А, или же могла возникнуть ситуация, когда виновным был бы признан В, причем логик никак не мог бы выяснить, какой из этих двух случаев имел место в действительности.

Для доказательства этого предположим, что А заявил, будто С — шпион. Тогда существует вариант, при котором судья мог бы назвать виновным подсудимого А. В самом деле, допустим, что В утверждал, будто А — рыцарь, а С заявил, будто В — плут. Если А в самом деле является шпионом, то В может быть плутом (который лгал бы, утверждая, что А — рыцарь), а С может быть рыцарем (который говорил бы правду, заявляя, будто В — плут). При этом А (будучи по предположению шпионом) солгал бы, сообщив, будто С — шпион. Итак, вполне допустимо, чтобы А, В и С действительно высказали бы эти три утверждения, а также чтобы А оказался шпионом. Далее, если бы шпионом был В, то А должен был бы оказаться плутом, заявляя, будто С — шпион. Точно также должен был бы оказаться плутом и С, поскольку он заявил, будто В — плут; хотя, конечно же, это невозможно. Наконец, если бы шпионом был С, то тогда А должен был бы оказаться рыцарем, поскольку он говорил правду, утверждая, будто С — шпион. При этом рыцарем должен был бы оказаться и В, поскольку он тоже говорил правду, утверждая, будто А — рыцарь; однако это также невозможно. Значит, А должен быть шпионом (в случае если бы В утверждал, что А — рыцарь, а С заявил бы, будто В — плут).

Итак, существует вариант, когда виновным может быть признан именно А.

Теперь рассмотрим вариант, при котором судья назвал бы виновным подсудимого В. Допустим, что В утверждал, что А — рыцарь, а С заявил, будто В — шпион. (Напомню, что мы все еще придерживаемся предположения о том, что А заявил, будто С — шпион.) Если шпионом является А, то В оказывается плутом, утверждая, будто А — рыцарь. Кроме того, плутом должен оказаться и С, который утверждает, что В — шпион, хотя это, понятно, невозможно. Если шпионом является С, тогда А должен быть рыцарем (поскольку он заявляет, будто С — шпион). При этом рыцарем должен оказаться и В, который утверждает, что А — рыцарь, а это также невозможно. Вместе с тем, если шпионом оказывается В, то никакого противоречия не возникает (ведь А мог бы оказаться плутом, который заявил, будто С — шпион; С мог бы быть рыцарем, который заявил, что В — шпион, и, стало быть, В утверждал бы, что А — рыцарь). Итак, вполне допустимо, чтобы А, В и С действительно высказали бы три указанных утверждения, причем в этом случае судья назвал бы виновным подсудимого В.