Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Позднее, производя по просьбе курфюрста Ганноверского топографическую съемку Ганновера, Гаусс заложил основы геодезии; из этих занятий он извлек ряд весьма плодотворных идей, касающихся дифференциальной геометрии.{36} Особо были отмечены проведенные Гауссом в 1830-1840 гг. теоретические и экспериментальные исследования магнетизма. Он разработал метод измерения магнитного поля Земли. Создатель теории электромагнитного поля Джеймс Клерк Максвелл в своем «Трактате по электричеству и магнетизму» признает, что исследования Гаусса по магнетизму преобразили всю науку: приборы и инструменты, методы наблюдений и обработки результатов. Работы Гаусса по земному магнетизму являются образцом естественнонаучного исследования. В знак признания заслуг Гаусса единица магнитной индукции (в системе единиц СГС) получила впоследствии название «гаусс». 

Хотя идея создания телеграфа принадлежит не Гауссу и не его другу и коллеге Вильгельму Веберу (1804-1891) (многочисленные попытки предпринимались и раньше), именно они предложили в 1833 г. практическое устройство для приема сигналов. Были у Гаусса и другие изобретения. Он успешно работал в области оптики, которая после Эйлера переживала глубокий упадок. Исследования, проведенные Гауссом в 1838-1841 гг., заложили принципиально новую основу для решения оптических проблем. 

Другой величайшей фигурой в математике начала XIX в., сравнимой по своей значимости с Гауссом, был Коши.{37} Его интересы отличались необычайной разносторонностью. Он написал более семисот математических работ, уступив по числу их лишь Эйлеру. Современное издание трудов Коши вышло в двадцати шести томах и охватывает все разделы математики. Коши был основоположником теории функций комплексного переменного (гл. VII и VIII). Но не меньше внимания Коши уделял физическим проблемам. В 1815 г. он получил премию Французской академии наук за работу по теории волн на воде. Ему принадлежат фундаментальные исследования по равновесию стержней и упругих (в частности, металлических) пластин, а также по теории волн в упругой среде. Своими трудами Коши заложил основы математической теории упругости. Коши развил теорию световых волн, начало которой было положено Огюстеном Жаном Френелем (1788-1827), и распространил ее на явления дисперсии и поляризации света. Коши был превосходнейшим специалистом по математической физике. 

Хотя в качестве математика Фурье и уступал таким корифеям, как Гаусс и Коши, полученные им результаты заслуживают особого упоминания, поскольку именно ему удалось распространить могущество математики на еще одно явление природы — теплопроводность. Изучение теплопроводности Земли Фурье считал одной из важнейших проблем космогонии, так как надеялся таким образом показать, что первоначально земной шар находился в расплавленном состоянии. Занимаясь решением этой задачи, Фурье довел до высокой степени совершенства теорию бесконечных тригонометрических рядов (называемых ныне рядами Фурье). Ряды Фурье стали широко применяться в различных областях прикладной математики — значение созданной Фурье теории таких рядов трудно переоценить. 

Выдающиеся результаты Гаусса, Коши, Фурье и сотен других математиков, казалось бы, неоспоримо подтверждали, что наука все точнее описывает истинные законы природы. На протяжении столетия самые выдающиеся математики продолжали идти путем, проложенным их предшественниками, разрабатывая все более мощные математические методы и с успехом применяя их к новым разделам естествознания. В неудержимом порыве устремились математики на поиск математических законов природы, словно загипнотизированные убеждением, что именно они призваны раскрыть схему, избранную богом при сотворении мира. 

Если бы математики XIX в. прислушались к словам своих собратьев по духу, то разразившаяся вскоре катастрофа не застала бы их врасплох. Еще на заре нового времени Фрэнсис Бэкон отмечал в своем «Новом органоне» («Новый инструмент познания», 1630 г.){38}: 

Идолы рода находят основание в самой природе человека, в племени или самом роде людей, ибо можно утверждать, что чувства человека есть мера вещей. Наоборот, все восприятия, как чувства, так и ума, покоятся на аналогии человека, а не на аналогии мира. Ум человека уподобляется неровному зеркалу, которое, примешивая к природе вещей свою природу, отражает вещи в искривленном и обезображенном виде.

В том же «Новом органоне» Бэкон утверждает, что наблюдение и экспериментирование являются основой всякого знания: 

Никоим образом не может быть, чтобы аксиомы, установленные рассуждением, имели силу для открытия новых дел, ибо тонкость природы во много раз превосходит тонкость рассуждений.

Даже самые верующие ученые начали постепенно приходить к отрицанию роли бога как творца «единого плана» природы. 

Труды Коперника и Кеплера по созданию гелиоцентрической системы мира, которую они оба рассматривали как свидетельство «математической мудрости» бога, противоречили Священному писанию, ибо они лишали человека избранного положения во Вселенной. Галилей, Роберт Бойль и Ньютон видели цель своей научной работы в доказательстве существования божественного плана и божественного вмешательства во все происходящее в мире, но в их научных исследованиях бог явно не участвовал. Более того, в одном из своих писем Галилей даже утверждал, что «от любого толкования Священного писания проку немного, ибо ни один астроном или естествоиспытатель, действуя в надлежащих рамках, не входит в подобные вопросы». Разумеется, сам Галилей, как мы уже видели, был глубоко убежден в существовании математического плана Вселенной, творцом которого был бог, но приведенный отрывок из его письма показывает, что для объяснения природных явлений Галилей считал недопустимым прибегать к мистике или привлекать сверхъестественные силы. Во времена Галилея все еще бытовало мнение, что всемогущий бог способен произвольно изменять план творения. Декарт же, при всей своей набожности, провозгласил тезис о неизменности законов природы и тем самым неявно ограничил могущество господа бога. Ньютон также считал порядок в мире неизменным, однако поддержание порядка он возлагал на бога, которого сравнивал с часовым мастером, готовым устранить любую неисправность в часовом механизме. У Ньютона были веские основания уповать на божественное провидение. Хотя он знал, что из-за возмущений, вносимых другими планетами, орбита любой планеты отличается от идеального эллипса, ему никак не удавалось доказать математически, что наблюдаемые отклонения вызваны притяжением других планет, и Ньютон считал, что без вмешательства бога, неусыпно следящего за работой мирового механизма, устойчивость Солнечной системы могла бы нарушиться.{39} 

Против подобных взглядов Ньютона выступил Лейбниц в своей (предсмертной) переписке с английским священником и философом Сэмюэлем Кларком, которая велась через посредство принцессы Уэльской. В своем первом письме (ноябрь 1715 г.) по поводу ньютоновских представлений о боге, вынужденном время от времени заводить мировые «часы» и устранять неисправности в их механизме, Лейбниц писал: 

Г-н Ньютон и его сторонники придерживаются довольно странного мнения о действиях бога… У него не было достаточно предусмотрительности, чтобы придать им [«часам»] беспрерывное движение… По моему представлению, в мире постоянно существует одна и та же сила, энергия, и она переходит лишь от одной части материи к другой, следуя законам природы и прекрасному предусмотренному порядку.

Лейбниц открыто упрекает Ньютона в том, что тот отрицает всемогущество бога. Лейбниц действительно считал Ньютона повинным в упадке религии в Англии. 

И здесь Лейбниц не был так уже далек от истины. В идеологии мистика Ньютона бог и религия занимали гораздо больше места, чем у рационалиста Лейбница, но объективно труды Ньютона способствовали освобождению натурфилософии от влияния теологии. Галилей, как мы уже отмечали, также считал, что физика должна развиваться независимо от религии. С этих же позиций написаны и «Математические начала натуральной философии» Ньютона, ставшие значительным шагом на пути к чисто математическому описанию явлений природы. В математических схемах физических теорий богу отводилось все меньше места. Возмущения в траекториях планет, которые составляли загадку для Ньютона, получили почти полное теоретическое обоснование в трудах ученых последующих поколений. 

На передний план выступили универсальные законы, чье действие распространялось на движение как небесных, так и земных тел; при этом обнаружилось полное соответствие между предсказаниями и результатами наблюдений, что свидетельствовало о высоком совершенстве таких законов. И после Ньютона было немало ученых, которые усматривали в совершенстве законов природы неоспоримое доказательство мудрости творца, но мало-помалу бог отошел на задний план, а в центр внимания попали математические законы Вселенной. Лейбниц предвидел некоторые следствия из ньютоновских «Начал» — картины мира, функционирующего, с помощью бога или вовсе без него, по единому плану, — и критиковал сочинение Ньютона как антихристианское. На смену стремлению раскрыть замыслы творца пришло стремление получить чисто математические результаты. Хотя многие математики после Эйлера продолжали верить во всемогущего бога, в божественный план мира и главное предназначение математики видели в расшифровке замыслов творца, по мере того как в XVIII в. развивалась математика и множились ее успехи, религиозные мотивы в научном творчестве все более отступали на задний план и присутствие бога становилось все менее ощутимым.